陕西省西安中学2023-2024学年高二上学期第二次综合评价 数学试卷含答案

这是一份陕西省西安中学2023-2024学年高二上学期第二次综合评价 数学试卷含答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120 分钟 满分：120 分 命题人：刘婵 ）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
抛物线 y  2 x2 的焦点到准线的距离为()
1 8
y2x2

1 2
1 4
x2y2
4
m
若双曲线
 1的焦点与椭圆
2m
 1 的焦点重合，则
49
的值为()
A. 2B. 3C. 6D. 7
记 Sn 为等差数列{an } 的前n 项和．若 a4  a5  24 ， S6  48 ，则{an } 的公差为() A. 1B. 2C. 4D. 8
x2  y2 
已知双曲线 a2
1 的两条渐近线的夹角为，则双曲线的焦点到渐近线的距离是()
33
3
3
A. 1B.C. 2D. 1 或
冬春季节是流感多发期，某地医院近 30 天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an }，
已知a  1 ， a  2 ，且满足a a  1 (1)n (n  N * ) ，则该医院 30 天入院治疗流感的人
12n2n
数为()
A. 225B. 255C. 365D. 465
圆 x2  y2  2x  4y  4  0 与直线 x  my  2m  2  0(m  R) 交于 A，B 两点，则| AB | 最小值为()
5
2
A. 2B. 2C. 6D. 4
如右图，过抛物线 y2  2 px  p  0 的焦点 F的直线l 交抛物线于点 A，B，交其
BC
BF
准线于点 C，准线与对称轴交于点 M，若
 3 ，且 AF
 3 ，则 p为()
A. 1B. 2C. 3D. 4
已知圆M : x2  y2  2x  2 y  2  0 ，直线l : 2x  y  2  0 ，P 为l 上的动点，过点 P 作圆M 的切线 PA，PB，切点为 A，B，当| PM |  | AB |最小时，直线 AB 的方程为()
A. 2x  y 1  0
B. 2x  y 1  0
C. 2x  y 1  0
D. 2x  y 1  0
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
若直线 y  kx  1(k  R) 与双曲线 x2  y 2  2 有且仅有一个公共点，则 k的取值可能为()
1
2
3 2
6 2
已知数列{a }的通项公式a
 n  56 ，若a  a
对 n  N * 恒成立，则满足条件的正整数
n
k可以为()
nnnk
A. 6B. 7C. 8D. 9
已知圆 C： x2  y2  4y  3  0 ，一条光线从点 P(2,1) 射出经 x 轴反射，下列结论正确的是()
圆 C 关于 x 轴的对称圆的方程为 x2  y2  4y  3  0
若反射光线平分圆 C 的周长，则入射光线所在直线方程为3x  2 y  4  0
若反射光线与圆 C 相切于 A，与 x 轴相交于点 B，则| PB |  | BA | 2
13
若 Q 是圆 C 上的任意一点，则| PQ |的最大值为1
在平面直角坐标系Oxy 中，抛物线 C： y2  4x 的焦点为 F，过点 F 的直线l 交 C 于不同的 A，B两点，则下列说法正确的是()
若点Q 3,1 ，则 AQ  | AF | 的最小值是 4
 
OA  OB  3
若 AF  BF
 12 ，则直线 AB的斜率为
2
4 AF  | BF |的最小值是 9
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分
nn5
已知数列{a } 的前n 项和S  2n 1，则a 为.
已知直线 y  kx  1 与椭圆
x2  2
y
4
 1 相交于 A，B两点，若线段 AB中点的横坐标为 1，
则 k的值为.
FBAB
如图，椭圆的中心在坐标原点，F是椭圆的左焦点，A, B 分别是椭圆的右顶点和上顶点， 当   时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，则“黄金椭圆”的离心率e .
x2y2
已知点 P 是椭圆

上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合， F , F 分别是椭圆
112
259
的左右焦点，O 为坐标原点，若点M 是F1PF2 的角平分线上的一点，且 F1M  MP, 则 OM
的取值范围是.
四、解答题：本小题共 5 小题，共 48 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（8 分）已知圆心为 C 的圆经过点 A(1, 2) 和 B(3, 6) ，且圆心在直线 x  y  3  0 上.
求圆 C 的方程;
19
过点 P(2, 0) 的动直线l 与圆 C 相交于 M，N 两点.当| MN | 2
时，求直线l 的方程.
1
2
18.（10 分）一动圆与圆C : x2  y2  6x  5  0 外切，同时与圆C
: x2  y2  6x  91  0 内切，动
圆圆心的轨迹为曲线 E.
求曲线 E的方程;
点 P为 E上一动点，点 O为坐标原点，曲线 E的右焦点为 F，求| PO |2  | PF |2 的最小值.
19.（10 分）记 Sn 是等差数列{an} 的前 n项和，若 S5  35 ， S7  21.
求{an} 的通项公式，并求 Sn 的最小值；
设bn  an ，求数列{bn } 的前 n项和Tn .
20.（10 分）已知双曲线 x2  y2  1(a  0, b  0) ，O为坐标原点，离心率e  2 ，点 M 
5, 3 
在双曲线上．
求双曲线的方程;
a2b2
 
如图，若直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点 Q，P，且OP  OQ  0 .
1
求证: OP 2 
1
OQ 2 为定值；
21.（10 分）已知平面上的动点 P到定点 F (1, 0) 的距离比到直线l ： x  2 的距离小1.
求动点 P的轨迹 E的方程；
过点(2, 0) 的直线交 E于 A、B两点，在 x 轴上是否存在定点 M，使得 A、B变化时，直线AM与 BM的斜率之和是 0，若存在，求出定点 M的坐标，若不存在，写出理由.陕西省西安中学高 2025 届高二第二次综合评价
数学答案和解析
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．
1-5 C B C B B6-8 D B D
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
9.AD 10.BC 11.AB 12.ABD
12.【解答】
解：对于 A，由题意知，C 的准线方程为 x  1 ，焦点 F (1, 0) ， 如图，过点 A 作 C 的准线的垂线，垂足为 A ，
则 AQ  AF  AQ  | AA | ，
故| AQ |  | AF | 的最小值是点 Q 到 C 的准线的距离，即为 4，故 A 正确；
对于 B，由题意易知直线 AB 的斜率不为 0，故可设直线 AB 的方程为 x  my 1 ， A(x1, y1) ， B(x2, y2 )，
 y2  4x

由x  my  1
，得 y2
 4my  4  0.
所以 y1 y2  4 ， y1  y2  4m ，
y2y22
x x  1  2
 1， x1  x2  m  y1  y2   2  4m
 2 ，
1 244
所以OAOB  x1x2  y1 y2  1 4  3 ，故 B 正确；
对于 C，若| AF |  | BF | 12 ，又 AF
 x1  1， BF
 x2 1 ，
所 以 AF  BF
  x1  1 x2  1  x1x2   x1  x2   1
2
 1 4m2  2 1  12 ，解得 m  ，
2
2
11
则直线 AB 的斜率为 k   ，故 C 错误；
m2
对 于 D， 1  1  1  1 
x2  1  x1  1 
x2  x1  2
 1 ，所以
AFBFx1  1x2  1
 x1  1 x2  1
x1 x2  x2  x1  1
4 AF  BF
 4 AF  BF  1  1   5 
BF
AF
 AF BF

5  2
 9 ，
4 AF
BF
4
当且仅当| AF | 3 ， BF  3 时，等号成立，故 D 正确，故选： ABD.
2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分
13.1614.  1
2
15. 1
2
5 16.（0,4）
四、解答题：本小题共 5 小题，共 48 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】解： (I ) 设圆心 C (a, b) ，则 b  a  3 ，
圆经过点 A(1, 2) 和 B(3, 6) ，
(a 1)2  (b  2)2
(a  3)2  (b  6)2
r ，
5
解可得， a  1 ， b  2 ，即圆心 C (1, 2) ， r  2，
故圆 C 的方程为： (x  1)2  ( y  2)2  20 ；
5
(II )圆 C 的方程为： (x  1)2  ( y  2)2  20 ，圆心C (1, 2) ， r  2，
①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 方程为： x  2 ，
r 2  12
19
此时| MN | 2 2，
 符合题意，
②当直线 l 的斜率存在时，设斜率为 k，则直线 l 的方程为： y  k ( x  2) ，即 kx  y  2k  0 ，
k 2  1
k 2  1
 圆心 C (1, 2) 到直线 l 的距离 d  | k  2  2k |  | k  2 | ，
3
r 2  d 2
19
| MN | 2
 2， k ，
4
 直线 l 的方程为： 3x  4 y  6  0 ，
综上所求，直线 l 的方程为： x  2 或3x  4 y  6  0.
【答案】解： (1) 设动圆圆心为 M (x, y) ，半径为 R，
将圆的方程分别配方得：圆C : (x  3)2  y2  4 ，圆C : (x  3)2  y2  100 ，
12
当动圆 M 与圆C1 外切时， | C1M | R  2 ，当动圆 M 与圆C2 内切时， | C2M | 10  R ，
所以| C1M |  | C2M | 12 | C1C2 | ，所以点 M 的轨迹是焦点为C1 (3, 0) ，C2 (3, 0) ，且长轴长等于 12 的椭圆.

2
2
所以动圆圆心 M 轨迹方程为 xy1.
3627
(2) 由(1) 得， F (3, 0) ，设 P(x, y) ，
所以| PO |2  | PF |2  x2  y2  (x  3)2  y2  2x2  6x  9  2 y2 ， 因为点 P 在椭圆上，所以 x [6, 6] ， y2  27  3 x2 ，
4
所以| PO |2  | PF |2  1 x2  6x  63  1 (x  6)2  45 ，
22
min
所以当 x  6 时， (| PO |2  | PF |2 ) 45 ，故| PO |2  | PF |2 的最小值为 45.
19.【答案】解： (1) 设{a }的公差为 d，则5a  5 4 d  35 ， 7a  7  6 d  21 ，
n1212
 a  15 ， d  4 ， a  15  4(n 1)  4n 19. 由a  4n 190 得n 19 ，
1nn 4
n  1，2，3，4 时 a  0 ， n5 时， a  0 ， S
的最小值为 S
 4a  4  3 d  36.
nnn
(2) 由(1) 知，当n  4 时， bn | an | an ;
n  5 时， bn | an | an ，
412
S  na  n(n 1) d  2n2 17n ，
n12
当时， T  S  17n  2n2.
n  4nn
当时， T  S
2S
 2n2 17n  72 ，
n  5
nn4
17n  2n2 , n4,

Tn  2n2 17n  72.n5..
20.【答案】解： (1) 因为e  c  2 ，所以c  2a ， b2  c2  a2  3a2 .
a
x2y2
222
所以双曲线的方程为
a2
 1，即3x  y
3a2
 3a .
因为点 M ( 5, 3) 在双曲线上，所以15  3  3a2 ，所以 a2  4.
所以所求双曲线的方程为3x
2  y2
 12. 即 xy1.

2
2
412
(2) 由题意可得直线 OP 的斜率存在，可设直线 OP 的方程为 y  kx(k  0) ，则直线 OQ 的方程为 y   1 x ，
k
 x2

 y2 
x2 

12
3  k 2
12(k 2 1)
1
由  412
 y  kx
，得

 y2

 12k 2
3  k 2
，所以| OP |2  x2  y2 
3  k 2
. 同理可得，
12(1  1 )2
222
| OQ |2 
k 2  12(k
1)
11
 3  k
 (3k 1)  2  2k
 1 .
3  13k 2 1
k 2
，所以| OP |2
| OQ |2
12(k 2 1)12(k 2 1)6
(x 1)2  y2
21.【答案】解： (1) 设动点 P(x, y) ，且 x  2 ，则 1 | x  (2) | ，化简得 E： y2  4x ；
(2) 假设存在符合题意的定点 M， 由题意，直线 AB 的斜率不为 0，
设定点 M 的坐标 M (t, 0) ，直线 AB 的方程为 x  my  2 ，
 y2  4x

联立x  my  2
 y1  y2  4m
，可得 y2  4my  8  0 ，   0 恒成立，设 A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，
则 y y  8，
 1 2
 k k 0 ， y1 y2
 y1 (x2  t )  y2 (x1  t )  0 ，
AMBM
x  tx  t
(x  t )(x
t )
1212
即 y1 (my2  2  t)  y2 (my1  2  t)  0 ，
化简得2my1 y2  (2  t)( y1  y2 )  0 ，
代入韦达定理得16m  (2  t)  4m  0 ，
解得t  2.故存在符合题意的定点 M，且定点 M 的坐标为(2, 0).