2025-2026学年江苏省淮安市淮阴区九年级（上）期中数学试卷（有答案和解析）

这是一份2025-2026学年江苏省淮安市淮阴区九年级（上）期中数学试卷（有答案和解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列每个选项的两个图形，是相似图形的是( )
A. B.
C. D.
2.已知a2=b3(a≠0,b≠0)，下列变形错误的是( )
A. ab=23B. 2a=3bC. ba=32D. 3a=2b
3.下列各组数中，成比例的是( )
A. 7，5，14，5B. 6，8，3，4C. 3，5，9，12D. 2，3，6，12
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=40∘，则∠C=( )
A. 110∘B. 120∘C. 135∘D. 140∘
5.如图，点A、B、C在⊙O上，∠A+∠C=50∘，则∠AOC的度数为( )
A. 25∘
B. 50∘
C. 100∘
D. 130∘
6.若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A. 1：3B. 1：9C. 3：1D. 1： 3
7.如图，树AB在路灯O的照射下形成影子AC，已知路灯高PO=5m，树影AC=3m，树AB与路灯O的水平距离AP=4.5m，点C、A、P在同一水平线上，则树的高度AB长是( )
A. 3m
B. 2m
C. 23m
D. 103m
8.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，BC=2AB，若点A的坐标是(0,3)，点B的坐标是(1,0)，则点D的坐标是( )
A. (7,2)B. (7,5)C. (5,6)D. (6,5)
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知：△ABC∽△DEF，∠C=60∘，∠F的度数为 .
10.若3x=2y，则x+yx的值为 .
11.已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是______.
12.已知△ABC∽△DEF，它们的周长分别为30和15，且AB=6，则DE的长是 .
13.如图，已知PA、PB分别切⊙O于A、B点，C为优弧ACB上除A、B一点，若∠P=70∘，则∠ACB的大小为______度.
14.如图，∠1=∠2，添加一个条件 使得△ADE∽△ABC.
15.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC=1：2，AE与BD相交于F，则S△EBF：S△ADF= .
16.如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形内一个动点，且∠APB=90∘，点E在边AD上运动，连接PE、CE，则PE+CE的最小值为 .
三、解答题：本题共9小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知a、b满足a：b=3：2，且a+2b=28.求a、b的值.
18.(本小题10分)
如图，实验中学某班学生在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆BE测量学校体育馆的高度．若标杆BE的高为1.5米，测得AB=2米，BC=14米，求学校体育馆CD的高度．
19.(本小题12分)
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD=BD.
(1)求证：△ABC∽△BDC.
(2)若∠C=90∘，BC=2，求AB的长．
20.(本小题12分)
如图，AC是⊙O的直径，点B是AC延长线上一点，直线BD与⊙O相切于点D，AD=BD.
(1)求∠A的度数；
(2)连接CD，若CD=5，求AB的长.
21.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.
(1)求证：△ABE∽△DFA；
(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．
22.(本小题10分)
请使用无刻度的直尺和铅笔作图(保留作图痕迹)：
(1)如图1，已知点A、B、C都是格点，作出△ABC的重心G(三条边中线的交点)；
(2)如图2，点A、B、C、D都是格点，在线段AB上作出点E，使△ACE与△EBD相似.
23.(本小题12分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2.5，BD=2，求CE的长.
24.(本小题12分)
如图，某测量工作人员与标杆顶端F.电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED.
25.(本小题14分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P、Q分别为线段BC、CD上的两个动点，点P从点C出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以每秒1.5个单位的速度向点D运动.将△PCQ沿着PQ折叠，点C落在点E处，点O是CE与PQ的交点，设运动时间为t(s).
【观察】
(1)若四边形PCQE的面积为6，则t的值为______；
【推理】
(2)当点P在BC上运动时，求OQCQ的值；
【探究】
(3)连接BD，设△PEQ与△BCD重叠部分的面积为S，请你求出S与t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由相似图形的概念知，选项C中的两个图形相似；
故选：C.
根据相似图形的概念即可作出判断．
本题考查了相似图形的概念：形状相同，大小不同的两个图形是相似图形．
2.【答案】B
【解析】解：由a2=b3得，3a=2b，
A、由比例性质可得：3a=2b，正确；
B、2a=3b与3a=2b不符合，错误；
C、由比例性质可得：3a=2b，正确；
D、3a=2b，正确.
故选：B.
本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
3.【答案】B
【解析】解：A、因为7×5≠5×14，所以不能组成比例
B、因为6×4=8×3，所以能组成比例
C、因为3×12≠5×9，所以不能组成比例
D、因为2×12≠3×6，所以不能组成比例．
故选：B.
根据比例的性质，看看给出的这四个数中是不是有两个数相乘的积等于另两个数相乘的积，如果是，就说明能组成比例，否则就不能组成比例．
本题考查了比例线段；熟记比例线段的性质是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．
【解答】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A=180∘，
∴∠C=180∘−40∘=140∘.
故选D.
5.【答案】C
【解析】解：连接OB，
∵OA=OB=OC，
∴∠ABO=∠A，∠CBO=∠C，
∴∠ABO+∠CBO=∠A+∠C=50∘，
∴∠ABC=50∘，
∴∠AOC=2∠ABC=100∘.
故选：C.
连接OB，由等腰三角形的性质推出∠ABO=∠A，∠CBO=∠C，得到∠ABC=∠A+∠C=50∘，由圆周角定理推出∠AOC=2∠ABC=100∘.
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理推出∠AOC=2∠ABC.
6.【答案】B
【解析】解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9.
故选：B.
由相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比．
本题考查对相似三角形性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB//OP，
∴△CAB∽△CPO.
∴ABPO=ACPC.
∴AB5=33+4.5.
∴AB=2.
故选：B.
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
8.【答案】D
【解析】解：如图中，作DF⊥y轴于F.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠DAB=∠DFA=∠AOB=90∘，
∴∠DAF+∠OAB=90∘，∠OAB+∠ABO=90∘，
∴∠DAF=∠ABO，
∴△DFA∽△AOB，
∴DFOA=AFOB=ADAB=21，
∵A(0,3)，点B的坐标是(1,0)，BC=2AB，
∴OA=3，OB=1，
∴DF3=AF1=21，
∴DF=6，AF=2，
∴OF=5，
∴D(6,5)，
故选：D.
作DF⊥y轴于F.证明△DFA∽△AOB(AAS)即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
9.【答案】60∘
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，∠C=60∘，
∴∠F=∠C=60∘，
故答案为：60∘.
直接根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等是解题的关键．
10.【答案】52
【解析】解：∵3x=2y，
∴yx=32，
∴x+yx=1+yx=1+32=52，
故答案为：52.
根据比例的性质进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11.【答案】15π
【解析】解：圆锥的侧面积=12⋅2π⋅3⋅5=15π.
故答案为15π.
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12.【答案】3
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，它们的周长分别为30和15，
∴△ABC和△DEF的相似比为2：1，
∵△ABC∽△DEF，AB=6，
∴3015=6DE，
解得DE=3，
故答案为：3.
根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
13.【答案】55
【解析】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B点，
∴∠OAP=90∘，∠OBP=90∘，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB=360∘−∠OAP−∠OBP−∠P=360∘−90∘−90∘−70∘=110∘，
∴∠ACB=12∠AOB=55∘.
故答案为：55.
连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
本题主要考查了切线的性质、四边形的内角和以及圆周角定理，正确求得∠AOB的度数，是解决本题的关键．
14.【答案】∠D=∠B或∠E=∠C或ADAB=AEAC
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAE=∠CAE+∠2，
∴∠DAE=∠BAC，
∴当添加条件∠D=∠B时，则△ADE∽△ABC；
当添加条件∠E=∠C时，则△ADE∽△ABC；
当添加条件ADAB=AEAC时，则△ADE∽△ABC；
故答案为：∠D=∠B或∠E=∠C或ADAB=AEAC.
根据∠DAB=∠CAE，可以得到∠DAE=∠BAC，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得△ADE∽△ABC，本题得以解决．
本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．
15.【答案】1：9
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵BE：EC=1：2，
∴BE：BC=BE：AD=1：3，
∵BE//AD，
∴△EBF∽△ADF，
∴S△EBFS△ADF=(BEAD)2=19.
故答案为：1：9.
利用相似三角形的性质求解．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
16.【答案】 13−1
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为2，P为正方形内一个动点，且∠APB=90∘，
∴点P在以AB为直径的圆M上，如图，
作C关于AD的对称点C′，连接C′M，交AD于E，交⊙M于P，此时，PE+EC的值最小，为PC′的长，
∵AB=2，
∴AM=BM=PM=1，
作MN⊥CD，则MN//AD，MN=AD=2，
∴DN=AM=1，
∵C′D=CD=2，
∴CN=2+1=3，
在Rt△MNC′中，MC′= MN2+NC′2= 22+32= 13，
∴PC′=MC′−MP= 13−1，
∴PE+CE的最小值为 13−1.
故答案为： 13−1.
首先确定点P在点P在以AB为直径的圆M上，然后C关于AD的对称点C′，连接C′M，交AD于E，交⊙M于P，此时，PE+EC的值最小，为PC′的长，然后通过构建直角三角形求得MC′的长，进一步根据PC′=MC′−MP即可求解．
本题考查了轴对称-最短路线问题，圆周角定理，正方形的性质，明确两点之间线段最短是解题的关键．
17.【答案】a=12，b=8.
【解析】解：∵a：b=3：2，
∴设a=3k，b=2k，
∵a+2b=28，
∴3k+4k=28，
解得：k=4，
∴a=12，b=8.
利用设k法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：依题意得BE//CD，
∴△AEB∽△ADC，
∴ABAC=BECD，即22+14=1.5CD，
则CD=12.
答：所以楼高CD是12米．
【解析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．
根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．
19.【答案】(1)证明：如图，∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD=∠DBA，
∴∠A=∠CBD，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC.
(2)解：如图，∵∠C=90∘，
∴∠A+∠ABC=90∘，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∴∠A+∠ABD+∠CBD=3∠A=90∘，
∴∠A=30∘，
∵BC=2，
∴AB=4.
【解析】(1)由AD=BD得∠A=∠DBA，而∠C是△ABC和△BDC的公共角，根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”即可证明△ABC∽△BDC.
(2)由∠C=90∘，BD平分∠ABC，AD=BD，得∠A=30∘，即可求出AB的长．
此题考查相似三角形的判定定理与性质定理的应用等知识与方法，找出相似三角形的对应角并且证明对应角相等是解题的关键．
20.【答案】(1)∠A的度数是30∘. (2)AB的长为15
【解析】解：(1)连接OD，
∵直线BD与⊙O相切于点D，
∴BD⊥OD，
∴∠ODB=90∘，
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∵∠BOD=2∠A，
∴∠BOD=2∠B，
∵∠BOD+∠B=90∘，
∴2∠B+∠B=90∘，
∴∠A=∠B=30∘，
∴∠A的度数是30∘.
(2)连接CD，
∵OD=OC，∠COD=2∠A=60∘，
∴△COD是等边三角形，
∴OA=OD=CD=5，
∵∠ODB=90∘，∠B=30∘，
∴OB=2OD=10，
∴AB=OA+OB=15，
∴AB的长为15.
(1)连接OD，由直线BD与⊙O相切于点D，得∠ODB=90∘，由AD=BD，得∠A=∠B，所以∠BOD=2∠A=2∠B，由2∠B+∠B=90∘，求得∠A=∠B=30∘.
(2)连接CD，由OD=OC，∠COD=2∠A=60∘，证明△COD是等边三角形，则OA=OD=CD=5，由∠ODB=90∘，∠B=30∘，得OB=2OD=10，则AB=OA+OB=15.
此题重点考查圆周角定理、切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：在矩形ABCD中，∠B=90∘，AD//BC，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90∘，
∴∠B=∠AFD=90∘，
又∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴△ABE∽△DFA.
(2)解：∵AB=6，BE=8，∠B=90∘，
∴AE= AB2+BE2=10，
∵△ABE∽△DFA，
∴ABDF=AEAD，
即6DF=1012，
∴DF=7.2.
【解析】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质、勾股定理等知识点，难度中等．
(1)△ABE和△DFA都是直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据AD//BC可得∠DAF=∠AEB，问题得证；
(2)运用相似三角形的性质求解．
22.【答案】(1)如图1，G即为所求; (2)如图2，点E即为所求
【解析】解：(1)△ABC的重心G，如图1即为所求；
(2)如图2，点E即为所求．
(1)重心是三角形中线的交点，作△ABC的中线CE，AD交于点G，点G即为所求；
(2)根据相似三角形的性质作出图形即可．
本题考查了作图-相似变换，三角形的重心，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
23.【答案】(1)连接OD，则OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∴∠ODB=∠C，
∴OD//AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE=∠DEC=90∘，
∵OD是⊙O的半径，且EF⊥OD于点D，
∴EF是⊙O的切线． (2)CE的长是45
【解析】(1)证明：连接OD，则OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∴∠ODB=∠C，
∴OD//AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE=∠DEC=90∘，
∵OD是⊙O的半径，且EF⊥OD于点D，
∴EF是⊙O的切线．
(2)解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ADB=90∘，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=BD=2，
∵⊙O的半径为2.5，
∴AC=AB=2×2.5=5，
∵∠DEC=∠ADC=90∘，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴CECD=CDAC=25，
∴CE=25CD=25×2=45，
∴CE的长是45.
(1)连接OD，则OD=OB，所以∠ODB=∠ABC，由AB=AC，得∠C=∠ABC，则∠ODB=∠C，所以OD//AC，则∠ODE=∠DEC=90∘，即可证明EF是⊙O的切线．
(2)连接AD，因为AB为⊙O的直径，所以∠ADC=∠ADB=90∘，则CD=BD=2，由⊙O的半径为2.5，得AC=AB=5，由∠DEC=∠ADC，∠C=∠C，证明△DEC∽△ADC，得CECD=CDAC=25，则CE=25CD=45.
此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H.
由题意可得：△AFG∽△AEH，
∴AGAH=FGEH
即11+5=3.2−1.6EH，
解得：EH=9.6米．
∴ED=9.6+1.6=11.2米．
【解析】此题考查了相似三角形的性质，通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例解答即可．
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求解即可．
25.【答案】 2 (2)35 (3)S=32t2(0≤t≤2)−92t2+24t−24(2