安徽省宿州十三校2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题（Word版附解析）

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第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知抛物线，则的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据抛物线方程计算可得.
【详解】抛物线的焦点坐标为.
故选：A
2. 点到直线的距离是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由点到直线的距离公式求解，
【详解】点到直线的距离，
故选：B
3. 双曲线：的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线方程得出，再应用渐近线方程代入求解.
【详解】因为双曲线：，所以，
则的渐近线方程为.
故选：C.
4. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆的圆心关于直线的对称点，就是所求圆的圆心，而半径不变，从而可求出圆的方程.
【详解】圆的圆心坐标为，关于直线对称点的坐标为，
所以圆的方程是.
故选：C.
5. 若直线与平行，则实数的值为（ ）
A. 3B. C. 或3D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线一般方程平行的关系得，进而解方程并检验即可.
【详解】直线与平行，
则，解得或，
经检验，当时，，，重合，舍去，
当，，，满足题意.
所以实数的值为
故选：B
6. 已知椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由最大距离和最小距离解出，再求离心率即可.
【详解】因为点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，
所以，即，则椭圆的离心率.
故选：D.
7. 已知点满足，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】通过对已知等式化简可得关系式，利用两点间距离公式结合二次函数的性质即可得结果.
【详解】由，得，整理得，
则，
当且仅当时，等号成立．
故选：A．
8. 在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．若圆上存在点，使，则圆心的横坐标的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得圆的方程，再利用求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式求解即求得a的范围.
【详解】由圆心C的横坐标为a，得圆心C的坐标为，
则圆的方程为，
设，由，得，
整理得，因此点在以为圆心，为半径的圆上，
依题意，圆与圆有公共点，则，
即，整理得，解得，
所以圆心的横坐标的取值范围为.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知圆和直线，则（ ）
A. 圆的半径为5B. 直线恒过点
C. 直线不过点D. 直线与圆一定相交
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用直线的方程可以找到直线恒过一个定点，然后结合圆得标准方程，进行逐一判定.
【详解】对于A，将圆化为，
可得圆的圆心为，半径为5，故A正确；
对于B，将直线化为，
由得，所以直线恒过点，故B错误；
对于C，将圆心代入直线中，得，
显然圆心不在直线上，故C正确；
对于D，因为，
所以点在圆内，则直线与圆一定相交，故D正确.
故选:ACD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线在轴上的截距为1
B. 如果，那么直线不经过第三象限
C. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示
D. 直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】对A可直接计算并判断，对B根据斜率和截距进行判断，对于C考虑特殊直线，对于D根据斜率的范围来确定倾斜角的范围.
【详解】对于A，将代入直线方程，可得，解得，故A错误；
对于B，因为，所以，所以可化为，
所以直线的斜率，纵截距，所以直线经过第一、二、四象限，故B正确；
对于C，经过任意两个不同的点的直线，当斜率等于0时，，
当斜率不存在时，，都不能用方程表示，故C错误；
对于D，直线的方程为，
当时，直线方程为，倾斜角，
当时，直线方程化为，斜率，
因为，所以，即，
又因为，所以.
综上可得，故D正确．
故选：BD．
11. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，点是双曲线右支上一点，平分交轴于点．则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为
B. 若，则的面积为
C. 点的坐标为
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A：根据条件列出的方程组，解之可得双曲线的方程；B：根据双曲线的定义结合勾股定理可求的面积；C：先表示出，再根据角平分线定理可求得的坐标；D：根据选项C中的表示直接求得结果.
【详解】由题意得，联立，解得，
所以双曲线的方程为，故A正确；
在中，联立，
解得，
所以的面积为，故B正确；
由角平分线定理有，设，则，且，
所以，
同理可得，代入角平分线定理：，解得，
所以点的坐标为，故C错误；
若，则，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 抛物线的准线方程是___________________.
【答案】
【解析】
【分析】将化成抛物线的标准方程，利用抛物线的性质求解即可．
【详解】由得：，所以，即：
所以抛物线的准线方程为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
13. 过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】作图，结合图象利用两点间距离公式得，由勾股定理得，最后通过等面积法即可得出结果.
【详解】结合题意，作图如下：
圆的圆心，半径，，
则，，
由圆的对称性可知，
则，解得.
故答案为：.
14. 在边长为3的正方形中，点为边的中点，已知点为正方形内（包括边界）一动点，且到点的距离和到边的距离的比为，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】应用椭圆的第二定义结合椭圆的定义及距离和最短计算求解.
【详解】假设正方形边在平面直角坐标系的轴上，
由题意得，点到点的距离和到边的距离的比为，
根据椭圆的第二定义（平面内与定点（焦点）和与定直线（准线）的距离的比为离心率的点的轨迹为椭圆），
点在以点为右焦点，直线为右准线的椭圆上.
设，则准线的方程为，所以，
解得，故椭圆标准方程为.
结合正方形的几何约束，如图，点的轨迹为该椭圆上满足的弧段，且，椭圆另一焦点为.
由椭圆的定义知，
，当三点共线时，最短，
所以，故的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点．
（1）求的标准方程；
（2）求直线的斜率之积．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）先由椭圆的方程得焦点及顶点坐标，进而得双曲线的顶点及焦点坐标及方程；
（2）根据M点在双曲线上及斜率的定义直接计算可得.
【小问1详解】
如图：
由题意得，椭圆，得椭圆的左、右焦点分别为，
左、右顶点分别为，
所以双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，
则有，故，
从而双曲线的方程为．
【小问2详解】
因为在双曲线上，则，
所以①，
所以直线的斜率之积为，
把①代入整理得，，
所以直线的斜率之积为3．
16. 已知，圆经过三点．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知点为圆上一点，且，为垂足，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设出圆的一般式方程，利用待定系数法求出方程，再化成标准方程.
（2）法一，利用三角代换及向量数量积的坐标表示，结合正弦函数性质求出最大值；法二，作出辅助线，利用直角三角形边角关系，结合二倍角的正弦及正弦函数性质求出最大值.
【小问1详解】
依题意，设圆的方程为，
由圆经过三点，已知，
则，解得；
所以圆的方程为，其标准方程为.
【小问2详解】
法一：由（1）设，显然方向相同，
，，
则，
当且仅当时，取最大值.

法二：令圆与轴另一交点为，连接，设，，
依题意，，，则，，
因此，当且仅当时取等号，
所以取最大值.
17. 已知抛物线的焦点为上动点到点的最小距离为1.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，求的值.
【答案】（1）
（2）或3
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出，再表达三角形面积为，求解出，进而求解即可得.
【小问1详解】
根据抛物线的定义，有，
由题意可得,当时，，所以，
所以抛物线的标准方程为.
【小问2详解】
抛物线的焦点，设直线的方程为，
联立，得，所以，
由，解得，
由，解得或，又，
所以或.
18. 已知圆，圆.
（1）求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长；
（2）求圆与圆公切线的交点的坐标，并求公切线方程.
【答案】（1），
（2），和
【解析】
【分析】（1）两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，几何法利用勾股定理求弦长；
（2）由图可知一条公切线为，直线与的交点为，设另一条公切线的方程为，利用圆心到直线距离等于半径求出k即可得切线方程.
【小问1详解】
圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3，
已知圆，圆，即，
两圆方程相减可得公共弦直线方程为.
点到的距离为，所以公共弦长为.
【小问2详解】
结合图象可知，点到直线的距离为1，点到直线的距离为3，
圆与圆有一条公切线：.
直线与的交点为.
设另一条公切线的方程为，即，
则点到公切线的距离，解得.
此时满足点到直线的距离为1，
所以另一条公切线的方程为，即
综上，两圆的公切线方程为和.
19. 已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点.
（1）求的方程；
（2）已知为的左焦点，在轴上有两动点，且.
（i）若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求；
（ii）直线分别与交于点，求证：直线恒过定点.
【答案】（1）
（2）（i）3；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据左顶点及点在椭圆上列式计算求解；
（2）（i）根据的外接圆是以为直径的圆再设化简得出，即可得出比值；（ii）设直线联立后应用斜率乘积计算得出即得定点.
【小问1详解】
因为椭圆的左顶点为，所以，
又椭圆过点，所以，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
（i）由得，所以.
显然的外接圆是以为直径的圆，
则其方程为，化简得.
设，则，
消去得，，
化简得，又，所以，
所以.
（ii）设直线方程为
联立，消去整理得，
则.
因为，所以，
故，即，化简得，
因为，所以，
所以直线的方程为，即直线恒过定点.