2023-2024学年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，一定为一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到白球请你估计这个口袋中有个白球．(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列四组线段中，不成比例的是(    )

A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，

5.  任意下列两个图形不一定相似的是(    )

A. 正方形 B. 等腰直角三角形 C. 矩形 D. 等边三角形

6.  如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于点、，若两阴影三角形面积分别是，，则矩形的面积是．(    )

A.
B.
C.
D.

7.  我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除捷法中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是平方步，其中长与宽和为步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，是的中线，是中点，的延长线与交于点，则：等于(    )

 

A. ： B. ： C. ： D. ：

10.  如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，将沿翻折，使点落在点处，作射线，交的延长线于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  已知方程的一个根是，则的值是______ ．

12.  已知，则的值为______ ．

13.  如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为______．

14.  若，，则与的大小关系为______．

15.  已知方程的两根分别为，，则 ______ ．

16.  如图，矩形中，，，为的角平分线，为上一动点，为的中点，连接，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程：
；
；
；
．

18.  本小题分
如图，是的一条角平分线，请用尺规作图法在边、边上分别确定点、，使得四边形为菱形保留作图痕迹，不写作法

19.  本小题分
现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有，游戏规则是：在一枚质地均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字、、、、、明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有；否则磊磊获胜，电影票归磊磊所有．
明明掷一次骰子，使得向上一面的点数为的倍数的概率是______ ．
这个游戏公平吗？请用列表或树状图的方法说明理由．

20.  本小题分
已知、、是的三边，且满足，，试判断的形状，并说明理由．

21.  本小题分
如图，在矩形中，对角线，交于点，以，为邻边作菱形，连接．
证明：四边形是平行四边形；
若，，求四边形的面积．

22.  本小题分
某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同．
求每次下降的百分率；
若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？

23.  本小题分
如图，在中，、、分别是、上的点，且，．
当，时，求的长；
求证：．

24.  本小题分
已知关于的方程
若方程有两个相等的实数根，求的值，并求出此时方程的根；
是否存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于若存在，求出满足条件的的值；若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
如图，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接填空：线段与的数量关系为______ ；直线与所夹锐角的大小为______ ．
如图，将正方形绕点顺时针旋转，在旋转的过程中，中的结论是否仍然成立，请说明理由．
把图中的正方形都换成菱形，且，如图，直接写出： ______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.当时，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
个，
答：估计这个口袋中有个白球．
故选：．
用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

3.【答案】 

【解析】解：、，
，
平行四边形为矩形，故选项A不符合题意；
B、，
平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；
C、，
平行四边形为菱形，故选项C符合题意；
D、由，不能判定平行四边形为菱形，故选项D不符合题意；
故选：．
由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
此题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及矩形的判定．熟记菱形的判定是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意，
故选：．
根据比例线段的性质即可判定．
本题考查了比例线段的性质，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以不符合题意
B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以不符合题意；
C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以符合题意；
D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以不符合题意；
故选：．
相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解．
此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
的面积的面积，
矩形的面积，的面积，
矩形的面积的面积，
矩形的面积的面积，
，
，，
，
≌，
的面积的面积，
的面积阴影的面积，
矩形的面积
故选：．
由矩形的性质推出矩形的面积的面积，由≌，得到的面积的面积，得到的面积阴影的面积，即可求出矩形的面积．
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由条件推出矩形的面积的面积，证明≌．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据长与宽之间的关系，可得出长为步，宽为步，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：长与宽和为步，长比宽多步，
长为步，宽为步．
依题意得：．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：，
，，
四边形是菱形，
，
在中，，
．
故选：．
在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
作交于，根据平行线分线段成比例定理得到，得到答案．
【解答】解：作交于，
，是的中线，
，
，是中点，
，
，
：：，
故选C．

10.【答案】 

【解析】解：正方形，
，，
，
为边的中点，
，
由折叠的性质得，，，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
，
故选：．
由折叠的性质可得，，，，可证，由勾股定理可求，即可求解．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形的性质和勾股定理．

11.【答案】 

【解析】解：把代入，得，
解得，．
故答案为：．
根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

12.【答案】 

【解析】解：，
设，，，
．
故答案为：．
由，可设，，，然后将其代入，即可求得答案．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握比例变形与设，，的解题方法．

13.【答案】 

【解析】解：∽，
，
又，
．
故答案是：．
根据相似三角形的对应角相等即可得出．
本题考查的是相似三角形的性质，两三角形相似，对应的角相等．

14.【答案】 

【解析】解：

．
，
．
故答案为：．
利用求差法判定两式的大小，将与代入中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断．
本题考查了配方法的应用和非负数的性质．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

15.【答案】 

【解析】解：方程的两根分别为，，
，
，
，
；
故答案为：．
根据方程的两根分别为，，得出，，再把要求的式子变形为，最后代入计算即可．
此题考查了根与系数的关系，一元二次方程，当方程有解，即时，设方程的两根分别为，，则有，．

16.【答案】 

【解析】解：以点为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，

，，
点，点，点，
为的角平分线，
，
，
，
点，
直线解析式为，
设点，
为的中点，
点，
，
，
当时，的最小值为，
故答案为．
建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，可求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最小值．
本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识，建立平面直角坐标系是本题的关键．

17.【答案】解：，
，
，；
，
，
，
，
，；
，
，
，
或，
，；
，
，
，
，． 

【解析】利用因式分解式解出方程；
先把方程化为一般形式，再利用公式法解出方程；
先把方程化为一般形式，再利用因式分解法解出方程；
利用公式法解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．

18.【答案】解：如图，四边形即为菱形．
 

【解析】以点为圆心，为半径画圆，交以点为圆心，为半径的圆分别于点、，保留相交的一小段圆弧即可．连接，使与的交点为点，与的交点为点．连接、，四边形即为所求．
本题考查了作图能力、线段垂直平分线的画法、菱形的性质与判定等知识，解题的关键在于熟练掌握基本知识．

19.【答案】 

【解析】解：掷一次骰子有种等可能的结果，其中向上一面的点数为的倍数有种可能的结果，
向上一面的点数为的倍数，
故答案为：；
不公平，理由如下：
列表如下：

一共有种等可能的结果，其中两次朝上的点数之和是的倍数有种可能的结果，
明明获胜，
磊磊获胜，
明明获胜磊磊获胜，
这个游戏不公平．
根据概率公式直接求出即可；
用列举法或画树状图法分别求出明明获胜和磊磊获胜的概率，若概率相等则公平，否则不公平．
本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，以及游戏的公平性，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．

20.【答案】解：是直角三角形，理由是：
设，
 ，，，
 ，
，
 ，
 ，，，
，
是直角三角形． 

【解析】设，表示、、的长，代入中，计算的值，可得三边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．
本题考查比例线段，比例的性质，正确设未知数是解题关键．

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，即．
又四边形是矩形，
，
．
四边形是平行四边形．

解四边形是矩形，
．
四边形是平行四边形，
，，．
，．
四边形是平行四边形．
，，
．
四边形是菱形．
，
．
又，
．
，
面积为，
四边形面积． 

【解析】先证明，再证明即可；
根据，求出面积，利用四边形的面积等于面积的倍即可求解．
本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，矩形的性质．解题时，注意这三种图形间的区别与联系．

22.【答案】解：设每次下降的百分率为，根据题意，得：
，
解得：舍，，
答：每次下降的百分率为；

设每千克应涨价元，由题意，得
，
整理，得，
解得：，，
因为要尽快减少库存，所以符合题意．
答：该商场要保证每天盈利元，那么每千克应涨价元． 

【解析】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到隐含的相等关系，列出方程，解答即可．
设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，降至就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．

23.【答案】解：，
，
，
，
；
证明：，
，
，
，
，
． 

【解析】由，可得，根据，可得，即可求得答案；
由，可得，由，可得，即可证得结论．
此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应边成比例、平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解决此题的关键．

24.【答案】解：，，方程有两个相等的实数根，
，即，
．
原方程化为：，，
．

不存在正数使方程的两个实数根的平方和等于．
，
，
即：，
解得：，不合题意，舍去，
又时，，此时方程无实数根，
不存在正数使方程的两个实数根的平方和等于． 

【解析】方程有两相等的实数根，利用求出的值．化简原方程求得方程的根．
利用根与系数的关系，，，代入即可得到关于的方程，求出的值，再根据来判断所求的的值是否满足原方程．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
时，根与系数的关系为：．

25.【答案】    

【解析】解：延长交于，
四边形和四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
；
连接，
则，，三点共线，
直线与所夹锐角的大小为，
故答案为：；；

仍然成立，证明如下：
过作，且，连接，，并延长交、交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在中，，
，即
，
，
即直线与所夹锐角的度数为；
把绕着点逆时针旋转得到，
，，
四边形是菱形，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
．
故答案为：．
连接易证，，三点共线．易知，推出；
过作，且，连接，，并延长交、交于点，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论；
把绕着点逆时针旋转得到，根据菱形和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型．