湖南省A佳教育2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，将答题卡上交．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的交集与补集运算即可.
【详解】因，
所以，则．
故选：D．
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在命题的否定得结论即可.
【详解】因为命题“”，所以其否定是“，”．
故选：C．
3. 已知条件，条件，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】化简不等式，根据充分条件、必要条件及集合的包含关系求解即可.
【详解】对于解不等式得，因此对应集合为．
对于，解不等式得，
因此对应集合为．
因为真包含于，
所以是必要不充分条件．
故选：B
4. 已知幂函数的图象经过点，则函数为（ ）
A. 奇函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是减函数
C. 奇函数，且在上是减函数D. 偶函数，且在上是增函数
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数过点求出解析式，再由奇函数的定义、函数单调性判断即可得解.
【详解】设，由题意得，所以，
其定义域为，又，所以函数为奇函数，
任取，因为，
所以，所以函数单调递增．
故选：A
5. 已知集合，函数，则的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的分段函数求值即可得结论.
【详解】由题意，，则；，有，
所以.
故选：B．
6. 下列四个选项中最大的数是（ ）
A. 1.5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的性质比较指数式大小即可.
【详解】因为，又，，
所以最大的数为．
故选：B．
7. 对于函数，若在定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．若存在实数使得是定义在上的伪偶函数，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意转化为有非零解，分类讨论，分离参数后由基本不等式可得解.
【详解】当是定义在上的伪偶函数时，
则存在非零实数满足，即有解，
当时，，与题意不符，舍去；
当时，，其中．
又因为，所以，即.
故选：B
8. 已知函数是定义在上偶函数，且在区间上单调递增．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】讨论，，时，根据函数奇偶性与单调性要满足不等式恒成立，并验证是否恒成立，即可得实数的取值范围.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则：
①当时，则，
所以不等式可转变为：对于任意实数恒成立，
令，则不等式转化为：，
要使不等式对任意恒成立，只需大于等于的最大值，
函数是开口向下的二次函数，对称轴为，最大值为，
因此；
②当时，由于，而当时，
由于函数在时的取值情况未知，不能得出对于任意实数恒成立；
③当时，由于，而当时，可得，
由于函数在时的取值情况未知，不能得出对于任意实数恒成立；
综上，实数的取值范围是.
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．
9. 下列关于函数的说法中，正确的是（ ）
A. 若函数定义域为，则函数的定义域为
B. 函数的图象是两个孤立的点
C. 函数与函数是同一个函数
D. 已知函数，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复合函数定义域的求法可判断A，求函数定义域判断B，根据函数的定义域及对应法则判断C，由分段函数的解析式求值判断D即可.
【详解】对于A，已知的定义域为，即，则对，需满足．
解不等式，故的定义域为，故A正确；
对于B，函数有意义，需同时满足和，所以．
当时，；当时，．
因此函数图象是点和，即两个孤立的点，故B正确；
对于C，函数定义域为，函数定义域为，
两者定义域不同，故不是同一个函数，故C错误；
对于D，因，代入对应的解析式，，故D正确．
故选：ABD
10. 若函数在上存在最大值，则的取值范围不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据二次函数与指数函数单调性，结合复合函数单调性可得在里必须存在，从而得的取值范围.
【详解】令，由函数图象的对称轴方程为，开口向下，
得在上单调递增，在上单调递减，
又指数函数在上单调递增，
所以在里必须存在，解得．
故选：ABD．
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，且，则的最小值为3
B. 已知，且，则的最大值为
C. 已知，且，则的取值范围为
D. 已知，则的最小值为4
【答案】AC
【解析】
【分析】根据基本不等式“1”的巧用、条件等式转化求最值，逐项判断即可得结论.
【详解】对于A：令，则，原式化为，
所以，
当且仅当且，即时取等号，所以最小值为3，故A正确；
对于B：由，对平方，得，
由基本不等式，得（当且仅当时取等号），
因此，即，故B错误；
对于C：由，可得，
因为，得，令，则不等式化为，
因式分解得，因，故，从而（当且仅当时取等号），
因此的取值范围为，故C正确；
对于D：已知，则，
又，所以，则，
即，解得（舍去负值），
当且仅当时取等号，此时，解得，所以最小值不是4，故D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据指数幂的运算性质求解.
【详解】因为.
故答案为：
13. 已知函数的图象关于直线对称，的解集是，则___________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性得的值，再根据一元二次不等式的解集得方程的根，从而可得的值.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以，解得，
易知是方程的一个根，则有，解得,
所以，
由，得，即，解得，
所以.
故答案为：3.
14. 定义，其中表示中较大的数．设，，函数．若，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数定义，对参数进行分类讨论，分别求出分段函数各段解析式，进而判断函数单调性，再根据不等式，求出参数范围即可.
【详解】因为，所以，
当时，解得．
当时，即，解得或．
所以当时，．
当时，，可得
当时，，可得．
当时，，可得．
可得，因为在上单调递增，
在上单调递增，且函数在处连续，
因此在上单调递增，要使，则，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设全集U＝R，集合A＝{x|m﹣2＜x＜m+2，m∈R}，集合B＝{x|﹣4＜x＜4}．
（1）当m＝3时，求A∩B，A∪B；
（2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）A∩B＝{x|1＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣4＜x＜5}；（2）[﹣2，2]．
【解析】
【分析】（1）m＝3时，得到集合A＝{1＜x＜5}，然后进行交集、并集的运算即可；
（2）根据p是q的充分不必要条件，得到A是B的真子集，得到不等式组，解出即可．
【详解】（1）当m＝3时，A＝{x|1＜x＜5}；
∴A∩B＝{x|1＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣4＜x＜5}；
（2）若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集；
∴，解得：﹣2≤m≤2，
当时，，当时，，A是B的真子集都成立，
所以实数m的取值范围是：[﹣2，2]．
16. 已知函数，且．
（1）求实数的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义法证明；
（3）求在上的最大值和最小值．
【答案】（1）1 （2）在上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式与代入求解即可得实数的值；
（2）根据函数单调性的定义取值、作差、变形、定号进行证明，即可得结论；
（3）根据函数单调性求解最值即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
在上单调递减，理由如下：
证明：，且，
，
，
，即，
故在上单调递减．
【小问3详解】
由（2）可得在上单调递减．
．
17. 2025年9~12月期间，湘超联赛正在如火如荼地举办．湘超赛事联动了各地文旅局、商务部门，通过打造多元消费场景，也带动了各地消费．比赛期间，长沙一公司决定出售一种相关文创物品，前期已固定投入100万元．该公司计划每件产品售价60元，且生产的万件产品全部都能销售完．另外，每生产1万件产品，还需要投入的流动成本为万元．若产品数量不超过40万件时，；若产品数量超过40万件时，．
（1）写出利润（万元）关于生产产品数量（万件）的函数解析式；
（2）销售多少万件时利润最大？此时利润是多少？
【答案】（1）
（2）销售50万件时利润最大，最大利润为590万元．
【解析】
【分析】（1）依题意，分两段：当时，当时，写出函数解析式即可；
（2）计算出各段函数的最大值进行比较．当时，根据二次函数的单调性求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值，从而可得结论．
【小问1详解】
当时，，
当时，，
；
【小问2详解】
当时，，
即时有最大值525万元；
当时，590，
当且仅当，即时取等号，
所以销售50万件时利润最大，最大利润为590万元．
18. 已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若命题“存在，成立”为假命题，求实数的取值范围；
（3）已知．若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式求解集，讨论与的大小得解集即可；
（2）根据存在命题的真假可得对任意的恒成立，利用参变分离结合对勾函数的性质求最值即可得实数的取值范围；
（3）根据双变量不等式求解可转化为，分别求函数最值即可得实数的取值范围．
【小问1详解】
因为函数，
所以，即为，
所以，
当时，解得或，
当时，解得，
当时，解得或；
综上：①当时，不等式的解集为或，
②当时，不等式的解集为，
③当时，不等式的解集为或．
【小问2详解】
因为命题“存在成立”为假命题，
所以对任意的为真命题，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
①当时，恒成立，
②当时，恒成立，
所以的最小值，
令，
令，所以，
由对勾函数性质知，在时单调递减，
所以当时，，所以．
【小问3详解】
因为，易知函数在上单调递增，
所以，
对任意，总存在，使得成立，
即，
因为的对称轴为，开口向上，
①当时，即时，，
得，得；
②当时，即时，，
得，解得，又因为，所以；
综上的取值范围为．
19. 设函数，为上的增函数．如果存在区间，使得当，都有时，是上的增函数，则称是函数的“积增区间”，函数为的“积增函数”．已知函数是函数与（为常数，）的“积增函数”．
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）设，解方程；
（3）令，其中．若对，，求实数的取值范围．
【答案】（1）偶函数，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可；
（2）根据指数运算转化方程，由指数函数的性质解方程即可；
（3）根据函数新定义，令函数，结合二次函数的性质，讨论，，时，确定函数的单调性从而得实数的取值范围．
【小问1详解】
为偶函数，理由如下：
因为的定义域为关于原点对称，
所以，
所以是偶函数；
【小问2详解】
，
因为，
所以，
所以由得，解得，即为所求．
【小问3详解】
当时，．
因为为函数与的“积增函数”，
所以在上递增，
又为偶函数，所以在上递减，
当时，，
令函数，
其图象对称轴为，
①若，则，，
因为，且在上递减，
所以对，
因为在上单调递增，
故只需，即；
②若，则，，
仿①可得，对，
因为在上递减，
故只需，解得；
③若，令，则，与题意不符；
综上，实数的取值范围为．