河南省南阳市宛城区、卧龙区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

这是一份河南省南阳市宛城区、卧龙区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题，共8页。
1．本试卷满分120分，考试时间100分钟．
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置．
3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效．
4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回．
一、选择题(每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．已知方程(x－1)²＝□没有解，你认为□代表的数字可能是
A．9B．1C．0D．－4
2．最简二次根式2b+1与7-b是同类二次根式，则b＝
A．2B．3C．0D．4
3．(课本P55T5变式)若8a＝5b，则＝
A．B．C．D．
4．下列计算中，正确的是
A．2+5＝7B．53－3＝5
C．18÷3＝15D．12×3＝6
5．已知线段a，b，c，求作线段x，使x=acb，下列作法中正确的是
A．B．
C． D．
6．(课本P46T19变式)若关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0有实数根，则k的取值范围是
A．k＜1B．k≤1C．k＜1且k≠0D．k≤1且k≠0
7．医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，为了纪念医圣张仲景，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像。数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度AB(顶端A到水平地面BE的距离)，在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线BC后退到点E处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端A．已知BC＝6米，EC＝ 1米，小明的眼睛距地面的高度DE＝1.65米，则雕像的高度AB＝( )米．
A．9.9 B．10.5 C．11.2 D．12.3
8．若点P关于x轴的对称点为P1(2a＋b，－a＋1)，关于y轴的对称点为P2(4－b，b＋2)，则P点的坐标为
A．(9，3)B．(－9，3)C．(9，－3)D．(－9，－3)
9．我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为
A．(x＋3)＋10x＝x2B．10(x－3)＋x＝x2
C．10(x－3)－x＝x2D．10＋(x－3)＝x2
10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝3，BD＝4，点E，F分别是边AB，CD的中点，则EF的长度是
A．B．3
C．D．2
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．计算：sin45°•cs60°－tan45°＝ ．
13．已知a＋b＝8，ab＝1，则的值为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，CB＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1相似于矩形ABCD；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2相似于矩形ACC1B1；…按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作S1，矩形ACC1B1的面积记S2，矩形AC1C2B2的面积记作S3，…，则S2025的值为 ．
15．把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数y＝在第一象限内图象上的任意点，AB⊥x轴于点B，连接BC．若OB＝m＋2，AB＝m，在x轴上取一点P，使的值为“黄金比”，则点P的坐标为 ．
三、解答题(共75分)
16．(10分)计算：(1)；(2)3x2＋7x＝6.
17．(9分)如图，△ABC的顶点都在网格点上，点A的坐标为(－1，3)．
(1)以点O为位似中心，把△ABC按2∶1放大，在y轴的左侧，画出放大后的△DEF；
(2)点A的对应点D的坐标是 ；
(3)S△ABO∶S四边形ABED＝ ．
18．(9分)阅读材料：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．借助该材料完成下列各题：
(1)应用：一元二次方程2x2＋4x－1＝0的两个实数根为x1、x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ；
(2)提升：关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0，若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
19．(9分)白河，古称淯水、白水，是南阳母亲河，小宛想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在这一侧的河岸边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，连接DE，使得DE∥BC．经测量，BC＝80米，DE＝200米，且点E到河岸BC的距离为1200米．过点A作AF⊥BC于点F(AF即为河流的宽度)，请你根据提供的数据计算河流的宽度．
20．(9分)在城市规划中，有一片空地规划建一个公园，如图：C处是公园的管理处，A处是一个观景台，B处是一个休闲广场，且∠ACB刚好是一个直角，D是AB步道的中点，连接CD，管理处计划从B处修建一条垂直于CD延长线的便民小路BE(E为垂足)．已知观景台A到管理处C的距离AC＝60米，csA＝．
(1) 求步道CD的长度；
(2) 求cs∠DBE的值(即便民小路与BD步道夹角的余弦值)．
21．(10分)(P42练习2变式)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．换季清仓，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由；
(3)该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？
22．(9分)图解方程就是把方程的解和几何图形建立联系，通过几何直观反映代数抽象．历史上有多种关于一元二次方程的几何解法，例如：欧几里德解法，花拉子米解法，卡莱尔解法，斯陶特解法，赵爽解法等．让我们一起来了解一下吧．
欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2＋ax＝b2的方法，类似地，我们可以用折纸的方法求方程x2＋2x－4＝0的一个正根．如图，一张边长为2的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠，使点D落在线段AF上(即H处)，折痕为AG，点G在边CD上，连接，．
(1)用公式法求方程x2＋2x－4＝0的解；
(2)请利用等面积法借助△AGF分别求出线段DG，CG的长度，并说明哪条线段的长度值恰好是方程x2＋2x－4＝0的一个正根．
23．(10分)【问题背景】如图，等腰△ABC中，AB＝AC，，点D为AC的中点，过点D作DE∥AB，交BC于E，将△CDE绕点C顺时针旋转α，连结BE，AD，如图①．

【基本感受】
(1)当k＝1时，判断AD与BE的数量关系，并说明理由；
【深入研究】
(2)当时，如图②，AD与BE满足怎样的数量关系？请给出证明；
(3)在(2)的条件下，若AB＝6，在旋转过程中，当A、D、E三点共线时，直接写出△ABE的面积 ．