江西省玉山县第一中学2025-2026学年高二上学期第一次集中训练数学试卷（Word版附解析）

这是一份江西省玉山县第一中学2025-2026学年高二上学期第一次集中训练数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线l：的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．若m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
3．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A．B．9C．4D．8
4．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ）

A．圆锥的母线长为6
B．圆锥的表面积为
C．圆锥的体积为
D．若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为
5．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．5
8．已知x，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．以下四个命题叙述正确的是（ ）
A．方程与方程可表示同一直线
B．直线和的交点为P，且P在直线上，则k的值是
C．直线：，：，若，则或2
D．设点是直线上的动点，O为原点，则的最小值是
10．如图，已知正方体的棱长为2，点P在线段AC上运动，则（ ）
A．平面
B．与平面所成的角随AP的增大先变大再变小
C．存在唯一点P，使得与所成角的大小为30°
D．若Q为棱BC上一动点，则的周长的最小值为
11．已知，若过定点A的动直线：和过定点B的动直线：交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（ ）
A．A点的坐标为B．A点的坐标为
C．D．的最大值为
三、填空题
12．如图所示正方体的棱长为2，E是棱的中点，则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 .
13．已知直线l方程为，当点到直线l的距离最大时，则 .
14．已知圆锥的母线长与底面圆的直径均为．现有一个半径为1的小球在内可向各个方向自由移动，则圆锥内壁上（含底面）小球能接触到的区域面积为 ．
四、解答题
15．已知点，求
(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；
(2)过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程.
16．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.

(1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积；
(2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？
17．在中，所在的直线方程：；所在的直线方程：；所在的直线方程：；
(1)求边的高线所在直线方程；
(2)已知直线l过点A且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程；
(3)求的角平分线所在直线方程.
18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，且，，，E为PD的中点.
(1)证明：直线平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)二面角的余弦值.
19．已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）.
(1)若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积；
(2)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由.
1．B
由直线方程确定斜率，即可求解.
【详解】由方程，
可得斜率，又，
所以倾斜角为，
故选：B
2．C
由线线、线面、面面的位置关系逐项判断即可.
【详解】对于A，若，，则，故A正确；
对于B，由，，可得：或，又，所以，故B正确；
对于C，需要相交，才能推出，故C错误；
对于D，因为 且 ，所以 ，又因为 ，所以 ，故D正确
故选：C
3．B
由题可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9.
故选：B.
4．D
由题意可求出圆锥的母线长判断A；由此可求得圆锥的表面积判断B；由圆锥的体积公式可判断C；由侧面展开图的扇形求最短距离判断D.
【详解】设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为，圆锥的侧面积，
因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，
所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，
，解得，所以圆锥的母线长为9，故A错误；
圆锥的表面积，故B错误；
圆锥的高，
则圆锥的体积，故C错误，
如图为圆锥沿SA的侧面展开图，连接，则为等腰三角形，
所以蚂蚁爬行的最短距离为，故D正确.

故选：D.
5．D
根据给定方程，按的取值情况分类，结合直线斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】当时，直线的倾斜角为；
当时，，则；
当时，，则，
所以所求倾斜角的取值范围是.
故选：D
6．C
利用圆台体积公式可得其高为，结合圆台的几何性质确定轴截面从而可得外接球半径，即可得所求．
【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为，
设圆台的高为，由体积可得，
解得，
圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接，
设，则，
则该圆台的外接球半径为，
由勾股定理可得：，解得，所以，
则该圆台的外接球表面积为.
故选：C.
7．C
求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解.
【详解】如图，
，
在直线上，
设点A关于直线的对称点为A'，则所在直线为，
代入点，可得，解得，
故所在直线为，
联立，解得，
故直线与直线交点，
则点关于直线的对称点的坐标为，
，
因为，
所以的最小值是，
故选：C
8．A
问题转化为点到点的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解.
【详解】可看成点到点的距离的平方，
点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上，
问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小.
注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称，
设，因为所以到直线的距离为，
当且仅当即时距离最小，
最短距离为，所以的最小值为.
故选：A.
9．BD
利用方程不含的点判断A；求出交点坐标，进而求出判断B；验证判断C；求出点到直线距离判断D.
【详解】对于A，方程表示不含点的直线，A错误；
对于B，由，解得，由题可得在直线上，则，B正确；
对于C，当时，直线与重合，C错误；
对于D，的最小值是原点到直线的距离，D正确.
故选：BD
10．ABD
利用面面平行证明线面平行可判断A；结合线面角的表达式可判断B；先确定的轨迹，研究轨迹和的关系可判断C；把三角形三边都转化到底面中，结合余弦定理可求最小值可判断D．
【详解】对于A选项，连接，
在正方体中，，四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面，所以A选项正确；
对于B选项，因为在平面内的投影为，
设与平面所成的角为，
所以，
由图易得随的增大先变小再变大，所以先变大再变小，
因为时，为增函数，
所以与平面所成的角随的增大先变大再变小，所以B选项正确；
对于C选项，因为，所以与所成角为时，与所成角也为，
因为，所以，
所以点在底面内的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，
如图，在正方形中，
，，
作于，由等面积法可得，
所以不存在使得与所成角的大小为，所以C选项错误；
对于D选项，把△和侧面分别绕，旋转到底面内，如图：
则△的周长为，由图易知，最小值为图中虚线长，
因为△为等边三角形，且边长为，
所以，，
所以，所以D选项正确．
故选：ABD．
11．ACD
根据直线方程求出定点的坐标，可判断AB，利用两直线垂直的判断方法，勾股定理，确定点轨迹，可判断C，三角函数辅助角求最值可判断D.
【详解】因为可以转化为，
故直线恒过定点，
又因为，即，
恒过定点，故A选项正确；B错误.
由 和，
满足，所以，可得，
所以，故C选项正确；
因为，设，为锐角,
则， ，
所以，，
所以当时，取最大值，故选项D正确.
故选：ACD.
12．
先通过作辅助线确定截面的形状，再利用正方体棱长及勾股定理分别求出截面四边形各边的长度，最后相加即可.
【详解】延长与的延长线交于点，连接交于点，连接，如图所示，
则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为
棱的中点,且，在中，为中位线，，
又由题意得，且，，又，，，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
所得截面图形的周长为.
故答案为：.
13．
将直线l方程化为，联立方程组，求得直线过定点，结合点到直线l的距离最大时，则满足，利用，列出方程，即可求解.
【详解】将直线l方程化为，
联立方程组，解得，所以直线过定点，
当点到直线l的距离最大时，则满足，所以，
又由，可得，解得.
故答案为：.
14．
分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解．
【详解】因为圆锥的母线长与底面圆的直径均为．小球的半径为1
在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，
可知扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为，
所以扇环其面积为；
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为．
综上，圆锥内壁上（含底面）小球能接触到的区域面积为．
故答案为：

15．(1)
(2)
（1）所求的圆，即以AB为直径的圆，求出圆心和半径，可得结果；
（2）解法一：求出的垂直平分线的方程是，又圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是，，可得圆的标准方程；解法二：利用待定系数法求解．
【详解】（1）当为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．
即的中点为圆心，半径，
则圆的标准方程为．
（2）解法一：的斜率为，则的垂直平分线的方程是，即，
由圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是．
．
故所求圆的标准方程是．
解法二：待定系数法
设圆的标准方程为，
则
故所求圆的标准方程为．
16．(1)陀螺体积、表面积分别为，；
(2)().
（1）根据题意求得外接球半径，进而可求得底面半径，再应用圆锥、圆柱体积、表面积公式求结果；
（2）令圆柱的高为，有陀螺的高为，应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，确定取值条件，即可得结果.
【详解】（1）令陀螺外接球半径为，则，可得，
由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为，
所以圆柱底面直径，则底面半径，
综上，圆锥的高为，母线长为，
所以陀螺的体积为，
陀螺表面积为.
（2）令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径，
所以圆柱底面直径为，圆锥的高为，
所以陀螺的高为，
由圆柱体侧面积，
当且仅当时取等号，
所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大.
17．(1)
(2)或
(3)
（1）求得，结合直线垂直关系即可求解；
（2）由截距为0和截距不为0两类情况计算即可；
（3）由直线夹角公式求得斜率，即可求解.
【详解】（1）联立方程：和，
解得，即,
又直线斜率为，所以边的高线所在直线斜率为，
所以直线方程为：，
即
（2）由（1）知，
当截距为0时，直线方程为：，即；
当截距不为0时，设直线方程为，
代入得：，解得，
直线方程为；
所以过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为：或
（3）
，设的角平分线所在直线斜率为，
由直线的夹角公式可得：,
即，
解得：，结合图像可知，舍去，
所以的角平分线所在直线方程为：，
即
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）由面面垂直的性质，证得平面，得到，再由勾股定理，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面.
（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和向量，结合向量的距离公式，即可求解；
（3）由由（2）得到平面的一个法向量为，再由平面，得到平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：在中，由，所以，所以，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
在直角梯形中，由且，
可得，，
所以，所以，
又因为，且平面，所以平面.
（2）解：由（1）知平面，因为，所以，
以A为原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，
因为为的中点，所以，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设点到平面的距离为，可得，
所以点到平面的距离为.
（3）解：由（2）中的空间直角坐标系，可得平面的一个法向量为，
又由（1）知平面，所以平面的一个法向量为
设二面角的平面角的大小为，则，
所以二面角的余弦值为.
19．(1)，
(2)存在，
（1）由直线的方程为，联立方程组分别求得点的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解；
（2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，由（1）求得， 得到，进而得到结论.
【详解】（1）

因为直线 l过点，且斜率为，所以直线的方程为，
因为直线与分别交于点，所以 ，
由 ，解得 ，即 ，
由 ，解得 ，即，
又因为的纵坐标均为正数，所以 ，即，
因为 ，所以
若时，，，
又因为点为线段中点，所以解得，
所以，，所以，的面积．
（2）假设存在满足题意的，使得的值与无关，
由（1）知：， 且，
因此，，
所以，
因为 ，所以当时，为定值，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
D
D
C
C
A
BD
ABD
题号
11









答案
ACD