江西省九校2026届高三上学期期中联考数学试卷（含答案）

这是一份江西省九校2026届高三上学期期中联考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=1+i，则2+zi=( )
A. 1+3iB. 1−3iC. 3+iD. 3−i
2.已知p：x>2，q：2x2−x−3>0，则p是q的 ( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知等比数列{an}满足a1=1，a4=8，若将an除以5所得余数记为bn，则b2025=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.已知集合M=xx=k4,k∈Z，N=xx=k6,k∈Z，M∩N={x|x=f(k),k∈Z}，则( )
A. f(k)=k12B. f(k)=k3C. f(k)=k2D. f(k)=k
5.已知q：∃x0∈R，使x02+2x0+mb>0且4a+3b=1，则12a−b+2a+2b的最小值为( )
A. 10B. 9C. 8D. 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知f(x)=asinωx+bcsωx的部分图象如图，则( )
A. ω=2B. a=1C. fπ3= 32D. fπ2=−1
10.已知函数f(x)=x2−2ax+a在区间(−∞,1)上有最小值，则函数g(x)=f(x)x在区间[1,+∞)上一定( )
A. 单调递减B. 单调递增C. 有最小值D. 有最大值
11.已知数列{an}前n项和为Sn，且an+2−an+1=2an，若a1=a2=1，则下列结论正确的是( )
A. a9+a10=512B. a10−2a9=−1C. S12=a11D. a12=S11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b满足a⋅(a+4b)=0，且|a|=2|b|=1，则向量a，b的夹角为 ．
13.已知α∈0,π2，csα+π4=13，则sin 2α= ．
14.已知曲线f(x)=ax−1−1(a>0且a≠1)，g(x)=x2−2x.当实数a变化时，函数f(x)，g(x)的图象公共点个数最多有 个，此时实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(csx,2sinx)，b=(2csx,csx)，函数f(x)=a⋅b．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)取得最大值时自变量x的集合，并求出最大值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=a|x|(a>0，且a≠1)的图象过点(−2,e2).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)过原点O作曲线y=f(x)的两条切线，切点分别为A，B．
①求切线OA，OB的方程；②求△OAB的面积．
17.(本小题15分)
已知数列{an}的首项a1=2，an+1=2−1an．
(1)求证：数列1an−1是等差数列；
(2)令bn=anan+1，求满足b1+b2+…+bn>n+23的n的最小值．
18.(本小题17分)
如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB=θ．
(1)求证：AD2+BC2−AB2−CD2=2AC·BDcsθ；
(2)已知AB=2，BC=CD=2 3，AD=2 7，θ=60°．
①求四边形ABCD的面积；
②若△ABD与△BCD面积相等，求证：AC⊥CD．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，当x=1时y=f(x)取得最值．
(1)求实数a的值；
(2)若函数F(x)=exx+mf(x)有三个极值点x1，x2，x3(x10)，
F′(x)=ex⋅x−exx2−m+mx=ex(x−1)x2+m(1−xx)=(x−1)(ex−mx)x2，
令F′(x)=0，得x=1或ex−mx=0(即m=exx)，
因为F(x)有三个极值点x1，x2，x3(x1e．
②由F′(x)=0的根可知：x2=1，且x1，x3是方程m=exx的两个根(0m⋅(e2+ln2−2)>m(2.7182+0.693−2)=0.052m>0.05m，得证．