安徽省宿州市省、市示范高中2024-2025学年高二上学期期中教学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份安徽省宿州市省、市示范高中2024-2025学年高二上学期期中教学质量检测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】点关于平面的对称点坐标为，
故选:C.
2. 直线的倾斜角（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知直线的斜率为，故其倾斜角为.
故选：D.
3. 已知向量，且与互相垂直，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】向量，则，
由与互相垂直，
得，
所以.
故选：D
4. 圆与直线相交所得弦长为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】圆心到直线的距离，
所以弦长.故选：C.
5. 已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设圆心的坐标为.
因为圆心在直线上，所以①，
因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，
有，即②，
由①②可得.所以圆心的坐标是），
圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.故选:C.
6. 无论为何值，直线过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得：，
由得
∴直线恒过定点.
故选：A.
7. 已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（ ）
A. B. -8C. D. -4
【答案】B
【解析】设弦MN的中点为，由，得，
因为为MN的中点，，设向量与的夹角为，，又，
的最小值为，
故选：B.
8. 如图，正四棱锥的棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】取底面的中心为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，,
则，所以，，
故点到直线的距离为,
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则
B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 平面的一个法向量为，点，在平面内，则点也在平面内
D. 若直线经过第三象限，则，
【答案】AC
【解析】对于，故A正确;
对于B，，则或，故B错误；
对于C，因为，为平面的法向量，
易知，所以点在平面内，故C正确:
对于D，当，时，直线经过第三象限，故D错误.
故选：AC.
10. 点P在圆上，点Q在圆上，则（ ）
A. 的最小值为0
B. 的最大值为7
C. 两个圆心所在直线的斜率为
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为
【答案】BC
【解析】圆，圆心，半径.
圆的一般方程化成标准方程，得，则圆心，半径，
两圆圆心距，，，
A选项错误，B选项正确.
两个圆心所在直线的斜率， C选项正确.
又，所以两圆外离，不相交，没有公共弦， D选项错误.
故选：BC.
11. 如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（ ）

A. ，使
B. 线段存在最小值，最小值为
C. 直线与平面所成的角恒为
D. ，都存在过且与平面平行的平面
【答案】ABD
【解析】因为四边形为正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以，平面，
因为平面，所以，.
设，则，其中，
由题意得，
.
对于A，当时，即时，，故A正确；
对于B，，故，
当且仅当时，即时等号成立，故，故B正确；
对于C，因为，平面的一个法向量为，
所以，故，
此值不是常数，所以直线与平面所成的角不恒为定值，故C错误；
对于D，因为，所以，、、为共面向量，
而平面，故平面，故D正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷
非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 过点且与直线垂直的直线方程为____________．
【答案】
【解析】直线的斜率为，所以与直线垂直的直线斜率为，故由点斜式可得，即.
13. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数_____．
【答案】或
【解析】由题意得，圆心为，半径为2，若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离等于，可得，解得.
14. 如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若，，，，，分别是棱，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______．
【答案】
【解析】如图，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
由题可得，，，，，
，，
为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，
又平面与平面均与轴垂直，
所以，，
又，，，分别是，，，的中点，
则，，，，
所以，，
，
所以直线与直线夹角余弦值为，.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图甲，在边长为4的等边中，是边上的高，，分别是和边的中点，现将沿翻折使得，如图乙.
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求点到平面的距离.
（1）证明：如图，在中，E，F分别是和边的中点，，
平面平面平面DEF；
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面DEF的法向量为，则，即，
令，则.
点到平面DEF的距离为.
16. （1）若直线过，且在，轴上的截距相等，求直线的方程.
（2）已知直线：，直线：，且，求与间的距离.
解：（1）当直线在x，y轴上的截距均为0时，设直线的方程为，
将代入，得，解得，所以，即，
当直线在x，y轴上的截距不为0且相等时，设直线的方程为，
将代入，得，解得，所以，即，
综上，直线的方程为或；
（2）因为，所以，解得，
则直线的方程为，即，
所以与之间的距离为.
17. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点．
（1）求外接圆的方程；
（2）若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
解：（1）因为，，，
所以，，所以，所以，
又因为，所以是等腰直角三角形，
所以的圆心是的中点，即圆心，半径，
所以方程为；
（2）因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为时，圆心到直线的距离为，
①当直线与轴垂直时，此时直线斜率不存在，直线为，
与圆心的距离为1，满足条件；
②当直线的斜率存在时，设，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
此时直线的方程为，即，
综上可知，直线的方程为或．
18. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，，，为与的交点.设，，.
（1）用表示；
（2）求对角线的长；
（3）求的值.
解：（1）连接，
，，，
，，
为线段的中点，，
.
（2）以顶点为端点的三条棱长都是，，，
，，，
由（1）知：，，
，
，即对角线的长为.
（3）由（1）（2）知：，，
，，
，
.
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，．
（1）求证：平面PAB；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（3）在棱AP上是否存在点，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（1）证明：平面平面，且平面平面，
且平面，平面PAD，
平面，
又，且平面PAB，平面PAB；
（2）解：取AD中点，连接CO，PO，
又．则，
，则，
以为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设为平面PCD一个法向量，
则由，得，令，则．
设PB与平面PCD的夹角为，
则；
（3）解：存在点，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为，此时，理由如下：
假设在棱PA上存在点点，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为．
设，
由（2）知，，
，
，得，
，
设平面MBC的一个法向量为，
则有，
令，则，
由（2）得平面PCD的一个法向量为，
设平面MBC与平面PCD所成角为，
，
解得（舍去），，
所以此时．