2022-2023学年湖南省长沙市明德中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省长沙市明德中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】C

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.

【详解】A选项，，如，而，所以A选项错误.

B选项，，如，而，所以B选项错误.

C选项，，则，所以，所以C选项正确.

D选项，，如，而，所以D选项错误.

故选：C

2．等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式化简可得结果.

【详解】.

故选：B.

3．已知函数在上是增函数，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．

【详解】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，

则当x∈[2，+∞）时，

x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数

即，f（2）=4+a＞0

解得﹣4＜a≤4

故选C．

【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答本题的关键．

4．设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为函数，所以f（1）==﹣1＜0，f（2）==2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．

故选：B．

点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；

二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；

三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.

5．已知集合，．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出集合、，分析可知，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】因为，

或，

因为是的充分不必要条件，则，则或，

解得或.

故选：D.

6．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.

【详解】由题意可得：，

而，

故.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.

7．设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据偶函数可得，，再根据单调性即可判断.

【详解】是偶函数，，，

当时，是增函数，且，

，

.

故选：B.

8．若，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由及即可得解.

【详解】由，可得.

故选C.

【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式，属于基础题.

二、多选题

9．已知集合，且，则实数的取值不可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据可得出或，解出的值，然后对集合中的元素是否满足互异性进行检验，综合可得结果.

【详解】因为集合，且，则或，解得.

当时，集合中的元素不满足互异性；

当时，，集合中的元素不满足互异性；

当时，，合乎题意.

综上所述，.

故选：ACD.

10．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】利用函数奇偶性的定义以及指数函数、幂函数、一次函数函数的单调性逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】对于A： 既不是奇函数也不是偶函数，故选项A不正确；

对于B：，故是奇函数，且在上单调递减，故选项B正确；

对于C：的定义域为，关于原点对称，，所以是偶函数，故选项C不正确；

对于D：定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数，因为在上单调增，所以在上单调递减，故选项D正确；

故选：BD.

11．心脏跳动时，血压在增加或减小血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压，健康成年人的收缩压和舒张压一般为和，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．记某人的血压满足函数式，其中为血压，t为时间，其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）．

A． B．收缩压为

C．舒张压为 D．每分钟心跳80次

【答案】BCD

【分析】由正弦型函数的图像，即可求出周期与最值，进而求出频率，即可判断正误.

【详解】由题图知，，所以，可得，故选项A不正确；

所以，由题图知在一个周期内最大值为120，最小值为70，

所以收缩压为，舒张压为，故选项BC正确；

每分钟心跳数为频率，故选项D正确.

故选：BCD.

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期是π

B．在区间上单调递增

C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象

D．若方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是

【答案】AD

【分析】利用三角函数的知识逐一判断即可.

【详解】因为函数，所以的最小正周期是，故A正确；

当时，，所以在区间上不单调递增，故B错误；

将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故C错误；

当时，

所以若方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是，故D正确

故选：AD

三、填空题

13．若，则__________．

【答案】

【详解】

14．第24届冬季奥林匹克运动会简称“北京—张家口冬奥会”，将于2022.2.4～2022.2.20在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.某公司为迎接冬奥会的到来，设计了一款扇形的纪念品，扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为______.

【答案】36

【分析】首先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；

【详解】解：依题意、 cm，所以，即 cm，所以；

故答案为：

15．函数的最小值是__________．

【答案】1

【分析】化简可得，根据的范围结合二次函数的性质，即可求出函数的最小值.

【详解】，

因为，，根据二次函数的性质可知，

当时，函数有最小值为.

故答案为：1.

16．已知实数a，b满足，若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是_________；

【答案】

【分析】先对不等式左边进行因式分解，再结合对进行分类讨论，分，和三种情况，求出符合要求的实数a的取值范围.

【详解】可变形为，

因为，所以，

其中，

当时，开口朝下，不合题意；

当时，，解得：，所以不满足整数解有且仅有3个，舍去；

当时，开口朝上，

因为，所以不等式解集为，

此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0，-1，-2，

则必有，所以，结合，

所以，所以，

综上：

故答案为：.

四、解答题

17．计算

(1)

(2)，，

【答案】(1)1；

(2).

【分析】（1）根据对数运算的性质，化简求解即可得出答案；

（2）根据指数幂的运算性质，化简求解即可得出答案.

【详解】（1）.

（2）.

18．已知函数f（x）=log2（x+1）–2．

（1）若f（x）>0，求x的取值范围；

（2）若x∈（–1，3]，求f（x）的值域．

【答案】（1）x>3．（2）f（x）的值域为（–∞，0]．

【分析】(1)根据对数函数单调性解不等式得结果，(2) 根据对数函数单调性确定函数值域.

【详解】（1）函数f（x）=log2（x+1）–2，

∵f（x）>0，即log2（x+1）–2>0，

∴log2（x+1）>2，

∴log2（x+1）>log24，

∴x+1>4，

∴x>3．

（2）∵x∈（–1，3]，

∴x+1∈（0，4]，

∴log2（x+1）∈（–∞，2]，

∴log2（x+1）–2∈（–∞，0]．

∴f（x）的值域为（–∞，0]．

【点睛】本题考查对数函数单调性以及值域，考查基本求解能力.

19．已知是锐角，且．

（1）化简；

（2）若，求的值，

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）直接利用诱导公式和同角三角函数间的关系进行化简即可；

（2）利用诱导公式化简，得，从而得，进而求得结果

【详解】（1）．

（2），

∴，∴，

．

【点睛】此题考查诱导公式和同角三角函数间的关系的应用，属于基础题

20．已知函数是上的奇函数，当时，.

(1)当时，求解析式；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据奇函数性质求解即可；

（2）先判断函数在上的增减性，再由奇函数性质得到，

根据单调性解抽象不等式即可.

【详解】（1）因为函数是上的奇函数，当时，，

所以当时，， 所以，

因为，所以，

故当时， .

（2）由（1）知，，

当时，，易知此时函数单调递增，由奇函数性质得，

当时，也单调递增，所以函数是上的增函数，

因为，所以，

即，又因为函数是上的增函数，

所以，解得.

故实数的取值范围为：.

21．已知函数.

(1)求函数在区间上的最值；

(2)若，，求的值.

【答案】(1)最大值为，最小值为

(2)

【分析】（1）先逆用正弦的和差公式化简得，再利用正弦型函数的单调性求得的最值；

（2）先利用三角函数的平方关系求得，再利用倍角公式求得，进而利用正弦的和差公式求得.

【详解】（1）因为

，

又，所以，故，

所以，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为；

（2）因为，，所以，

所以，，

所以

.

22．已知函数为上的奇函数，且，．

(1)若不等式有解，求实数m的取值范围；

(2)若对于，，使得成立，求实数t的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由条件先求出的值，由不等式有解，分离参数可得，再求出的最大值即可.

（2）由题意，得,然后分别求出的最大值即可.

【详解】（1）∵为上的奇函数，∴，又，

∴，，∴．

∵，

∴为上的奇函数，，满足题意，即．

∵，即，

∴．

又∵，

∴．

（2）由题意，得．

易知是增函数，是减函数，则在上单调递增，∴．

，．

设，设．

①当时，，得，又，

∴．

②当时，，得或，∴．

③当时，，无解．

综上可得，．