四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

这是一份四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
注意事项：
命题人：林 毅审题人：杨 勇龚 旻
(考试时间：120 分钟分值：150 分)
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
直线 y = x 的倾斜角为()
A. 0°B. 45°C. 90°D. 135°
已知直线 2x + my + 1 = 0 和 x - y - 1 = 0 平行，则 m 的值为()
A. - 2B. 2C. - 1D. 1
a = 3
已知向量 

，b = -2
( ，1，z(
，y，1
，若 

，则 y + z =()
a ⏊ b
A. -3B. 6C. -6D. -12
P
x2 + y2 = 1F F
PF + PF
=()
设 是椭圆 2516
上的点，若
1， 2 是该椭圆的两个焦点，则 12
A. 4B. 5C. 8D. 10

_ 
如图，在平行六面体 ABCD - A B C D 中，M 为 A C 与 B D 的交点．若
 
，则
1 1 1 1

1 11 1
AB = a，AD = b，AA1 = c
下列向量中与 AM =()
1  1 
1  1 
1  1 
1  1 
- 2 a - 2 b + c
2 a - 2 b + c
2 a + 2 b + c
- 2 a + 2 b + c
4
2
口袋内装有除颜色外均相同的 3 个红球和 1 个白球，有放回的抽取两次，事件：“抽取的 2 球中恰有 1 个红球和 1 个白球”的概率为()
A.
8
B.
3 3
16
C. 1
D. 1
已知 A(-1,0)，B(1,0)，直线 AM ,BM 相交于点 M ，且直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为-2，则点 M 的轨迹方程为()
x2 + y2 = 1(x ≠±1)B. x2 - y2 = 1(x ≠±1)
C. x2 - y2 = 1(x ≠±1)D. x2 + y2 = 1(x ≠±1)
22
7
2
7
点 Q 为直线 l:x + y - 2 = 0 上的一点，过点 Q 作圆 C:(x+2 2 + y2 = 1 的两条切线，切点分别为 A，B，则四边形 QACB 面积的最小值为()
A.
B. 2
C. 2
D. 4
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要
求的，选不全对得 2 分，选错得 0 分。
已知事件 A，B 满足 P(A) = 0.6，P(B) = 0.4，则下列结论正确的是()
若 A 与 B 相互独立，则
_
P(AB) = 0.36
若 A 与 B 互斥，则 P(AB) = 0.24
A 与 B 相互对立D. 若 B ⊆ A，则 P(A ∪ B) = 0.6
已知直线 l：4x - 3y + m = 0，圆 C ：x2 + y2 - 4x + 8y - 2m = 0 的半径为 2，点 P 在圆 C 上，则下列说法正确的是()
m =-9
直线 l 与圆 C 相离
5
到直线 l 的距离等于 2 的 P 点只有 1 个
过圆心 C 且与直线 l 垂直的直线方程为 4x - 3y - 20 = 0
如图，点 P 是棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 的表面上一个动点，则()
当 P 在平面 BCC1B1 上运动时，三棱锥 P - AA1D 的体积为定值 4
3
当 P 在线段 AC 上运动时，D1P 与 A1C1 所成角的取值范围是  π , π
l 3 2
2
若 F 是 A1B1 的中点，当 P 在底面 ABCD 上运动，且满足 PF ⎳ 平面 B1CD1 时，PF 长度的最小值是
5
使直线 AP 与平面 ABCD 所成的角为 45° 的点 P 的轨迹长度为π + 4
第二部分 非选择题
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
直线 l:x - y + m = 0 过圆 C:x2 + y2 - 2x - 3 = 0 的圆心，则 m = .
x2 + y2 = 1
F ,FFx
P,Q
△FPQ
已知椭圆 a2b2
的左右焦点分别为 1 2，过 2 作
轴的垂线交椭圆于
，若1
为等边三角
形，则椭圆的离心率为 .
若方程 mx - 1 =- 1 -(x-1)2 有两个不同的解，则 m 的取值范围为.四 解答题 本大题共 5 小题 共 7 分 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤
( 13 分) 如图，已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，其中左焦点为 F1(- 3 ,0
，右焦点
2
F2( 3 ,0 ，点 B( 3 , 1 在椭圆 C 上.
求椭圆 C 的方程；
直线 l:y = x - 1 与椭圆 C 交于不同两点 P、Q，求弦长 PQ .
y
B
F1
O
F2x
(15 分) 如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别是 BB1，CD 的中点．
求证：D1F ⊥ 平面 ADE；
求 C1 到平面 ADE 的距离.
D1C1
B1
D
E
F
B
A1
C
A
(15 分) 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有 3 道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是 2 ，乙答对每道题目的概率都是 1 ，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影
32
响；
若每位面试者都必须回答全部 3 道题，求甲答对 3 道题目的概率．
若每位面试者都必须回答全部 3 道题，求乙恰好答对 2 道题目的概率．
若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第 3 次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
(17 分) 如图所示，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 PD ⊥ 底面 ABCD，PD = DC ，
E 为 PC 中点，作 EF ⊥ PB 于 F.
求证：PA ⎳ 平面 BDE；
求直线 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值；
求平面 ADF 与平面 BDE 的夹角的余弦值.
P
F
E
D
B
C
A
(17 分) 已知圆 C 经过 A(0,3 ,B(0,-1 两点，且圆心 C 在直线 y = 2x + 1 上.
求圆 C 的标准方程.
已知斜率为 k 的直线 l 过点(0,2 ，且与圆 C 交于 D,E 两点，直线 AD 与直线 BE 交于点 P.
3
①记直线 AD 的斜率为 k1，直线 AE 的斜率为 k2，证明：k1k2 =- 1 .
②试问点 P 是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由.
选择题
射洪中学高 2024 级高二上期半期考试
数学参考答案
3
2
填空题 12. -113. 314.(0, 1
8.【详解】由圆方程知圆心为 C(-2,0)，半径为 1，
因为 QA,QB 为圆的切线，所以 AB ⊥ QC ，CA ⊥ QA,CB ⊥ QB，QA = QB ，
S四边形QACB = QA AC = QA ，要使得 S四边形QACB 最小，只要 QA 最小，
由切线长公式知，只要 QC 最小.
-2 +0 -2
2
当 QC ⊥ l 时，QC min == 2 2 ，此时 QA =QC 2- CA 2 = 7 ,
所以 S四边形QACB 的最小值是 2 7 ，故选：A.
10.【解析】对于 A，圆 C ：x2 + y2 - 4x + 8y - 2m = 0 的标准方程为(x-2 2 + (y+4 2 = 20 + 2m，
所以圆心 C (2,-4 ，半径 r = 20 +2m ，
由圆 C 的半径为 2，则 20 +2m = 2，解得 m =-8，故 A 错误；对于 B，因为直线 l 方程为 4x - 3y - 8 = 0，
42+(-3 2
5
则圆心 C (2,-4 到直线 l 的距离 d = 4 ×2 -3 ×(-4 -8 = 12 > 2，所以直线 l 与圆 C 相离，故 B 正确；
5
对于 C ，因为圆心 C (2,-4 到直线 l 的距离 d = 12 ，
由 d - r = 12 - 2 = 2 ，所以到直线 l 的距离等于 2 的 P 点只有 1 个，故 C 正确.
555
4
对于 D，因为直线 l 垂直的直线斜率为- 3 ，
4
则过圆心 C 且与直线 l 垂直的直线方程为 y - (-4 =- 3 (x-2 ，即 3x + 4y + 10 = 0，故 D 错误；故选：BC.
11.【解析】对于 A：△AA1D 的面积不变，点 P 到平面 AA1D1D 的距离为正方体棱长，所以三棱锥 P - AA1D 的体积不变，
且 VP-A A D = 1 S△AA D ⋅ AB = 1 × 1 × 2 × 2 × 2 = 4 ，所以 A 正确；
1 131323
对于 B：以 D 为原点，DA,DA,DD1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系，
可得 A1(2,0,2 ,D1(0,0,2 ,C1(0,2,2 ，

设 P(x,2 -x,0 ,0 ≤ x ≤ 2，则 D1P = (x,2 -x,-2 ，A1C1 = (-2,2,0 ，
 
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
B
D
C
B
D
A
AD
BC
ABD
 
D1P ⋅ A1C1
x-1
(x-1 2+3
设 D1P 与 A1C1 所成角为 θ，csθ = cs < D1P,A1C1 >=  =，
D1P A1C1
因为 0 ≤ x-1 ≤ 1，
2
当x-1 = 0 时，可得 csθ = 0，所以 θ = π ，
当 0 < x-1 ≤ 1 时，csθ =
x-1=1
x-1 + 3
x-1
(x-1 2+3
≤ 1 ，
2
由 θ ∈ 0, π ，所以 π ≤ θ < π ，
l232
所以异面直线 D1P 与 A1C1 所成角的取值范围是  π , π ，所以 B 正确；
l 3 2
对于 C ，由 B1(2,2,2 ,D1(0,0,2 ,C (0,2,0 ,F (2,1,2 ，
设 P(m,n,0

，0 ≤ m ≤ 2,0 ≤ n ≤ 2,则 CB1 = (2,0,2

，CD1 = (0,-2,2
_
，FP = (m-2,n-1,-2 ，
设平面 B CD 的一个法向量为 n = (a,b,c
，则  
 ，
11n ⋅ CD1 =-2b + 2c = 0,n ⋅ CB1 = 2a + 2c = 0
取 a = 1，可得 b =-1,c =-1，所以 n = (1,-1,-1 ，

_
因为 PF ⎳ 平面 B CD ，所以((
，可得 n = m + 1，
_11
FP ⋅ n = m-2
- n-1
+ 2 = 0
所以FP =(m-2 2+(n-1 2+4 = 2m2-4m+8 =2(m-1 2+6 ≥ 6 ，
当 m = 1 时，等号成立，所以 C 错误；
对于 D：因为直线 AP 与平面 ABCD 所成的角为 45°，
由 AA1 ⊥ 平面 ABCD，得直线 AP 与 AA1 所成的角为 45°，若点 P 在平面 DCC1D1 和平面 BCC1B1 内，
因为∠B1AB = 45°，∠D1AD = 45°，故不成立；在平面 ADD1A1 内，点 P 的轨迹是 A1D = 2 2 ；在平面 ABB1A1 内，点 P 的轨迹是 AB1 = 2 2 ；
在平面 A1B1C1D1 内，作 PM ⊥ 平面 ABCD，如图所示，因为∠PAM = 45°，所以 PM = AM ，
又因为 PM = AB，所以 AM = AB，所以 A1P = AB，
4
所以点 P 的轨迹是以 A1 点为圆心，以 2 为半径的四分之一圆，所以点 P 的轨迹的长度为 1 × 2π × 2 = π，
1 - c2
a2
综上，点 P 的轨迹的总长度为π + 4 2 ，所以 D 正确.故选：ABD.
【解析】不妨设 F c,0
a2-b2=c2,c>0
，则 PF
= b ⋅
= b2 ，F F
= 2c,
2((
2
a 1 2
又△FPQ 为等边三角形，则 b2 × 3 = 2c ⇒ a2 -c2 = 2c ，
3
1aa3
即 3 a2 - 3 c2 = 2ac, ∴ 3 e2 + 2e - 3 = (
解之得e = 3 ，负根舍去.故答案为： 3 .
3 e-1
(e+
= 0，
33
【解析】该问题等价于 y = mx - 1 与 y =- 1 -(x-1)2 有两个不同交点，
((x-1
对于 y =- 1 -(x-1)2 等价于 y≤0对于 y = mx - 1，该直线过定点 (0，-1
2+y2=1
，
，即半圆，
y
O
(2，0
x
l1
l2
如图：直线绕点 (0，-1 从 l1 逆时针旋转到 l2(不包括l1 时，
1 1
直线与半圆有两个不同交点，kl1 = 0，kl2 = 2 ，故 m ∈ (0, 2 .
(1)
C: x2 + y2 = 1 a >b >0
-1
【解析】
由题意可设a2b2(，分
将 M3 , 1 代入得 3
+ 1 = 1，3 分
( 2a2
4b2
又 c = 3 ，解得 a = 2,b = 1，6 分
4
所以椭圆方程为 x2 + y2 = 1.7 分
4
(2) 将直线 y = x - 1 与椭圆 x2 + y2 = 1 联立得 5x2 - 8x = 0，9 分
8 2
5
设 P(x1,y1 ,Q(x2,y2
，则 x1 + x2 = 8 ,x1x2 = 0，11 分
5
∴ PQ = 1 +k2
(x1+x2 2-4x1x2 =
.13 分
【解析】(1) 如图，建立空间直角坐标系 D - xyz，所以 D1(0,0,2 ,F (0,1,0 ,A(2,0,0 ,E(2,2,1 ，
__
则 D1F = (0,1,-2 ,DA = (2,0,0 ,DE = (2,2,1 ，3 分
设平面 ADE 的一个法向量为 n = (x,y,z ，
 _
则n⋅ DA=2x=0
，令 y = 1，则 x = 0,z =-2，即 n = (0,1,-2
，6 分
(  _
n⋅ DE =2x+2y+z=0
显然  
n = D1F ，所以 D1F ⊥ 平面 ADE；8 分
(2) 由(1) 可知平面 ADE 的法向量为 n = (0,1,-2 ；



又 DC = (0,2,2 ，所以 C 到平面 ADE 的距离 d = DC1 ⋅ n = 1 ×2 +(-2 ×2 = 2 513 分
12+(-2 2
11n5
【解析】(1) 设“甲答对 3 道题目”为事件 A，
因为甲答对每道题目的概率都是 2 ，且对抽到的不同题目能否答对是独立的，
3
所以 P(A = 2 × 2 × 2 = 8 ；5 分
33327
设“乙恰好答对 2 道题目”为事件 B，
又乙答对每道题目的概率都是 1 ，且对抽到的不同题目能否答对是独立的，
2
所以 P(B
= 3 × ( 1
3 3
=
8
；10 分
2
设“甲通过面试”为事件 C ，“乙通过面试”为事件 D，且 C 与 D 相互独立，
所以_ 1 1 126
P(C = 1 - P(C = 1 - 3 × 3 × 3 = 27 ，11 分
_ 1 1 1 7
P(D = 1 - P(D = 1 - 2 × 2 × 2 = 8 ，12 分
__
设“甲、乙两人只有一人通过面试”为事件 E，则 E = (CD) ∪ (CD)，
___ _
因为 CD 与 CD 互斥，C 与 D，C 与 D 分别相互独立，
______
所以 P(E = P(CD∪CD = P(CD + P(CD = P(C P(D + P(C P(D
= 26 × 1 + 1 × 7 = 11 ，
27827872
72
所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 11 .15 分
【解析】(1 连接 AC ，交 BD 于 O，则 O 为 AC 的中点，连接 EO，且 O、E 分别为 AC、CP 的中点，
所以 OE ⎳ PA，PA ⊄ 平面 BDE，OE ⊂ 平面 BDE，PA ⎳ 平面 BDE4 分
(2 因为底面 ABCD 为正方形，侧棱 PD ⊥ 底面 ABCD，
以点 D 为坐标原点，DA，DC ，DP 方向的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D - xyz，不妨设 AB = 2，
D(0,0,0 ，P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1)
___
所以 PB = (2,2, -2),DB = (2,2,0),DE = (0,1,1)，6 分
 _
设平面 BDE 的法向量为 n = (x,y,z)，则 n⋅ DB =0 ，即 2x+2y=0 ，
(  _
(y+z=0
n⋅ DE =0
令 x = 1，则 n = (1, -1,1).8 分
_ 
PB ⋅ n 2 -2 -2
设直线 PB 与平面 BDE 所成角为 α，则 sinα ==
= 1 ，
2 3 × 3
_3
PB ⋅ n
3
所以直线 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值为 110 分
___
(3 设 PF = λPB，则 F(2λ,2λ,2 - 2λ)，所以 EF = (2λ,2λ - 1,1 - 2λ)，
_ _
又 EF ⊥ PB，所以
，解得 λ = 1 ，12 分
EF ⋅ PB = 4λ + 4λ - 2 - 2 + 4λ = 12λ - 4 = 03
所以 F ( 2 , 2 , 4 . 则 _
_( 2 , 2 , 4_，
3 3 3
DA = (2,0,0),DF =

3 3 3
,DE = (0,1,1)
设平面 ADF 的法向量为 n1 = (x1,y1,z1)，
 _
2x1=0
则n1 ⋅ D_A=0 ，即 
，令 z =-1，则 n = (0,2, -1)；14 分
( 
( 2 x1+ 2 y1+ 4 z1=011
n1 ⋅ DF =0
333
由(2
平面 BDE 的法向量为 n = (1, -1,1)，
 
设平面 ADF 与平面 BDE 的夹角为 θ，则 csθ = n1 ⋅ n = -2 -1 =15 ；
5 × 3
5
n1⋅ n
5
所以平面 ADF 与平面 DEF 的夹角的余弦值为 15 .17 分
【解析】(1) 设圆心 C 的坐标为(a,b .
因为 A,B 是圆 C 上的两点，所以 CA = CB ，所以 a2+(b -3)2 =a2+(b +1)2 ,
即-6b + 9 = 2b + 1，解得 b = 1.
因为圆心 C 在直线 y = 2x + 1 上，所以 b = 2a + 1 = 1，解得 a = 0，
则圆 C 的半径 r = CA =0 +(1 -3)2 = 2，故圆 C 的标准方程为 x2 + (y - 1)2 = 45 分
(2) 设直线 l:y = kx + 2,D(x1,y1 ,E(x2,y2 .
由(y=kx+2,
x2 +(y-1)2 =4, 整理得(k2+1 x2 + 2kx - 3 = 0，
则Δ = 4k2 - 4(k2+1 × (-3 = 16k2 + 12 > 0，
故 x1 + x2 =- 2k ,x1x2 =- 38 分
k2+1k2+1
①证明：因为 k = y1 -3 ,k = y2 -3 ，
1
y1-3
x12
y2-3
x2
y1y2-3(y1+y2 +9
k2x1x2-k(x1+x2 +1
所以 k1k2 =
x1⋅
x2=
x1x2=
x1x2.
把 x1 + x2 =- 2k ,x1x2 =- 3 代入上式，
k2+1k2+1
得 k k =
k2⋅ (-
3
k2+1
-k⋅ - 2k
(
k2+1
+1
=- 112 分
1 2- 33
k2+1
②直线 AD 的方程为 y = y1 -3 x + 3，直线 BE 的方程为 y = y2 +1 x - 1.
y= y1 -3 x+3,
x1
y-3 y -3 x
x2
kx -1 x kx x -x
由x1
得= ( 1
2 = (12 =1 22 .
x
(y= y2 +1 x-1,
2
y+1
x1(y2+1
x1(kx2+3
kx1x2+3x1
因为 x1 + x2 =- 2k ,x1x2 =- 3 ，所以 3(x1+x2 = 2kx1x2，
k2+1k2+1
3
kx x -x (x1 +x2 -x23x +x
所以1 22 = 2 = 12 = 1 ，
2
kx1x2+3x1 3 (x1 +x2 +3x19x1+3x23
即 y-3 = 1 ，则 y = 5，即点 P 在定直线 y = 5 上.17 分
y+13