2025-2026学年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校九年级（上）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列三角函数的值是1的是( )
A. sin45∘B. tan30∘C. cs45∘D. tan45∘
2.如图，几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.反比例函数y=2x的图象经过点(−4,m)，则m的值是( )
A. 12B. −2C. −12D. 2
4.一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有( )
A. 3张B. 15张C. 5张D. 10张
5.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，△ABC与△DEF的面积之比是1：9，其中OE=6，则OB的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.
7.如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则下列三角函数值错误的是( )
A. sinB=35
B. csB=45
C. tanB=34
D. tanA=43
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示，它的对称轴为直线x=−12，则下列结论中正确的有( )
①abc>0；②4a−2b+cDC，在AD上作一点P，使得S△ABP=S△CBP(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，已知∠ACB=135∘，sinA=35，BC=9 2.
(1)求AB的长；
(2)求△ABC的面积.
20.(本小题6分)
如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角△ABC和△AFG摆成如图所示的样子，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90∘.请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
21.(本小题6分)
某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节lg设计.如图，王博同学设计的矩形lg长20cm，宽16cm，为了使这个lg更美观，他要给lg添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为480cm2，求边框的宽.
22.(本小题7分)
中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面.某天，张教授宴请自己的5位学生(分别用A、B、C、D、E表示)，如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位(分别用①、②、③、④、⑤表示)随机入座.已知学生A第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生B第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座.
(1)学生A坐在②号座位的概率为______；
(2)请用列表法或画树状图的方法，求学生A和学生B入座后相邻的概率.
23.(本小题7分)
某工厂生产一种零件，在生产过程中，发现零件的质量问题数量x与生产工艺参数m存在这样的关系：关于x的一元二次方程x2−2(m−3)x+m2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)在(1)中，设x1、x2为该方程的两个根，且(x1+2)(x2+2)=4，求m的值.
24.(本小题8分)
学习小组为测量学校三号楼的高度，设计了以下测量方案：小志站在五号楼一层的C处(小志身高CD=1.7m)，看到三号楼楼顶的A处，此时测得仰角为53∘，随后上到三楼，在E处看到三号楼楼顶的A处仰角为28∘，两视线之间的距离ED=9m，(C、D、E在同一直线上且垂直于地面)，请根据测量数据求三号楼的高度AB.(结果精确到0.1m)(参考数据：sin53∘≈0.80，cs53∘≈0.60，tan53∘≈1.33，sin28∘≈0.47，cs28∘≈0.88，tan28∘≈0.53)
25.(本小题8分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C.直线y=x+3经过点B、C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是直线BC上方的抛物线上一动点(不与点B、C重合)，过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线BC于点D，作PE⊥BC于点E.设点P的横坐标为m，连接PB，线段PD把△PEB分成两个三角形，若这两个三角形的面积比为4：5，求出m的值.
26.(本小题10分)
【问题发现】如图1，在矩形ABCD中，AD=4，CD=3，点F，F分别是边AD，BC上的点，点G是边AB上一点，连接EF，DG，若EF⊥DG，则EFDG=______；
【类比探究】如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=90∘，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF，连接AC，若∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，求CEBF的值.
【拓展应用】如图3，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应是H，求3BH+4EF的最小值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、sin45∘= 22≠1，不符合题意；
B、tan30∘= 33≠1，不符合题意；
C、cs45∘= 22≠1，不符合题意；
D、tan45∘=1，符合题意；
故选：D.
根据特殊角的三角函数值逐项分析判断即可．
本题考查特殊角的三角函数值，涉及特殊角的正弦值、特殊角的余弦值和特殊角的正切值，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：这个几何体的主视图为：
故选：B.
根据简单几何体的三视图的画法画出它的主视图即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=2x的图象经过点(−4,m)，
m=2−4=−12，
故选：C.
将点(−4,m)代入反比例函数y=2x即可求出m的值．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
4.【答案】C
【解析】解：∵一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%，
∴25%×20=5(张)，
故选：C.
根据频率及概率的关系和题意可直接列式计算．
本题主要考查已知概率求数量，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∵△ABC与△DEF的面积之比是1：9，
∴△ABC与△DEF的相似比是1：3，即AB：DE=1：3，
∵AB//DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴OBOE=ABDE=13，即OB6=13，
解得：OB=2，
故选：B.
根据位似图形的定义得到△ABC∽△DEF，AB//DE，根据相似三角形的性质得到AB：DE=1：3，证明AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是位似变换，掌握位似图形的定义、相似三角形的性质是解题的关键．
6.【答案】

【解析】
7.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于D.
在△ABD中，∵∠ADB=90∘，AD=3，BD=4，
∴AB=5，
∴sinB=ADAB=35，故A正确，不符合题意；
csB=BDAB=45，故B正确，不符合题意；
tanB=ADBD=34，故C正确，不符合题意；
∵tan∠BAD=BDAD=43，∠A0，
所以2b+c>0.
故③错误．
因为x=−12时，函数有最大值y=14a−12b+c，
所以m为任意实数时，am2+bm+c≤14a−12b+c，即am2+bm≤14a−12b(m为任意实数)，
故④正确；
因为抛物线开口向下，
所以抛物线上的点离对称轴越近，其函数值越大，
又因为|x1+12|>|x2+12|，
所以y1BC)，AB=12cm，
∴AC= 5−12AB= 5−12×12=(6 5−6)(cm)，
故答案为：(6 5−6).
根据黄金分割的计算公式正确计算即可．
本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
12.【答案】325
【解析】解：设FD=m，作CH//AE，交BD的延长线于点H，则∠H=∠AFD，
∵BF：FD=3：1，
∴BF=3FD=3m，
∵D是AC的中点，
∴CD=AD，
在△CDH和△ADF中，
∠CDH=∠ADF∠H=∠AFDCD=AD，
∴△CDH≌△ADF(AAS)，
∴HD=FD=m，
∴BH=3m+m+m=5m，
∵EF//CH，BC=16，
∴△BEF∽△BCH，
∴BEBC=BFBH=3m5m=35，
∴BE=35BC，
∴CE=BC−35BC=25BC=25×16=325，
故答案为：325.
设FD=m，作CH//AE，交BD的延长线于点H，由BF：FD=3：1，得BF=3FD=3m，由∠CDH=∠ADF，∠H=∠AFD，CD=AD，证明△CDH≌△ADF，得HD=FD=m，则BH=5m，可证明△BEF∽△BCH，得BEBC=BFBH=35，则BE=35BC，所以CE=25BC=325，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
13.【答案】−92
【解析】解：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵反比例函数y=2x在第一象限内的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，
∴A、B点关于O点对称，
∴AO=BO.
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB.
∵∠AOE+∠AOF=90∘，∠AOF+∠COF=90∘，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90∘，∠CFO=90∘，
∴△AOE∽△COF，
∴AECF=OEOF=AOCO，
∵tan∠CAB=OCOA=32，
∴CF=32AE,OF=32OE.
又∵AE⋅OE=2，CF⋅OF=|k|，
∴k=±92.
∵点C在第二象限，
∴k=−92，
故答案为：−92.
连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90∘，∠CFO=90∘”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan∠CAB=32，可得出CF⋅OF的值，进而得到k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解直角三角形，熟知以上知识是解题的关键．
14.【答案】 33
【解析】解：取AB的中点G，AC的中点H，连接FG，DG，EH，DH，
则AG=BG，AH=CH，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴DG=12AC=AH，DG//AC，DH//AB，DH=12AB=AG，
∵AF=BF，
∴FG⊥AB，
∴∠AGF=90∘，
∵∠AFB=120∘，
∴∠FAG=30∘，
∴AG= 3FG，
∴DH= 3FG，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE=CE，∠AEC=∠EAH=60∘，
∵∠AHE=90∘，
∴EH= 3AH，
∴EH= 3DG，
∴FGDH=DGEH= 33，
∵DG//AC，DH//AB，
∴∠BGD=∠BAC=∠CHD，
∴∠FGD=∠EHD，
∴△FGD∽△DHE，
∴FDED=FGDH= 33，
故答案为： 33.
取AB的中点G，AC的中点H，连接FG，DG，EH，DH，则AG=BG，AH=CH，根据三角形中位线定理得到DG=12AC=AH，DG//AC，DH//AB，DH=12AB=AG，根据等腰三角形的性质得到FG⊥AB，求得∠AGF=90∘，得到DH= 3FG，EH= 3DG，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
15.【答案】−8.
【解析】解：原式=4× 22+1−9−2 2
=2 2−2 2+1−9
=−8.
根据特殊角的三角函数值、零指数幂的性质和负整数指数幂的性质进行计算即可．
本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂的性质和负整数指数幂的性质．
16.【答案】解：方程整理得：x2−2x=12，
配方得：x2−2x+1=32，即(x−1)2=32，
开方得：x−1=± 62，
解得：x1=1+ 62，x2=1− 62.
【解析】方程整理后，利用配方法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17.【答案】解：x+1x−1−4x2−1=1
(x+1)2−4=x2−1
x2+2x+1−4=x2−1
x=1，
检验：把x=1代入x2−1=1−1=0，
∴x=1是原方程的增根，原方程无解．
【解析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程一定要验根是解题的关键．
先去分母，再解整式方程，一定要验根．
18.【答案】解：如图，作∠ABC的平分线交AD于P，点P即为所求．

【解析】作∠ABC的平分线交AD于P，则P点到AB和BC的距离相等，而AB=BC，于是根据三角形面积公式，可判断S△ABP=S△CBP.
本题考查了作图-作已知角的角平分线，角平分线的性质，解答本题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
19.【答案】15；
272
【解析】解：(1)如图，延长AC过点B作BE⊥AE，E为垂足，
∵在△ABC中，已知∠ACB=135∘，BC=9 2，
∴∠BCE=180∘−135∘=45∘，
∵BE⊥AE，
∴∠CEB=90∘，
∴∠CBE=45∘，
∴CE=BE，
∵sin45∘=BEBC= 22，
∴BE=9，
∴CE=9，
∵sinA=35，
∴BEAB=35，
∴AB=15；
(2)在Rt△ABE中根据勾股定理得，AE= 152−92=12，
∴AC=12−9=3，
∴△ABC的面积是12×9×3=272.
利用∠ACB=135∘延长AC过点B作BE⊥AE，E为垂足，利用∠A的正弦函数结合，45∘角的三角函数能够得出边长，得出三角形的面积．
本题考查了锐角三角函的应用，等腰直角三角的性质，勾股定理的应用，特殊角的三角函数值一定要熟记．
20.【答案】△EAB∽△EDA，△EAD∽△ACD，△EAB∽△ADC.
【解析】解：图中相似三角形有△EAB∽△EDA，△EAD∽△ACD，△EAB∽△ADC.
证明△EAB∽△EDA的过程为：
∵△ABC和△AFG都为等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠FAG=45∘，
∵∠AED=∠BEA，∠EAD=∠B，
∴△EAB∽△EDA.
利用相似三角形的判定方法得到△EAB∽△EDA，△EAD∽△ACD，△EAB∽△ADC.先根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=∠FAG=45∘，再加上公共角，则可证明△EAB∽△EDA.
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质．
21.【答案】2cm.
【解析】解：设边框的宽为x cm，则添加边框后的整个图形的长为(20+2x)cm，宽为(16+2x)cm，
根据题意得：(20+2x)(16+2x)=480，
整理得：x2+18x−40=0，
解得：x1=2，x2=−20(不符合题意，舍去).
答：边框的宽为2cm.
设边框的宽为xcm，则添加边框后的整个图形的长为(20+2x)cm，宽为(16+2x)cm，根据添加边框后的整个图形的面积为480cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】15；
25.
【解析】解：(1)根据题意可得：学生A坐在②号座位的概率=15，
故答案为：15；
(2)列表如图：
根据表格可得，共有20种情况，其中学生A和学生B入座后相邻的情况有8种情况，
故学生A和学生B入座后相邻的概率=820=25.
(1)根据概率公式求解即可；
(2)先列表得到所有可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式求解即可；
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握并运用相关知识是解题的关键．
23.【答案】(1)m≤32 (2)m=−6
【解析】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−2(m−3)x+m2=0有两个实数根，
∴Δ=[−2(m−3)]2−4×1×m2=−24m+36≥0，
解得：m≤32，
∴m的取值范围为m≤32；
(2)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2(m−3)x+m2=0的两个根，
∴x1+x2=2(m−3)，x1x2=m2，
∵(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=4，
∴m2+4(m−3)+4=4，
整理得：m2+4m−12=0，
解得：m1=−6，m2=2，
又∵m≤32，
∴m=−6.
(1)根据方程的系数，结合根的判别式Δ=b2−4ac≥0，可得出−24m+36≥0，解之即可得出m的取值范围；
(2)利用根与系数的关系，可得出x1+x2=2(m−3)，x1x2=m2，结合(x1+2)(x2+2)=4，可得出m2+4(m−3)+4=4，解之可得出m的值，再结合m≤32，即可确定m的值．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；(2)牢记“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和等于−ba，两根之积等于ca”．
24.【答案】三号楼的高度AB约为16.7m.
【解析】解：过A作AH⊥CE于H，
则AB=CH，∠AHC=90∘，
在Rt△AHE中，∵∠EAH=28∘，
∴tan28∘=HEAH≈0.53，
∴HE=0.53AH，
在Rt△ADH中，∵∠DAH=53∘，
∴tan53∘=DHAH≈1.33，
∴DH=1.33AH，
∵DE=DH−EH=1.33AH−0.53AH=9，
∴AH=454，
∴DH=1.33×454≈15.0，
∴AB=CH=CD+DH=1.7+15.0=16.7(m)，
答：三号楼的高度AB约为16.7m.
过A作AH⊥CE于H，则AB=CH，∠AHC=90∘，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】(1)抛物线的解析式为y=−x2−2x+3 (2)m=−85或m=−52
【解析】解：(1)∵直线y=x+3经过点B、C，
∴B(−3,0)，C(0,3)，
将点B(−3,0)，C(0,3)代入y=−x2+bx+c得，
−9−3b+c=0c=3，
解得b=−2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
(2)过点E作EM⊥PD于点M，
∵点P的横坐标为m，
∴点P(m,−m2−2m+3)，点F(m,0)，点D(m,m+3)，
∴PD=−m2−2m+3−m−3=−m2+3m，BF=m−3，
∵OC=OB，
∴∠ABC=45∘，则∠BDF=∠EDP=45∘，
∴△DEP为等腰直角三角形，
∴EM=12PD=12(−m2+3m)，
∵S△EPD=12PD⋅EM，S△BPD=12PD×BF，
∴S△EPDS△BPD=14PD212PD⋅BF=EMBF=m(3−m)m−3=−m2，
①当S△EPDS△BPD=−m2=45时，m=−85；
②当S△EPDS△BPD=−m2=54时，m=−52；
综上所述，m=−85或m=−52.
(1)先求出点B和点C坐标，代入抛物线解析式求解即可；
(2)线段PD把△PEB分成两个三角形，它们的底边都是PD，用面积之比等于高的比列方程即可得到答案．
本题是二次函数综合题，主要考查一次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是用m的代数式表示PD的长度以及用面积之比等于高的比处理这一道有公共边的面积比问题．
26.【答案】34；
1225；
6 73
【解析】解：(1)如图，作CX//EF，交AD于X，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90∘，AB//CD，AD//BC，
∴四边形EFCX是平行四边形，
∴EF=CX，
∵EF⊥GH，
∴CX⊥DZ，
∴∠AGD=∠CXD=90∘−∠ADG，
∴△DCX∽△ADG，
∴CXDG=CDAD=34，
∴EFDG=34；
故答案为：34；
(2)如图3，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2=10，
如图，作CV⊥AD，交AD的延长线于点V，作BW⊥直线CV于点W，
∴∠V=∠W=90∘，
∵∠DAB=90∘，
∴四边形ABWV是矩形，
∴VW//AB，
∴∠BCW=∠ABC，
∴sin∠BCW=BWBC=sin∠ABC=ACAB=35，
∴BW8=35，
∴BW=245，
又∵CE⊥BF，
∴由(1)知CEBF=BWAB=24510=1225；
(3)如图，连接BG，AG，作点B关于CD的对称点R，连接RG，AR，
由对称性可得，BG=RG，AG=BH，BG⊥EF，
由(1)得，EFBG=CDBC=34，
∴3BG=4EF，
∴3BH+4EF=3BH+3BG=3(BH+BG)，
当A、G、R共线时，AG+GR有最小值，最小值为AR的长，
∴BH+BG的最小值为AR的长，
∴BH+34EF的最小值为AR的长，
∵AB=6，BC=CR=8，∠ABC=90∘，
∴AR= AB2+BR2= 62+162=2 73，
∴3(BH+BG)的最小值为6 73，
∴3BH+4EF的最小值6 73.
(1)作CX//EF，交AD于X，可证得△DCX∽△ADG，从而CXDG=CDAD=34进而得出结果；
(2)作CV⊥AD，交AD的延长线于点V，作BW⊥直线CV于点W，由(21知CEBF=BWAB，根据三角函数的定义和勾股定理求出AB，BM，进一步得出结果；
(3)连接BG，AG，作点B关于CD的对称点R，连接RG，AR，由对称性可得，BG=RG，AG=BH，BG⊥EF，由(2)得，EFBG=CDBC=34，BG=43EF，当A、G、R共线时，AG+GR有最小值，最小值为AR的长，进一步得出结果．
本题考查了矩形和正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作根据轴对称的性质转化线段．学生B 学生A
①
②
③
④
⑤
①
相邻
不相邻
不相邻
不相邻
②
相邻
相邻
不相邻
不相邻
③
不相邻
相邻
相邻
不相邻
④
不相邻
不相邻
相邻
相邻
⑤
不相邻
不相邻
不相邻
相邻