天津市南开区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（学生版）

这是一份天津市南开区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（学生版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 硼、碳、氧、氟是化学元素周期表中第二周期的四种元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图，在⊙中，，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
4. 若，是方程的两根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
7. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 图象对称轴为直线B. 图象顶点的坐标为
C. 图象与轴有两个交点D. 图象与轴交点坐标为
8. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为步，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，点，，，点为线段的中点，以点为圆心，为半径作⊙，则下列结论中正确的是（ ）
A. 与⊙相切B. 点⊙上
C. 点在⊙上D. 点在⊙上
10. 如图1，为⊙直径，，如图2所示，按以下步骤作图：
①在直径上顺次截取线段，，使；
②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两条弧交于点，；
③作直线，与⊙相交于，两点，连接．
下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ）
A. B. C. D.
12. 抛物线部分图象如图所示，其顶点的坐标为，抛物线与轴的一个交点在和之间，有以下结论：
①；
②；
③；
④关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上）
13. 点关于原点对称的点的坐标为_____．
14. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____．
15. 如图，分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连，若，则的度数为___________ ．

16. 将抛物线向上平移2个单位长度，平移后的新抛物线与轴交点的坐标为________．
17. 如图，点是边长为4的正方形外一点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）的大小为________（度）；
（2）点是的中点，连接，则的最小值为_______．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．内接于圆，且顶点A，B均在格点上，顶点C是圆与网格线的交点．
（1）线段的长为________；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O以及上的一点P，使得，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）：_________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 计算：
（1）；（2）.
20. 关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有实数根；
（2）当方程有两个相等实数根时，求k的值及方程的根．
21. 抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A在点B的左侧，抛物线与y轴相交于点，其顶点为D．
（1）求二次函数解析式，并直接写出顶点D，点A和点B的坐标；
（2）请在给出的平面直角坐标系中，画出抛物线；
（3）根据图象直接回答下列问题：
①若抛物线上有两点和，则____（从符号，，，，中选择一个填空）；
②当时，则y的取值范围是________；
③连接，过顶点D作直线l，使得，直线l与抛物线相交于点M，则点M的坐标为______，线段的长为______．
22. 如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作于点，交于点，连接．
（1）如图1，连接，若，求的大小；
（2）如图2，延长交于点G，连接，若，的半径为5，求和的长．
23. 某水产品现在的售价为50元/千克，月销售量为500千克．市场调查反映：如果调整价格，这种水产品的售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，已知这种水产品的进价为40元/千克．若设这种水产品的售价为（单位：元/千克），月销售利润为（单位：元），且，月销售量为非负数．
（1）填空：
①用含的代数式表示每月的销售量是______（千克）；
②的取值范围是______；
（2）求与之间的函数关系式；
（3）填空：若，则的值为______；
（4）当售价定为多少元时会获得最大月销售利润？并求出月销售利润的最大值．
24. 在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰在轴上．
（1）如图1，当时，求的大小和点的坐标；
（2）如图2，当时，连接，求的长和点的坐标；
（3）若将点，，，组成的四边形的面积记为．当时，用含有的式子表示（直接写出结果即可）．
25. 已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，，点为抛物线与轴交点，点的坐标为．
（1）当，时．
①求抛物线的解析式及点的坐标；
②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的值最大时点的坐标；
（2）若点，点在抛物线对称轴上．
①当，且取得最小值为时，直接写出的值和抛物线解析式；
②当，且取得最小值为时，直接写出抛物线解析式．