福建省莆田市荔城区莆田中山中学2025-2026学年八年级上学期期中考 数学试卷

这是一份福建省莆田市荔城区莆田中山中学2025-2026学年八年级上学期期中考 数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 给出下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（ ）
A．3，4，5B．3，4，7C．2，3，4D．4，8，7
2. 如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
3. 一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝65°，∠B＝70°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（ ）
A．55°B．50°C．45°D．40°

第3题图 第6题图 第7题图
4. 下列运算正确的是（ ）
A．2m2+n2=3m2n2B．(m2)3=m6
C．2m∙3m2=5m3D．(2m3)2=4m9
5. 若等腰三角形的周长为30cm，一边为14cm，则腰长为（ ）
A．2cmB．8cmC．8cm或2cmD．14cm或8cm
6. 如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为（4，2），则此时对应的虚像S′的坐标是（ ）
A．（4，﹣2）B．（2，4）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）
7. 献礼莆田建市40周年，小亮设计了形状如图所示的彩旗，图中∠ACB＝90°，∠D＝15°，点A在CD上，AD=AB，BC=20厘米，则AD的长为（ ）
A．30厘米B．40厘米C．50厘米D．60厘米
8. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角B．等角对等边C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”
9. 如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
10. 在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）
A． B．C．D．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是 ．
12. 若xa=4，xb=2，则xa+b的值为 ．

第11题图 第13题图 第14题图 第15题图
13. 如图，△ABC≌△DBE，若AB=7，BE=3，则CD的长为 ．
14. 如图，在△ABC中，∠BCA＝40°，∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高，与角平分线AE相交于点O，则∠AOF的度数为 ．
15. 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，延长AD交BC于E，△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积等于 ．
16. 如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17.（8分）计算：（1）(m2)3+2m∙m5（2）4x2y3(−14xy)
18.（8分）如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BF＝CE，AB∥DE．
求证：△ABC≌△DEF．
19.（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠C的度数．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）如果AC上有一点M (a，b) 经过上述两次变换，那么对应A1C1上的点M1的坐标是 ．
21.（8分）【新情境】图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由；
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝4，AC＝6，求△APC的面积．
22.（10分）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，CD为∠ACB的平分线．
（1）尺规作图：在CD上作点E，并连接AE，使得∠AED＝∠ACB（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，在BC边上有一点F（不与点B，C重合），连接AF，EF，且∠EAF＝∠ACB，求证：EF垂直平分AC．
23.（10分）【问题探究】如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，AB+BP＝BC．求证：∠APD＝90°；
【拓展迁移】如图②，在三角形ABC中，∠B＝∠C＝45°，P是AC上一点，PE＝PD，且∠EPD＝90°．
求的值．
24.（12分）为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表：
（1）由第一小组的方案可知，河宽AB的长度就是线段 的长度；
（2）第二小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于2∠AOB的角度，即图4中∠MFH=2∠AOB，继续前行至点H，满足点A，O，H，M在一条直线上且点H在BD左侧．他们认为只要测得DF和FH的长就可求出河宽AB的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由；
请你代表第三小组设计一个测量方案，把测量方案和测量方案示意图填入表格，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并证明方案的可行性．
25.（14分）已知△ABC是等边三角形，AD＝DE，∠ADE＝120°，F为EC的中点，连接DF，BF．
（1）如图1，点D在线段BA的延长线上．
①求证：DE∥BC；
②直接写出线段DF与BD之间的数量关系．
（2）如图2，点D在直线BA外，用等式表示线段DF与BD之间的数量关系，并证明．
课题
测量河流宽度
工具
测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺
小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案
如图1，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得∠ACB＝45°．
如图2，从点B向正南方向走到点D，O是BD的中点，继续从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点A，O，E在一条直线上．

测量方案示意图
2025-2026学年中山中学八年级上学期期中考
数学卷参考答案
一、选择题
1-5．BCCBD 6-10． DBDDD
10．解：A、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故A选项不符合题意；
B、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故B选项不符合题意；
C、如图：∵∠DFC＝∠DFE+∠EFC且∠DFC＝∠B+∠BDF，
∴∠DFE+∠EFC＝∠B+∠BDF，
∵∠B＝∠DFE＝50°，
∴∠EFC＝∠BDF，
∵BD＝FC，∠B＝∠C，
∴△DBF≌△FCE（ASA）．
根据ASA可以推出剪下的两个三角形全等，故C选项不符合题意；
D、如图：由C选项可得：∠EFC＝∠BDF，∠B＝∠C，但FC不是两个角的夹边，所以两个三角形不一定全等，故D选项符合题意；
故选：D．
二、填空题
11．120°12．8 13．4 14．50°15．28°16．3
16．解：连接AM，过点A作AH⊥BC于点H，如图：
∵BC＝BA，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且平分AC，
∴BD是线段AC的垂直平分线，则AM＝CM，
∴MN+CM＝MN+AM，
根据“垂线段最短”得：MN+AM≥AH，
即当点M在线段AH上时，MN+AM为最小，最小值为线段AH的长，
∵△ABC的面积为6，BC＝4，
∴，
∴，即CM+MN的最小值为3．
故答案为：3
三、解答题
证明：∵BF＝CE，
∴BF﹣FC＝CE﹣CF，即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠E＝∠B，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，
∴在△ABD中，
∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，
又∵AD＝DC，
∴在△ADC中，
∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．
解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图1所示，△A2B2C2即为所求；
（3）点M经过第一次变换后坐标为（a，﹣b），经过第二次变换后的坐标为（a+4，﹣b），
故答案为：（a+4，﹣b）；
（4）如图2所示，长方形ABMN即为所求．
（1）解：AP是∠BAC的平分线，理由如下：
如图2，在△ADF和△AEF中，
，
∴△ADF≌△AEF（SSS），
∴∠DAF＝∠EAF，
∴AP平分∠BAC；
（2）解：如图3，过点P作PM⊥AC于点M，
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，
∴PM＝PQ＝4，
∴S△APC＝AC•PM＝×6×4＝12．
（1）解：图形如图所示：
（2）证明：由作图可知EA＝EC，
∴∠ACE＝∠EAC，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠EAF＝∠ACB，
∴∠EAF＝∠EAC＝∠ECA＝∠ECF，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∵EA＝EC，
∴EF垂直平分线段AC．
【问题探究】证明：∵BP+PC＝BC，BP+AB＝BC，
∴PC＝AB，
在Rt△ABP与Rt△PCD中，
，
∴Rt△ABP≌Rt△PCD（HL），
∴∠APB＝∠PDC，
∴∠APD＝180°﹣∠APB﹣∠DPC＝180°﹣（∠PDC+∠DPC）＝180°﹣90°＝90°；
【拓展迁移】解：过D点作DF⊥AC于点F，
在ABC中，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴∠A＝∠PFD，
∵∠APE+∠DPF＝90°，∠AEP+∠APE＝90°，
∴∠DPF＝∠AEP，
在△APE与△FDP中，
，
∴△APE≌△FDP（AAS），
∴AE＝PF，AP＝DF，
在△DPF中，∠FDC＝90°﹣∠C＝90°﹣45°＝45°，
∴DF＝FC，
∴AP＝FC，
∴PC＝PF+FC＝AE+AP，
∴．
解：（1）∵AB⊥BC，∠ACB＝45°，
∴∠CAB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACB＝∠CAB＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，即BC＝AB，
∴河宽AB的长度就是线段BC的长度．故答案为：BC；
（2）第二小组的方案可行，证明如下：
∵O是BD的中点，AB⊥BD，DM⊥BD，
∴OB＝OD，∠ABO＝∠MDO＝90°，
在△ABO和△MDO中，
，
∴△ABO≌△MDO（AAS），
∴AB＝DE，∠BAO＝∠M，
设∠AOB＝α，则∠BAO＝∠M＝90°﹣α，
又∵∠MFH＝2∠AOB＝2α，
∴在△MFH中，∠FHM＝180°﹣（∠M+∠MFH）＝180°﹣（90°﹣α+2α）＝90°﹣α，
∴∠FHM＝∠M＝90°﹣α，即MF＝FH，
∴DM＝DF+MF＝DF+FH，
∴AB＝DF+FH，
故第二小组的方案可行．
（3）第三小组的设计方法是：
观测者从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD＝∠BCA＝65°，CD交AB延长线于D，
此时线段BD的长就是河宽AB长，理由如下：
由AB⊥BC得∠ABC＝∠DBC＝90°，
在△ABC和△DBC中，
，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴BD＝AB，
∴河宽AB的长等于线段BD的长．
（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠ADE＝120°，
∴∠ADE+∠ABC＝120°+60°＝180°，
∴DE∥BC；
②解：DF＝BD，理由如下：
由①可知，DE∥BC，
∴∠E＝∠GCF，
∵F为EC的中点，
∴EF＝CF，
在△DEF和△GCF中，
，
∴△DEF≌△GCF（ASA），
∴DF＝GF，DE＝GC，
∴DG＝2DF，
∵AD＝DE，
∴AD＝GC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝CB，
∴AB+AD＝CB+GC，
即BD＝BG，
∴△BDG是等边三角形，
∴DG＝BD，
∴2DF＝BD，
∴DF＝BD；
（2）解：DF＝BD，证明如下：
如图2，延长DF至G，使GF＝DF，连接CG、BG，
则DG＝2DF，
在△DEF和△GCF中，
，
∴△DEF≌△GCF（SAS），
∴∠E＝∠GCF，DE＝GC，
∵AD＝DE，
∴AD＝GC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠DAB＝360°﹣∠DAC﹣∠BAC＝360°﹣∠DAC﹣60°＝300°﹣∠DAC，
∵∠ADE＝120°，∠ADE+∠E+∠ACE+∠DAC＝360°，
∴∠E+∠ACE＝240°﹣∠DAC，
∴∠GCF+∠ACE＝240°﹣∠DAC，
∴∠GCB＝∠GCF+∠ACE+∠ACB＝240°﹣∠DAC+60°＝300°﹣∠DAC，
∴∠DAB＝∠GCB，
在△DAB和△GCB中，
，
∴△DAB≌△GCB（SAS），
∴BD＝BG，∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABD+∠ABG＝∠CBG+∠ABG＝∠ABC＝60°，
∴△BDG是等边三角形，
∴DG＝BD，
∴2DF＝BD，
∴DF＝BD．