河南省郑州市十校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

这是一份河南省郑州市十校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：任华丽审核人：胡启志郑州市实验高级中学考试时间：120 分钟分值：150 分
注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知向量 a  1, 2,1 ， b  3, x, y  ，且a//b ，那么实数 x  y 等于（）
B. -3C. 9D. -9
如图，在四面体OABC 中，点 M 在棱OA 上，且满足OM  2MA ，点 N ，G 分别是线段 BC ，MN 的
–––→
中点，则用向量OA ， OB ， OC 表示向量OG 应为（ ）
–––→
OG 
1 –––→
OA 
1 –––→
OB 
1 –––→
OC
–––→
OG 
1 –––→
OA 
1 –––→
OB 
1 –––→
OC
344344
–––→
OG 
1 –––→
OA 
1 –––→
OB 
1 –––→
OC
–––→
OG 
1 –––→
OA 
1 –––→
OB 
1 –––→
OC
344
下列说法中，正确的有（ ）
344
过点 P 1, 2 且在 x 、 y 轴截距相等的直线方程为 x  y  3  0
直线 x  3y 1  0 的倾斜角为60
直线 y  3x  2 在 y 轴上的截距为2
过点5, 4 并且倾斜角为90∘ 的直线方程为 y  4  0
若点 P 1,1 为圆 x2  y2  6x  0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为（）
2x  y  3  0
x2
x  2 y 1  0
y2m
x  2 y  3  0
2x  y  1  0
已知方程
 1表示双曲线，则 2  mm 1
的取值范围是（ ）
A. , 2
C. 1, 
已知直线 y  k (x 1) 与曲线 y 
B. , 2 1, 
D. 2, 1
4  (x  2)2
有两个交点，则 k 的取值范围为
0, 2 5 
 0, 2 5 
5 
0,
5 
0,
5 
5 
5 
5 

一动圆与圆 x2  y2  6x  5  0 外切，同时与圆 x2  y2  6x  91  0 内切，则动圆圆心的轨迹方程是
（）
1

x2y2
A.
x2y2
1

B.
x2y2
1

C.
x2y2
1

D.
3627
3627
x2y2
C : 
167
167
AF
已知椭圆1(ab0), F , F 为椭圆的左右焦点， A 为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于
a2b2121
另一点 B ，若 AF2  AF1 , BF2  3 BF1 ，则椭圆C 的离心率为（ ）
3
3
21
7
2
3
7
7
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
关于空间向量，以下说法正确的是（）
空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
若 →，则 →是锐角
a  b  0
r
a, b
r r
→ → →→
已知向量{a, b , c }组是空间的一个基底，则2a, b, c  a也是空间的一个基底
–––→
D 若对空间中任意一点O ，有
1 –––→  1 –––→  2 –––→ ，则 P, A, B, C 四点共面
OPOA OB OC
1243
下列选项正确的是（）
2 5
若直线l : x  2 y 1  0 与l : 2x  ay  2  0 平行，则l 与l 的距离为
5
1212
过点1,1 且和直线2x  y  7  0 平行的直线方程是2x  y  6  0
“ a  1 ”是“直线 a2 x  y 1  0 与直线 x  ay  2  0 互相垂直”的必要不充分条件
直线 x sinα y  2  0 的倾斜角θ的取值范围是 0, π    3π , π 

4  4
平面内到两个定点 A，B 的距离比值为一定值λ(λ 1) 的点 P 的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼
斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点 A(2, 0) ， B(6, 0) ，动点 P 满足| PA |  1 ，记点 P 的轨迹为τ，则下
| PB |3
列命题正确的是（ ）
点 P 的轨迹τ的方程是 x2  y2  3x  0
过点 N (1,1) 的直线被点 P 的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是 1
直线2x  y  2  0 与点 P 的轨迹τ相离
已知点 E  3 , 0  ，点 M 是直线l : 2x  2 3y  7  0 上的动点，过点 M 作点 P 的轨迹τ的两条切线，
 2

切点为 C，D，则四边形 ECMD 面积的最小值是 3
→
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知空间向量 a  1,0,1, b  2, 1,2 ，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标
圆C1 : x  y  4 与圆C : x  y  2x  2 y  0 的公共弦长为.
2
2222
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A x1, y1 , B  x2, y2  ，定义 d ( A, B)  x1  x2  y1  y2 为“曼哈顿
x22
距离”.若 d (O, P)  2 ，则点 P 的轨迹所围成图形的面积为，若椭圆C :+ y
a2
有 8 个点 P 满足 d (O, P)  2 ，则椭圆C 的离心率的取值范围是
= 1(a > 0) 上有且仅
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
已知直线 l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
证明：直线 l 过定点；
若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；
若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为 S，求 S 的
最小值及此时直线 l 的方程．
2
在 如 图 所 示 的 平 行 六 面 体 ABCD  A1B1C1D1 中 ， AB  1， AD  2 ， AA1  2，
A AB  A AD  45∘ ， BAD  60∘ ，设–––→  → ， AD  b ， AA  → .
11
––––→
用 a ， b ， c 表示 AC1 ， BD1 ， AC ；
求 AC1 的长；
AB a1c
求异面直线 BD1 与 AC 所成角的余弦值.
已知圆C :  x 12   y  22  8 ，过点 A3, 2 作直线l 交C 于 M ， N 两点．
若 MN  4 ，求直线l 的方程；
若点 P 是C 上的一动点，点Q 是线段 AP 的中点，求动点Q 的轨迹方程．
如图（1）， 在四棱锥 P  ABCD 中，平面 PAB  平面 ABCD ， PA  AB ， PA  AD  4 ，
BC //AD ， AB  AD ， AB  BC  2 ， PE  λPC 0  λ 1 .
若λ 1 ，求直线 DE 与平面 ABE 所成角的正弦值；
2
设二面角 B  AE  C 的大小为θ，若 csθ  2 34 ，求λ的值；
17
阅读下列“链接”材料，试判断异面直线 BE 和 AD 间的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.
链接：运用空间向量求异面直线间的距离如图（2），设 A 、 P 分别为异面直线 a 、b 上的点， n 是与直线
–––→ →
AP  n
a 、b 都垂直的向量，从而异面直线 a 、b 间的距离为 d  → ，即为向量 AP 在向量n 上的投影向量
n
的模.
在平面直角坐标系中，过点 A x0 , y0  作斜率分别为 k1, k2 的直线l1, l2 ，若 k1k2  μ(μ 0) ，则称直线
0 0
l1, l2 是 KA (μ) 定积直线或 K x , y  (μ) 定积直线.
已知直线l1, l2 是 K(0,0) (3) 定积直线，且直线l1 : y  2x ，求直线l2 的方程;
如图所示，已知点 A(0,1) ，点 B(1, 0) 和点C(1, 0) 分别是三条倾斜角为锐角的直线 PQ, QR, RP 上的点( A, B,C 与 P, Q, R 均不重合)，且直线 PR, PQ 是 KP (1) 定积直线，直线QP, QR 是 KQ (4) 定积直 线，直线 RP, RQ 是 KR (9) 定积直线，求点 P 的坐标;
已知点 M (2, 0), N (2, 0) ，直线TM ,TN 是 K   1  定积直线，若MTN  120 ，求三角形
T 4 

VMTN 的面积.
2025-2026 学年上期高二年级期中联考试题
数学学科
命题人：任华丽审核人：胡启志郑州市实验高级中学考试时间：120 分钟分值：150 分
注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
【分析】运用空间向量共线列式计算即可.
【详解】∵ a  1, 2,1 ， b  3, x, y  ，且 a ∥b ，
∴ 3  x  y ，
121
解得 x  6 ， y=−3 ，
∴ x  y  6  3  9 ．故选：D．
如图，在四面体OABC 中，点 M 在棱OA 上，且满足OM  2MA ，点 N ，G 分别是线段 BC ，MN 的
–––→
中点，则用向量OA ， OB ， OC 表示向量OG 应为（ ）
1. 已知向量 a
 1, 2,1b  3, x,
，
y a//b
，且，那么实数 x  y 等于（
）
A. 3
【答案】D
【解析】
B. -3
C. 9
D. -9
–––→
OG 
1 –––→
OA 
1 –––→
OB 
1 –––→
OC
–––→
OG 
1 –––→
OA 
1 –––→
OB 
1 –––→
OC
344344
–––→
OG 
1 –––→
OA 
1 –––→
OB 
1 –––→
OC
–––→
OG 
1 –––→
OA 
1 –––→
OB 
1 –––→
OC
344
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量加法法则直接求解.
344
––––→
【详解】因为OM  2MA ，所以OM 
2 –––→
OA ．
3
因为点 N ， G 分别是线段 BC ， MN 的中点，
–––→
1 ––––→
1 –––→12 –––→
11 –––→–––→
1 –––→
1 –––→
1 –––→
所以OG 
OM  ON   OA   OB  OC   OA  OB 
OC ，
222322344
–––→
所以OG 
1 –––→
OA 
1 –––→
OB 
1 –––→
OC ．
344
故选：A.
下列说法中，正确的有（ ）
过点 P 1, 2 且在 x 、 y 轴截距相等的直线方程为 x  y  3  0
直线 x  3y 1  0 的倾斜角为60
直线 y  3x  2 在 y 轴上的截距为2
过点5, 4 并且倾斜角为90∘ 的直线方程为 y  4  0
【答案】C
【解析】
【分析】对直线是否过原点进行分类讨论，利用斜截式方程与截距式方程可判断 A 选项；求出直线的斜率，进而可得出所求直线的倾斜角，可判断 B 选项；
利用直线截距的定义可判断 C 选项；求出所求直线的方程，可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，若直线过原点，设该直线的方程为 y  kx ，则 k  2 ，此时，所求直线的方程为2x  y  0 ，
若直线不过原点，设所求直线方程为 x  y  1a  0 ，则 1  2  1 ，可得 a  3 ，
aaaa
此时，所求直线方程为 x  y  3  0 .
综上所述，过点 P 1, 2 且在 x 、 y 轴截距相等的直线方程为2x  y  0 或 x  y  3  0 ，A 错；
对于 B 选项，直线 x 
3y 1  0 的斜率为1
3 ，该直线的倾斜角为30 ，B 错；
3
 3
对于 C 选项，直线 y  3x  2 在 y 轴上的截距为2 ，C 对；
对于 D 选项，过点5, 4 并且倾斜角为90∘ 的直线方程为 x  5  0 ，D 错.故选：C
若点 P 1,1 为圆 x2  y2  6x  0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为（）
2x  y  3  0
x  2 y 1  0
x  2 y  3  0
2x  y  1  0
【答案】D
【解析】
【分析】圆的方程化为标准方程，得到圆心 A 坐标，由 AP  MN ，可求得弦 MN 所在直线的斜率，点斜式求方程.
【详解】圆的标准方程为 x  32  y2  9 ，圆心 A3, 0 ．因为点 P 1,1 为弦 MN 的中点，所以
AP  MN ，
又 AP 的斜率 k  1 0   1 ，所以直线 MN 的斜率为 2，弦 MN 所在直线的方程为 y 1  2  x 1 ，即
1 32
2x  y  1  0 .
故选：D
2
已知方程 x
2
y
 1表示双曲线，则m
的取值范围是（ ）
2  mm 1
A. , 2
C. 1, 
B. , 2 1, 
D. 2, 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次曲线表示双曲线的基本要求可构造不等式求得结果.
2
2
【详解】Q方程 x y 1表示双曲线，2  mm 1  0
，解得： m
 2 或 m
1，
2  mm 1
即m 的取值范围为, 2 1,  .
故选：B.
已知直线 y  k (x 1) 与曲线 y 
4  (x  2)2
有两个交点，则 k 的取值范围为
0, 2 5 
 0, 2 5 
5 
0,
5 
0,
5 
5 
5 
5 

【答案】B
【解析】
【分析】化简得到 x  22  y2  4  y  0 ，直线 y  k (x 1) 过定点1, 0 ，画出图像，根据图像得到答
案.
4  (x  2)2
【详解】 y 
，即 x  22  y2  4  y  0 ，直线 y  k (x 1) 过定点1, 0 ，
画出图像，如图所示：
AB2  AC 2
当直线与半圆相切时， AB  3 ， AC  2 ， BC 
此时斜率为 2 5 ，根据图像知 k  0, 2 5  .
5 .
55 

故选： B .
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直线过定点，画出图像是解题的关键.
一动圆与圆 x2  y2  6x  5  0 外切，同时与圆 x2  y2  6x  91  0 内切，则动圆圆心的轨迹方程是
（）
1

x2y2
A.
x2y2
1

B.
x2y2
1

C.
x2y2
1

D.
3627
3627
167
167
【答案】A
【解析】
【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果.
【详解】设动圆圆心为 M  x, y  ，半径为 R ，设已知圆的圆心分别为O1 、O2 ，
1
将圆 x2  y2  6x  5  0 的方程配方得：  x  32  y2  4 ，圆心O 3, 0 ，半径为2 ，
2
圆 x2  y2  6x  91  0 同理化为 x  32  y2  100 ，圆心O 3, 0 ，半径为10 ，
当动圆与圆O1 相外切时，有 O1M  R  2 ①当动圆与圆O2 相内切时，有 O2M  10  R ②
将①②两式相加，得 O1M  O2M  12  O1O2
动圆圆心 M  x, y  到点O1 3, 0 和O2 3, 0 的距离和是常数12 ，
所以点 M 的轨迹是焦点为点O1 3, 0 、O2 3, 0 ，长轴长等于12 的椭圆，
x2y2
故 a  6 ， c  3 ， b2  27 ， 1 .
3627
故选：A.
xy
22
C : AF
已知椭圆1(ab0), F , F 为椭圆的左右焦点， A 为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于
a2b2121
另一点 B ，若 AF2  AF1 , BF2  3 BF1 ，则椭圆C 的离心率为（ ）
3
3
21
7
2
3
7
7
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和椭圆的定义可得△AF1F2 和△ABF2 的各边边长，再结合余弦定理列方程，求解即可.
【详解】如图所示：
由题意得 AF2
 AF1 ，又 AF1 
AF2
 2a ，则 AF2
 AF1
 a ，
因为 BF  3 BF ， BF  BF  2a ，则 BF  3 a ， BF  1 a ，故 AB  3 a ，
2112
22122
在△AF1F2 中，由余弦定理得cs F1 AF2 
a2  a2  4c2
，
2a2
 3a 2

 3a 2
 a2  
在△ABF2 中，由余弦定理得cs BAF2
  2  2  ，
2a  3 a
2
 3a 2

 3a 2
 a2  222
所以
a2  a2  4c2 2  2 a  2c1 c 1c3
，化简得，即1 2，解得 .
a
3
a
3

2a2
2a  3 a
2
a23 
故选：A.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
关于空间向量，以下说法正确的是（）
空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
若 →，则 →是锐角
a  b  0
r
a, b
r r
→ → →→
已知向量{a, b , c }组是空间的一个基底，则2a, b, c  a也是空间的一个基底
–––→
若对空间中任意一点O ，有
1 –––→  1 –––→  2 –––→ ，则 P, A, B, C 四点共面
【答案】ACD
【解析】
OPOA OB OC
1243
→ → π

【分析】根据空间向量共面定理即可判断 A；根据a  b  0 ，得到 a, b  0, 2  ，即可判断 B；根据题意得
到 →→  → 不共面，即可判断 C；根据 1  1  2  1 即可判断 D.
2a, b, ca
1243
【详解】对 A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共
面，故 A 正确；
→ → π

对 B，若a  b  0 ，则 a, b  0, 2  ，故 B 错误.
2a, b, ca
b  λ →→→→→
对 C，假设 →→  → 共面，则2a  μc  a   2λ μ a  μc ，
r r r
因为向量{a, b , c }组是空间的一个基底，
ac
不共面，
所以不存在实数λ,μ，使得b  2λ μ →  μ→ 成立，故2a→, b, c→a→
→ → →→
即2a, b, c  a也是空间的一个基底，故 C 正确.
–––→
对 D，因为OP 
1 –––→
OA 
1 –––→
OB 
2 –––→
OC ，且
1  1  2  1 ，
1243
所以 P, B, A, C 四点共面，故 D 正确
故选：ACD.
下列选项正确的是（）
1243
2 5
若直线l : x  2 y 1  0 与l : 2x  ay  2  0 平行，则l 与l 的距离为
5
1212
过点1,1 且和直线2x  y  7  0 平行的直线方程是2x  y  6  0
“ a  1 ”是“直线 a2 x  y 1  0 与直线 x  ay  2  0 互相垂直”的必要不充分条件
直线 x sinα y  2  0 的倾斜角θ的取值范围是 0, π    3π , π 

4  4
【答案】AD
【解析】
【分析】利用平行线间距离公式判断 A，举反例判断 B，C，利用斜率的几何意义判断 D 即可.
【详解】对于 A，因为直线l1 : x  2 y 1  0 与l2 : 2x  ay  2  0 平行，
所以 2  a  2 ，解得 a  4 ，此时直线l 为2x  4 y  2  0 ，即 x  2 y 1  0 ，
1212
1 1
1 4
由平行线间距离公式得l 与l 的距离为 2 5 ，故 A 正确，
125
对于 B，将点1,1 代入2x  y  6  0 中，发现2 1 6  0 ，故该点不在直线上，
即过点1,1 且和直线2x  y  7  0 平行的直线方程不可能是2x  y  6  0 ，故 B 错误，
对于 C，当 a  0 时，直线 a2 x  y 1  0 可化为 y 1  0 ，直线 x  ay  2  0 为 x  2  0 ，此时两直线也互相垂直，
所以“ a  1 ”不是“直线 a2 x  y 1  0 与直线 x  ay  2  0 互相垂直”
的必要不充分条件，故 C 错误，
对于 D，直线 x sinα y  2  0 的斜率为 k  sinα，则1  k  1 ，
当1  k  0 时，θ的取值范围是  3π , π  ，当0  k  1时，θ的取值范围为 0, π  ，
 4
4 

故直线 x sinα y  2  0 的倾斜角θ的取值范围是 0, π    3π , π  ，故 D 正确.

4  4
故选：AD
平面内到两个定点 A，B 的距离比值为一定值λ(λ 1) 的点 P 的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼
斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点 A(2, 0) ， B(6, 0) ，动点 P 满足| PA |  1 ，记点 P 的轨迹为τ，则下
| PB |3
列命题正确的是（ ）
点 P 的轨迹τ的方程是 x2  y2  3x  0
过点 N (1,1) 的直线被点 P 的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是 1
直线2x  y  2  0 与点 P 的轨迹τ相离
已知点 E  3 , 0  ，点 M 是直线l : 2x  2 3y  7  0 上的动点，过点 M 作点 P 的轨迹τ的两条切线，
 2

切点为 C，D，则四边形 ECMD 面积的最小值是 3
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知条件求出点 P 的轨迹方程，然后逐个分析每个命题中涉及到的直线与圆的位置关系、弦长公式计算以及四边形面积即可.
【详解】对于 A,设 P(x, y) ，已知 A(2, 0) ， B(6, 0) ，且| PA |  1 .
| PB |3
根据两点间距离公式| PA |
(x  2)2  y2
(x  6)2  y2
 1
， | PB |.
(x  2)2  y2
(x  6)2  y2
(x  2)2  y21
则
.两边平方可得
3
(x  6)2  y2  9 .
展开整理得 x2  y2  3x  0 ，配方可得(x  3)2  y2  9 ，所以 A 选项正确.
(1 3)2 12
2
24
对于 B,点 N (1,1) 到圆心 E( 3 , 0) 的距离为 d 
2

5 .
1 1
4
2
r 2  d 2
2
圆的半径r  3 .根据弦长公式 L  2
( 3)2  (
2
5 )2
2
以弦长最小值为
，当 d 最大弦长最小， d 最大为圆心到点 N 的距离 5 .所
2
9  5
44
，所以 B 选项错误.
2
3
 2
 2
| 2  3  0  2 |
22  (1)2
5
5
对于 C,圆心 E( 2 , 0) 到直线2x  y  2  0 的距离 d  2  | 3  2 | .
因为
3 （圆的半径），所以直线与圆相离，C 选项正确.
5
2
对于 D,四边形 ECMD 的面积 S  2  1  | EC |  | MC |，因为| EC | r  3 .
22
要使面积最小，则| MC | 最小，即圆心 E 到直线l : 2x  2 3y  7  0 的距离 d 与半径 r 的关系.圆心
3| 2  3  2 3  0  7 |
22  (2 3)2
E( 2 , 0) 到直线l 的距离 d  2 
| 3  7 |
 5 .
4 12
2
d 2  r 2
| MC |min


 2 .
( 5 )2  ( 3)2
2
2
所以四边形 ECMD 面积最小值 S  2  1  3  2  3 ，D 选项正确.
22
故选：ACD.
→
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知空间向量 a  1,0,1, b  2, 1,2 ，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标
 99 9 
【答案】 8 ,  4 , 8 

【解析】
【分析】结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解.
→
【详解】空间向量 a  1,0,1, b  2, 1,2 ，
→→
22  12  22
则 a  b  1 2  0 1 1 2  4 ， b 
 3 ，
 → →  →→
 a  b  b  4 b   8 ,  4 , 8 
则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标为 →  →9 99 9  .
 99 9 
故答案为：  8 ,  4 , 8  .

 b  b
圆C1
: x2  y2  4 与圆C
: x2  y2  2x  2 y  0 的公共弦长为.
2
2
【答案】 2
【解析】
【分析】
将两圆方程作差可得出公共弦所在直线的方程，再求该直线截圆C1 所得弦长即可.
【详解】将圆C1 和圆C2 的方程作差并化简得 x  y  2  0 ，即两圆公共弦所在直线的方程为 x  y  2  0 .
2
圆C1 的圆心为坐标原点，半径长为2 ，圆C1 的圆心到直线 x  y  2  0 的距离为
12  12
d 2
，
4  d 2
因此，两圆的公共弦长为2
 2.
2
2
故答案为： 2.
【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A x1, y1 , B  x2, y2  ，定义 d ( A, B)  x1  x2  y1  y2 为“曼哈顿
x22
距离”.若 d (O, P)  2 ，则点 P 的轨迹所围成图形的面积为，若椭圆C :+ y
a2
有 8 个点 P 满足 d (O, P)  2 ，则椭圆C 的离心率的取值范围是
= 1(a > 0) 上有且仅
 6 3 
【答案】①. 8②.,
 32 

【解析】
【分析】根据“曼哈顿距离”列方程，结合绝对值的知识求得点 P 的轨迹所围成图形的面积.根据已知条件列不等式，求得a2 的范围，进而求得离心率的取值范围.
【详解】设 P  x, y  ，则 d (O, P)  x  y  2 ，
若 x  0, y  0 ，则 x  y  2 ；若 x  0, y  0 ，则 x  y  2 ；
若 x  0, y  0 ，则x  y  2 ；若 x  0, y  0 ，则x  y  2 ，由此画出点 P 的轨迹如下图所示（正方形），
1
由图可知点 P 的轨迹所围成图形的面积为
2
x22
 2  2  4  8 .
椭圆C :+ y a2
= 1(a > 0) ，对应b  1， a  1，
x22
d (O, P)  x  y  2
要使椭圆C : a2 + y
= 1(a > 0) 上有且仅有 8 个点 P 满足，
 y  x  2


根据对称性，由方程组 x2
 a2
y2  1
有两个解，且0  a  2, a  1，
所以 x2  x  22  1 ，整理得a2 1 x2  4a2  3a2  0 ，
a2
Δ  16a4 12a2 a2 1  4a2 a2  3  0 ，
3
211b21
解得
 a  2, 3  a  4,  ，
4a2
c2
a2
a2  b2
a2
1  a 
 b 2

c
a23

63 
所以e  
a
 3 ,
2  .

故答案为：

6 ,3 
 32 

【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳 “举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
已知直线 l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
证明：直线 l 过定点；
若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；
若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为 S，求 S 的最小值及此时直线 l 的方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）[0, ) ；（3）S 的最小值为 4，直线 l 的方程为 x－2y＋4＝0．
【解析】
【分析】（1）直线方程化为 y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线 l 总过定点；
考虑直线的斜率及在 y 轴上的截距建立不等式求解；
利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.
【详解】（1）证明：
直线 l 的方程可化为 y＝k（x＋2）＋1，故无论 k 取何值，直线 l 总过定点（－2，1）．
直线 l 的方程为 y＝kx＋2k＋1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k＋1，要使直线 l 不经过第四象限，则

k  0
1 2k  0
解得 k≥0，故 k 的取值范围是[0, ) ．
依题意，直线 l 在 x 轴上的截距为 1 2k ，在 y 轴上的截距为 1＋2k，
k
∴A   1 2k , 0  ，B（0，1＋2k）．
k

又 1 2k  0 且 1＋2k＞0，
k
∴k＞0．
1 11 2k1
故 S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝
 4k  1 +4  ≥ 1 ×（4＋ 2
）＝4，
22k
2 k2
4k  1
k

11
当且仅当 4k＝ k
k ，即 ＝ 2 时，取等号．
故 S 的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 x－2y＋4＝0．
2
在 如 图 所 示 的 平 行 六 面 体 ABCD  A1B1C1D1 中 ， AB  1， AD  2 ， AA1  2，
A AB  A AD  45∘ ， BAD  60∘ ，设–––→  → ， AD  b ， AA  → .
11AB a1c
––––→
用 a ， b ， c 表示 AC1 ， BD1 ， AC ；
求 AC1 的长；
求异面直线 BD1 与 AC 所成角的余弦值.
AC  →→
→→→
【答案】（1）1
a  b  c ， BD1  a  b  c ， AC  a  b
3
（2） 3
（3） 3 105
35
【解析】
【分析】（1）利用空间向量基本定理即可；
利用模长公式求解即可；
利用向量夹角公式求解即可
【小问 1 详解】
AC  AB  BC  CC  AB  AD  AA  →  b  → ，
111ac
→→
BD1  BA  AD  DD1   AB  AD  AA1  a  b  c ，
a
AC  AB  BC  AB  AD  →  b ，
【小问 2 详解】
→→→
2
a  1， b  2 ， c  2，
→  b  1 ， b  →  4 ， c  a  2 ，
a
––––→ 2
c
→→→ 2
因为 AC1
 a  b  c 
 →2
→2→2
→ →→
→→ →
a  b
 c  2 a  b  b  c  c  a 
 1 4  8  2 1 4  2  27 ，
––––→
所以 AC1
 3
，即 AC1 的长为3 3 ；
3
【小问 3 详解】
因为 BD  b  →  → ， AC  →，
1ca
––––→
a  b
7
–––→
15
同理可求得 BD1 
， AC ，
––––→ –––→→
→→→→
又因为 BD1  AC  b  c  a a  b 
 b 2  →2  →  →  b  →  9 ，
ac a
––––→ –––→
c
––––→ –––→
BD1 AC
15  7
BD1  AC
93 105
所以cs
BD1 , AC

35，
所以异面直线 AC 与 BD1 所成角的余弦值为 3 105 .
35
已知圆C :  x 12   y  22  8 ，过点 A3, 2 作直线l 交C 于 M ， N 两点．
若 MN  4 ，求直线l 的方程；
若点 P 是C 上的一动点，点Q 是线段 AP 的中点，求动点Q 的轨迹方程．
【答案】（1）
3x  3y  32 
3   0 或
3x  3y  32 
3   0
（2）  x 12   y+22  2
【解析】
【分析】（1）先求出圆心到直线的距离，再解得直线与圆的位置关系，分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论求解；
（2）设Q  x, y  ，利用中点关系结合 P 在圆上即可求解动点Q 的轨迹方程．
【小问 1 详解】
2 2 2  22
Q圆C :  x 12   y  22  8 ，圆C 的半径 r  2 2 ，圆心C 1, 2 ，
r 
2



2



2
MN
直线l 与圆心C 的距离 d 

 2 ，
3  12  2  22
若斜率不存在，即l : x = 3 ，圆心到直线距离 d 
与圆C 无交点，不符合题意；
若斜率存在，设直线l : y  2  k  x  3 ，即 kx  y  3k  2  0 ，
1 k 2
4k
由 d  2 ，解得 k   3 ，
3
 4  2，
直线l 的方程为 y  2  
3  x  3 ，
3
即 3x  3y  32 
3   0 或
3x  3y  32 
3   0 ．
【小问 2 详解】
设Q  x, y  ， P  x0 , y0  ，Q点Q 是线段 AP 的中点，
x  x0  3
 2
x0  2x  3
，即①，
2
y  2 y  2 y  2
 y  0 0
2
又Q点 P 在圆C 上，  x 12   y  22  8 ，
00
将①代入得2x  22  2 y  42  8 ，整理得 x 12   y  22  2 ，
点Q 的轨迹方程为：  x 12   y  22  2 ．
如图（1），在四棱锥 P  ABCD 中，平面 PAB  平面 ABCD ， PA  AB ， PA  AD  4 ，
BC //AD ， AB  AD ， AB  BC  2 ， PE  λPC 0  λ 1 .
若λ 1 ，求直线 DE 与平面 ABE 所成角的正弦值；
2
设二面角 B  AE  C 的大小为θ，若 csθ  2 34 ，求λ的值；
17
阅读下列“链接”材料，试判断异面直线 BE 和 AD 间的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.
链接：运用空间向量求异面直线间的距离如图（2），设 A 、 P 分别为异面直线 a 、b 上的点， n 是与直线
–––→ →
AP  n
a 、b 都垂直的向量，从而异面直线 a 、b 间的距离为 d  → ，即为向量 AP 在向量n 上的投影向量
n
的模.
【答案】（1） 4 70
35
（2）λ 1
3
（3）是， 4 5
5
【解析】
【分析】（1）推导出 PA  平面 ABCD ，以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 、 AP 所在直线分别为 x 、 y 、 z
轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线 DE 与平面 ABE 所成角的正弦值；
求出点 E 的坐标，根据空间向量法可得出关于λ的方程，结合λ0,1 可得出λ的值；
求出异面直线 BE 、AD 的公垂线的一个方向向量，结合题中材料可求出异面直线 BE 、AD 间的距离.
【小问 1 详解】
在四棱锥 P  ABCD 中，平面 PAB  平面 ABCD ，平面 PAB  平面 ABCD  AB ，
PA  AB ， PA  平面 PAB ，所以 PA  平面 ABCD ，
又因为 AB  AD ，以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 、 AP 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的
空间直角坐标系，
因为 PA  AD  4 ， AB  BC  2 ，
所以 A0, 0, 0 、 B 2, 0, 0 、C 2, 2, 0 、 D 0, 4, 0 、 P 0, 0, 4 .
若λ 1 ，即 E 为 PC 中点，则 E 1,1, 2 ，
2
所以 DE  1, 3, 2 ， AB  2, 0, 0 ， AE  1,1, 2 .
→
设平面 ABE 的一个法向量为 m   x1, y1, z1  ，
 → –––→
m  AB  2x1  0
z  1
y  2
则 → –––→
，令 1
，得 1，
m  AE  x1  y1  2z1  0
→
所以平面 ABE 的一个法向量为 m  0, 2,1 .
设直线 DE 与平面 ABE 所成角为α，
–––→
→
–––→
DE  m
DE  m
→
6  2
14  5
–––→
则sinα
cs
→
DE, m

4 70
.
35
【小问 2 详解】
→
因为 PE  λPC  λ2, 2, 4  2λ, 2λ, 4λ0  λ 1 ，则 E 2λ, 2λ, 4  4λ ， 设平面 ABE 的一个法向量为 n   x2 , y2 , z2  ，
→ –––→
n  AB  2x2  0
y  2
z λ
则→ –––→
，令 2
，得 2  λ1 ，
n  AE  2λx2  2λy2  4  4λ z2  0
→λ 

所以平面 ABE 的一个法向量为 n   0, 2, λ1  .
→ –––→

设平面 AEC 的一个法向量为l
  x , y , z
l  AC  2x3  2 y3  0
，则，
333
→ –––→
l  AP  4z3  0
令 x3  1 ，得 y3  1，所以平面 AEC 的一个法向量为l  1, 1, 0 .
因为二面角 B  AE  C 的大小为θ，且 csθ  2 34 ，
17
n  l
→
n  l
→ →
→
2
4   λ1   2
 λ 2


2 34
→ →
得 csn, l 
，
17
整理得3λ2  2λ1  0 ，解得λ 1 ，或λ 1 （舍），所以λ 1 .
33
【小问 3 详解】
由（2）得 E 2λ, 2λ, 4  4λ ，故 BE  2λ 2, 2λ, 4  4λ ， AD  0, 4, 0 .
→
设u   x, y, z  与直线 BE 、 AD 都垂直，
→ –––→
u  BE  2λ 2 x  2λy  4  4λ z  0
所以→ –––→.
u  AD  4 y  0
u
令 x  2 ，可得 y  0 ， z  1，即 →  2, 0,1 .
又 AB  2, 0, 0 ，所以异面直线 BE 和 AD 间的距离为 d 
故异面直线 BE 和 AD 间的距离为定值 4 5 .
5
–––→ →
4 5
AB  u4
5
→ .
u5
19. 在平面直角坐标系中，过点 A x0 , y0  作斜率分别为 k1, k2 的直线l1, l2 ，若 k1k2  μ(μ 0) ，则称直线
l1, l2 是 KA (μ) 定积直线或 K x0 , y0  (μ) 定积直线.
已知直线l1, l2 是 K(0,0) (3) 定积直线，且直线l1 : y  2x ，求直线l2 的方程;
如图所示，已知点 A(0,1) ，点 B(1, 0) 和点C(1, 0) 分别是三条倾斜角为锐角的直线 PQ, QR, RP 上的点( A, B,C 与 P, Q, R 均不重合)，且直线 PR, PQ 是 KP (1) 定积直线，直线QP, QR 是 KQ (4) 定积直 线，直线 RP, RQ 是 KR (9) 定积直线，求点 P 的坐标;
已知点 M (2, 0), N (2, 0) ，直线TM ,TN 是 K   1  定积直线，若MTN  120 ，求三角形
T 4 

VMTN 的面积.
【答案】（1） y   3 x
2
（2） P(3, 3) ；
8 3
9
（3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义求得l2 的斜率，得直线方程；
设直线 PR, PQ, QR 的斜率分别为 k1, k2 , k3 ，由新定义列方程组解得 k1, k2 , k3 ，求得直线 PR, PQ 方程，再联立直线方程求得交点坐标；
设出点T 坐标，根据新定义列出关系式，得到动点T 轨迹方程，假定T 在 x 轴上方，根据直线斜率与角之间关系转化列出等式，求出点T 坐标，进而求得三角形面积.
【小问 1 详解】
l l
由已知得 k k
1 2
 3 ，又 k
l
1
 2 ，
 kl2
  3 且直线过点0, 0 ，
2
 l 的方程 y   3 x ;
22
【小问 2 详解】
（2）设直线 PR, PQ, QR 的斜率分别为 k1, k2 , k3 ，
k1k2  1
则k k  4, .
 2 3
k k  9
 3 1
得 k1
当 k1
 3 , k
22
 3 , k
22
 2 , k
33
 2 , k
33
 6 （负值舍去），
 6 时，
直线 PR 的方程为 y  3 (x 1) ，直线 PQ 的方程为 y  2 x  1
23
联立得 P(3, 3) ；故所求为 P(3, 3) ；
【小问 3 详解】
yyy21
设T ( x, y),Q kTM  kTN  x  2

x  2
x2  4   4 ，
得T 的轨迹方程为:
x2  2
y
4
 1(x  2)
由图形的对称性，不妨设T 在 x 轴上方，则
yy
tan120  tan(TNx  TMx) 
kTN  kTM
 x  2x  2 4 y
 4 y
  4
1  kTN  kTM
1 y
x  2
y
x  2
x2  4  y2
3y23y
3
 4
，得 y  4 3 ，即此时T 的纵坐标为 4 3
3y99
SVMTB
 1 | MN | y  1  4  4 3  8 3 .
2299
8 3
9
所以三角形VMTN 的面积为.
【点睛】方法点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．