安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题C卷（解析版）-A4

这是一份安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题C卷（解析版）-A4，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题））两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 20B. 35C. 120D. 210
【答案】B
【解析】
【分析】根据组合数公式计算即可.
【详解】.
故选：B
2. 已知函数，则（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】对函数求导后直接代入计算即可.
【详解】由题意得，
所以.
故选：D.
3. 已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】由，得，则，则，当且仅当时取等号．
故选：B．
4. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ）
A. 48B. 60C. 72D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】若四位数为偶数，则个位数为2或4，其余位数不重复即可，结合组合数运算求解即可.
【详解】若四位数为偶数，则个位数为2或4，其余位数不重复即可，
所以偶数的个数为.
故选：A.
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而排除A、C，再根据时函数值的特征排除B.
【详解】由题意得，函数的定义域为，，
所以当或时，当或时，
所以在和上单调递增，在和上单调递减，故排除A、C；
当时，，所以，故排除B.
故选：D.
6. 已知离散型随机变量的分布列为下表，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的值，利用方差的性质可求得的值.
【详解】由题意得，，
则，
因为，所以.
故选：B.
7. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案.
【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，
根据题意可得，
，
所以
.
故选：D.
8. 已知函数，若对任意恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过参变分离得到，再求最值即可.
详解】由题意得，恒成立.
令，则，
∴当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 展开式中所有项的二项式系数和为
B.
C. 展开式中系数最大的项为第1350项
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用二项式系数的性质，二项式展开式公式，结合赋值法求奇偶项系数和，即能判断各选项.
【详解】对于A，由展开式所有项的二项式系数和为，故A正确；
对于B，由，
则，故B正确；
对于C，由于第1350项系数为，显然负值不可能是最大系数，故C错误；
对于D，令，则，
令，
上两式作差可得，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知m，n为正整数，且，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据阶乘和排列数运算公式，进行推理和判断选项中的运算是否正确即可.
【详解】，故A错误；，，则，故B错误；，故C正确；，故D正确.
故选：CD.
11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的极大值为
B. 有且仅有2个零点
C. 点是曲线的对称中心
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，求出导函数，由极大值的定义即可判断；对于B，求出极大值和极小值，分析函数在无穷远处的性态，由此可判断零点个数；对于C，由题设条件求出二阶导数的零点即可判断正误；对于D，由C可知是函数的对称中心，故，利用倒序相加法即可算出答案判断正误.
【详解】由题意得，，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极大值，极大值为，故A正确；
当时，取得极小值，极小值为，
且当时，当时，，
极大值f−2=1376>0，极小值，所以函数有3个零点，故B错误；
由，得，令，得，
又，
所以点是曲线的对称中心，故C错误；
因为是函数的对称中心，所以，
令，
得
所以，
所以，即，故D正确.
故选：AD.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量X的分布规律为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据概率之和为1计算即可.
【详解】由题意得，，
解得，所以.
故答案为：
13. 已知两个随机事件，若，，，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据全概率公式有，由乘法公式有求出，最后利用条件概率公式即可求解.
【详解】由题意，
所以，
所以.
故答案为：.
14. 数列满足，其中为函数零点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由为函数的零点，推理得到，利用此式和题设条件，将分别用表示，化简消元即得.
【详解】由，得，，
单调递增，，由，得，
由，得，
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
【答案】（1）60；（2）21；（3）91；（4）120
【解析】
【分析】（1）根据要求直接选取即可；
（2）在剩下的7人中任选2人即可；
（3）包含两种情况，第一种甲和乙都在内，第二种情况，甲乙选1人；
（4）从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况.
【详解】（1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法；
（2）如果男生中甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有种选法；
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有种，第二种情况，甲乙选1人，有种选法，
则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法；
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法.
16. 某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖6名同学，其中高一年级2名，高二年级3名，高三年级1名，现从中任选3人作为代表发言.
（1）求选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率；
（2）设表示选出的3人中高二年级的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据古典概型结合组合数计算求解；
（2）应用超几何分布列出概率，再写出分布列，计算数学期望即可.
【小问1详解】
记“选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数”为事件.
若选出的3人中有高一年级1人，有种取法；
若选出的3人中有高一年级2人，有种取法；
所以.
【小问2详解】
由题意得，的所有可能取值为0，1，2，3.
，
.
所以的分布列为：
所以.
17. 已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，函数有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导并求得导函数的零点，比较两根大小对参数a的取值进行分类讨论，即可得出结论；
（2）得出函数在上的单调性求出其最小值，再由零点个数求得a的取值范围.
【小问1详解】
函数定义域为，
易知，
令，解得.
当时，.
的单调递增区间为和，的单调递减区间为；
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，，
的单调递增区间为和，的单调递减区间为
【小问2详解】
.
当时，，则在上单调递增，
，即，函数在上没有零点.
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
因此要使得在上有两个零点，只需，
，解得.
综上，a的取值范围为.
18. 某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的A，B，C三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序），在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分，2分，3分，总分不低于4分就可以获得奖品.已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为，，，且在这三处的投篮相互独立.
（1）求甲获得奖品的概率.
（2）在甲获得奖品的情况下，求甲三次投篮都命中的概率.
（3）甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投n（，）个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外在C处投个球.试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求甲获得奖品概率．先算三次都命中概率，每次投篮相互独立，用乘法得．再算只命中两次且总分不低于 4 分概率，有两种情况，是互斥事件，分别算概率再相加得．最后．
（2）求在甲获得奖品情况下三次都命中概率．记事件、，因发生必发生，，得、，用公式计算．
（3）求甲投篮次数期望最大时值．先根据分布列求期望表达式，构造函数，算，通过判断单调性，得出时期望最大．
【小问1详解】
甲三次投篮都命中的概率，
甲三次投篮只命中两次且总分不低于4分的概率，
所以甲获得奖品的概率.
【小问2详解】
记“甲获得奖品”为事件A，“甲三次投篮都命中”为事件B.
在甲获得奖品的情况下，甲三次投篮都命中的概率为.
【小问3详解】
设甲的投篮次数为X，则X的分布列为
则.
令（），则，
，当时，，当时，
所以，
故当时，甲投篮次数的期望最大.
19. 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”.
（1）判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由；
（2）若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式.
【答案】（1）是，理由见解析
（2）不是，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“H(1)数列”的定义，判断所给数字是否满足后一项等于前面所有项乘积加 1 的规律.
（2）先根据求出、的值，再看是否满足“数列”的条件.
（3）先根据和，当时求出.再继续利用这两个等式求出、，然后代入，通过解方程求出，进而求出公比，最后得到的表达式.
【小问1详解】
由题意得，，
则1，2，3，7，43是“数列”.
【小问2详解】
由，得，
由，得，而，∴不是“数列”.
【小问3详解】
设数列的公比为.
由，得，
由，得，
∴，解得
由，得，
由，得，
∴，∴，∴.
由，得，
则，
0
1
2
3
X
n
P