黑龙江省齐齐哈尔市普通高中联谊学校2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市普通高中联谊学校2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：集合，逻辑，不等式，函数及导数，向量，复数，三角函数，数列．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为集合，，所以．
故选：B．
2. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
，
故选：A．
3. 已知函数是奇函数，且时，，则（ ）
A. 10B. 9C. D.
【答案】D
【详解】由奇函数的定义得，
故选：D.
4. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】解：不等式可化为，
解得，
所以不等式的解集为（4，3）．
故选C．
5. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律.图（正八边形）是由图（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】方法一：过作，，垂足分别是，
，四边形为正方形，
，又，
，即，；
方法二：分别以射线为轴，轴的正半轴建立直角坐标系，
设，则，
，，，
由得：，
，解得：，.
故选：A.
6. 已知向量，且向量与夹角为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为，则，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：C.
7. 若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】已知，由题意知在内有变号零点，
显然在单调递增，
故原条件等价于，解得，
故实数a的取值范围是.
故选：C.
8. 已知两个等差数列前项和分别是，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题意，
在两个等差数列中，前项和分别是，，
对于一般等差数列前项和为二次型函数：（为常数），
∴设，，为常数
∴，
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知都是实数，下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】ABD
【详解】当，时，，，，故A正确；
当，时，，，
，故B正确；
令时，成立，不成立，故C错误；
当时，，又，，故D正确．
故选：．
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为4B. 若，则的最小值为4
C. 若，则的最大值为D. 函数的最大值为
【答案】BCD
【详解】对于A，取，，满足条件，但此时，故A错误；
对于B，因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4，故B正确；
对于C，，
因为，所以，，所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为－2，故C正确；
对于D，因为，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故D正确．
故选：BCD
11. 已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，时，恒成立，则“不等式成立”的一个充分不必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【详解】因为对任意的，，时，恒成立，
设，
则
，
所以函数在上单调递减，
又
，
所以不等式成立等价于，
又定义域为R的函数满足，即函数关于直线对称，
当时，，解得；
当时，因为关于直线对称，即，
所以，解得，
综上不等式成立的条件为，
所以“不等式成立”一个充分不必要条件为其子集，即或.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，则______．
【答案】##
【详解】，，
，
，
．
故答案为：．
13. 若命题：，使得为假命题，则实数m的取值范围为_____
【答案】
【详解】由题意可得，：，为真命题，
即当时，恒成立.
因为函数的对称轴为，
所以当时，，
所以，即，解得或，
即实数m的取值范围为.
故答案为：.
14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】令，得，
即，令，，
所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点.
，令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且时，时，
所以的图象如图所示，
设是经过点的的图象的切线，切点为，
则切线斜率为，
所以的方程为，
又经过点，所以，
即，解得或，
或，
所以由图可知，当或，
即或时，函数的图象与的图象有两个交点，
即函数恰有2个零点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合或，．
（1）求，；
（2）若，且，求实数k的取值范围．
【答案】（1）或，
（2）
【小问1详解】
集合，
或或，
．
【小问2详解】
，，
由（1）知，，
当集合时，需满足，无实数解；
当时， 需满足，解得，
实数k的取值范围是．
16. 已知幂函数为偶函数，且．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数，
所以，解得，
又因为，则m的值为，
函数为偶函数，所以为偶数，所以．
【小问2详解】
由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数，
所以不等式，即为，
解得或，即的取值范围是．
17. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数.
（1）求的最小值；
（2）当最小时，求函数取得最大值时，的取值集合.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由，向左平移个单位长度可得：
，
因为是奇函数，所以，，
所以，，
因为，所以当时，取到最小值为.
【小问2详解】
由（1）知，
，
所以时，取得最大值，
此时，由，得.
所以的取值集合为.
18. 已知数列满足，且，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【小问1详解】
已知，
则.
又，，所以.
那么（常数）.
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知，等式两边同时除以得：.
设，则，且.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
所以.
因为，所以.
【小问3详解】
已知，则.
.
所以.
假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列，
则，即，
两边同时乘以得：.
因为，，所以，，
则是的倍数，除以余，等式不成立.
所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
19. 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求曲线与曲线的公切线；
（3）已知，若的两个极值点为，，求的取值范围.
【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减
（2）
（3）
【小问1详解】
，
当时，在时恒成立，此时在单调递增；
当时，令，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；
【小问2详解】
，，，
设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，，
此时切线方程为，
设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，
此时切线方程为，
所以，，时两边都是单调的，
且时，等号成立，故，
公切线方程为；
【小问3详解】
，
，即，
因为的两个极值点为，，
所以有两个不同的正数解，所以
又，代入解得，
，，
令，，
，所以在单调递减，
，