陕西省西安市重点高中2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份陕西省西安市重点高中2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，且，则实数的值为（ ）．
A．4B．C．2D．
3．圆心为，半径的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．在数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．1D．
5．若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）．
A．有相等的长轴长B．有相等的焦距
C．有相等的短轴长D．有相等的离心率
6．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1B．C．D．
7．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（ ）.
A．B．C．或D．4或
8．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．记为等差数列的前n项和若，，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知曲线，则（ ）
A．若，则C是圆B．若，则C是椭圆
C．若，则C是双曲线D．若，，则C是两条直线
11．设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，且不与双曲线C的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则双曲线C的两条渐近线的方程是
B．若点P的坐标为，则双曲线C的离心率大于3
C．若，则的面积等于
D．若双曲线C为等轴双曲线，且，则
三、填空题
12．已知为等比数列，且，，则公比 ．
13．在平行六面体中，，，，则 .
14．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 ．
四、解答题
15．在等差数列中，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求的值．
16．已知圆过点、，且圆周被直线平分．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
17．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18．如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点．
(1)求证：为定值；
(2)求证：．
19．设数列的前项和为，已知．数列是首项为，公差不为零的等差数列，且成等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，且恒成立，求的取值范围．
1．A
根据方程得到直线的斜率，然后可得答案.
【详解】由可得此直线的斜率为，倾斜角为，
故选：A
2．A
依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】解：因为，，且，
所以，解得.
故选：A
3．B
根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】根据题意，圆心为，半径
圆的标准方程为；
故选：B．
4．A
由依次算出、、即可.
【详解】因为，，所以，，
故选：A
5．B
先确定两椭圆的长轴和短轴，计算其，比较即可.
【详解】因为，所以，所以椭圆中，，故A,C错误；椭圆的，椭圆的，故两椭圆相等，所以有相等的焦距，故B正确；离心率，两椭圆不相等，相等，显然离心率不一样，故D错误.
故选：B
6．C
连接，由，即可求出答案.
【详解】连接如下图：
由于是的中点，
.
根据题意知.
.
故选：C.
7．C
结合抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线开口向左，
依题意，抛物线上的点与点间的距离为3，
所以，抛物线方程为，
令，得，解得，
故选：C
8．C
根据给定的空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解.
【详解】依题意，，，
设直线与直线的夹角为，则，
所以直线与直线夹角的正弦值.
故选：C
9．ACD
首先利用等差数列通项公式及前n项和公式得，求解首项和公差d，然后分别写出数列的通项公式和前n项和公式．
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，，
即，所以故A正确，B错误．
则数列的通项公式为，故C正确．
前n项和为故D正确．
故选：ACD．
10．CD
结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】因为曲线：.
当时，表示圆；
当，且时，表示椭圆；
当时，表示双曲线；
当或时，表示两条直线.
所以CD正确.
故选：CD
11．BCD
对于A双曲线的两条渐近线的方程是即可判断，对于B将点代入双曲线方程即可得，由即可判断，对于C若，则有，根据双曲线的定义有，最后由面积公式即可判断，对于D若双曲线C为等轴双曲线，则，得，由，得，，代入余弦定理即可判断.
【详解】对于A：当，时，双曲线的两条渐近线的方程是，故A错误；
对于B：若点，则，故B正确；
对于C：若，则有，根据双曲线的定义有，
所以有 ，
所以的面积为，故C正确；
对于D：若双曲线C为等轴双曲线，则，所以，因为，，，
在中，由余弦定理有，故D正确.
故选：BCD.
12．3
由即可求出.
【详解】设公比为，则有.
故答案为：3.
13．
先用向量线性表示出，然后求出即可.
【详解】设,，，则，
，
又因为，
所以，则.
故答案为：.
14．6
由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.
【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为.
15．（1）；（2）165.
（1）联立题干两条件，可求出，即可求出；
（2）令，求出即可
【详解】（1）因为是等差数列，，
所以．
解得
则；
（2）∵，
∴.
16．(1)
(2)或
（1）根据题意可知直线过圆心，AB的垂直平分线也过圆心，求出其方程后与已知直线方程联立，求出圆心坐标及半径，便可写出圆的标准方程.
（2）根据垂径定理求出点到直线的距离，斜率存在时设直线方程为，利用点到直线距离公式求得，求出直线方程，斜率不存在.
【详解】（1）解：由题意得：
∵，，且直线过圆心
∴AB的中点坐标为
又
∴AB的垂直平分线方程为，即
联立，解得
∴圆C的圆心坐标为，
则圆C的标准方程为．
（2）当斜率存在时，设直线方程为，即．
圆心，到直线的距离
解得
∴直线l的方程为
当斜率不存在时，也满足条件
则直线l的方程为或．
17．(1)证明见解析
(2)
（1）由四边形是正方形得，平面平面，平面平面，得平面，在三棱柱中，有即得证；
（2）分别求平面的法向量为，平面的法向量为，则根据夹角公式即可求解.
【详解】（1）证明：在三棱柱中，有，
因为四边形是正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，又，
所以平面；
（2）由，，，得，∴．
以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
得，，．
设平面的法向量为，平面的法向量为．
则，令，则，，
∴平面的一个法向量为．
，令，则，，
∴平面的一个法向量为．
∴．
∴平面与平面夹角的余弦值为．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）设直线：，代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得为定值.
（2）根据（1）的结论，通过求证得.
【详解】（1）由题可设直线l的方程为（），
与抛物线方程联立得
消去y可得，
其中，
由根与系数的关系得，即为定值．
（2）因为，，所以．
又因为，所以．
设，的斜率分别为，，
则，，有，则．
19．（1），；（2）.
【详解】（1）∵，
当时，，两式相减化简可得：,
即数列是以3为公比的等比数列，
又∵，∴，解得，即，
设数列的公差为，，
∵成等比数列，∴，
解得或（舍去），即，
∴数列和的通项公式为，.
（2）由（1）得，
∴，
，
两式相减得：
∴，即有恒成立，
恒成立，可得，
即的范围是.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
B
A
B
C
C
C
ACD
CD
题号
11









答案
BCD