安徽省铜陵市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省铜陵市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的终边在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算.
【详解】因为，易知的终边在第二象限，
故角的终边在第二象限.
故选：B.
2. 下列关系中正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案.
【详解】，，，，①②③正确，④错误.
故选：C
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数单调性比较出大小，求出答案.
【详解】在上单调递增，又，
故.
故选：A
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】由可得，故充分性满足；
由不一定得到，比如，故必要性不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
5. 某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：
则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（ ）
A. 1.2B. 1.21C. 1.27D. 1.32
【答案】C
【解析】
【分析】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案.
【详解】，，
由零点存在性定理得，区间内存在零点，
由于，，
故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确.
故选：C
6. 已知是函数图象上两点，且该函数是上的减函数，则的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件得到，由单调性解不等式，求出答案.
【详解】，
又是函数图象上两点，故，
该函数是上的减函数，故，
解得，即不等式解集为，
故选：B.
7. 定义在上的奇函数，其图象关于对称，且时，，则（ ）
A. 0B. 3C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数对称性得到，，赋值得到.
【详解】关于对称，故，
中，令得，
因为为R上的奇函数，所以，
故，
又时，，故，
故.
故选：D
8. 高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得到，利用对数运算法则计算出，得到答案.
详解】，
则
，
所以，
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，下列选项能表示从集合A到集合B函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确.
【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应，
则满足从集合A到集合B的函数关系，
其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误；
C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误.
故选：AD
10. 已知幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象都经过点
B. 函数的图象不经过第四象限
C. 若，则函数在上单调递增
D. 若，则对任意实数，有
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，举出反例；B选项，时，，B正确；C选项，根据幂函数性质得到C正确；D选项，作差法比较出大小.
【详解】A选项，当时，，不经过原点，A错误；
B选项，当时，，故图象不经过第四象限，B正确；
C选项，若，则函数上单调递增，C正确；
D选项，，，
，
故
，当且仅当时，等号成立，
故，D正确.
故选：BCD
11. 已知函数的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数在上单调递增
C. 将的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象
D. 当时，函数的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，根据函数性质得到，最小正周期，求出，，得到解析式，，A正确；B选项，计算出，结合在上单调递增，得到B正确；C选项，求出平移后的解析式，由诱导公式得到，C错误；D选项，计算出，故，D正确.
【详解】A选项，由题意得，设的最小正周期为，则，
故，又，即，解得，
所以，
的图象关于点对称，故，
解得，
又，故，，
，故的图象关于直线，A正确；
B选项，时，，
由于在上单调递增，故在上单调递增，B正确；
C选项，将的图象向左平移个单位长度可以得到，
其中，C错误；
D选项，当时，，，
，函数的最小值为，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】利用指数和对数运算法则计算出答案.
【详解】.
故答案为：
13. 现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为；每月库存货物费万元与x的函数关系近似为．这家公司应该把仓库建在距离车站_________千米处，才能使两项费用之和最少．
【答案】4
【解析】
【分析】先根据题意找到两项费用与的关系，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以总费用为
当且仅当时等号成立，解得或（舍）
故答案为：4.
14. 已知函数，关于x的方程有4个不等实根，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先得到或，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出答案.
【详解】，即，
故或，
画出函数图象，如图所示．

所以方程或有4个不等根，
所以或或，
解得．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）已知角的终边经过点，求；
（2）已知，求．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数定义求出正弦和余弦值，从而得到答案；
（2）齐次化变形求出，从而得到，代入求值，即得答案.
【详解】（1）由三角函数定义可知
，
所以；
（2），故，
则.
16. 已知集合．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据得到不等式，求出答案；
（2）解不等式，得到，根据交集结果得到，从而得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
由题可得：，即，
解得；
【小问2详解】
由真数大于0得，解得，
，，解得，
故，
又，则，
则，解得.
17. 已知函数的最小正周期为．
（1）求函数的单调区间；
（2）解不等式：．
【答案】（1）单减区间为，无增区间
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，得到函数解析式，令，求出递减区间，无递增区间；
（2）得到，结合图象，得到不等式解集.
【小问1详解】
，故，解得，
故，其中的递增区间为的递减区间，
令，解得，
故的递减区间为，无递增区间；
【小问2详解】
，，故，
，，解得.
18. 已知函数．
（1）若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）参变分离得到，由基本不等式得到，从而得到不等式，求出；
（2）换元，得到有正根，分有两个正根，有一个正根一个负根和有一个正根一个零根三种情况，结合根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
，
又，当且仅当，即时，等号成立，
则，解得；
小问2详解】
由题，有实根，
令，则有正根，
①有两个正根，；
②有一个正根一个负根，；
③有一个正根一个零根，；
综上，.
19. 对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”．
（1）若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”；
（2）已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）对任意的，有．
【答案】（1）答案见解析
（2）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“完美子集类”的定义，写出集合U的所有“完美子集类”即可；
（2）（i）由A是U的“完美子集类”，可知对于任意的，从而，即可证得；（ii）由A是U的“完美子集类”及“完美子集类”得定义可得，则，通过证明，即可得证.
【小问1详解】
集合U的“完美子集类”有:
,,
,,.
【小问2详解】
（i）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的，
从而，
所以.
（ii）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的，，
从而
下证：
一方面，且或，
即；
另一方面，
或且，即
故.
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.