安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题B卷（原卷版+解析版）

这是一份安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题B卷（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. 20B. 35C. 120D. 210
2. 已知函数，则（ ）
A. B. 0C. D. 1
3. 已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
4. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ）
A. 48B. 60C. 72D. 120
5. 函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 的展开式中的系数为（ ）
A. 40B. 60C. 80D. 100
7. 若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若对任意恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知为正整数，且，下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知点P为曲线（a，b，n为常数且）上任一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线C是中心对称图形
B. 若，则
C. 若，则曲线C与直线无交点
D. 若，则曲线C与直线有且只有一个交点
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数在处取得极值0，则______．
13. 如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．（填数字）
14. 数列满足，其中为函数的零点，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加一项创新大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示）
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法?
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
16. 已知展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
17. 已知函数.
（1）当时，讨论函数单调性；
（2）当时，函数有两个零点，求a取值范围.
18. 如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点．线段FT的垂直平分线l和半径ET相交于点N，当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A，B，已知动点M在直线上运动且不在x轴上时，直线AM，BM分别交曲线C于另外的点P，Q．求四边形面积的最大值．
19. 在数列中，若存在常数t，使得恒成立，则称数列为“数列”
（1）判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由；
（2）若，试判断数列否为“数列，并说明理由；
（3）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式.
A10联盟2023级高二4月期中考
数学试题B
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. 20B. 35C. 120D. 210
【答案】B
【解析】
【分析】根据组合数公式计算即可.
【详解】.
故选：B
2. 已知函数，则（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】对函数求导后直接代入计算即可.
【详解】由题意得，
所以.
故选：D.
3. 已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】由，得，则，则，当且仅当时取等号．
故选：B．
4. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ）
A. 48B. 60C. 72D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】若四位数为偶数，则个位数为2或4，其余位数不重复即可，结合组合数运算求解即可.
【详解】若四位数为偶数，则个位数为2或4，其余位数不重复即可，
所以偶数的个数为.
故选：A.
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而排除A、C，再根据时函数值的特征排除B.
【详解】由题意得，函数的定义域为，，
所以当或时，当或时，
所以在和上单调递增，在和上单调递减，故排除A、C；
当时，，所以，故排除B.
故选：D.
6. 的展开式中的系数为（ ）
A 40B. 60C. 80D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【详解】因为，
其中展开式的通项为，
所以的展开式中含的项为
即展开式中的系数为．
故选：B．
7. 若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设方程的两个根为、，方程的两个根为、，不妨设，，且，则必有，求出这四个数的值，结合韦达定理求出、的值，即可得解.
【详解】由，得或．
设方程的两个根为、，方程的两个根为、，
由韦达定理可得，，
不妨设，，且，则必有，
所以，，，故数列、、、的公差为，
所以，，
由韦达定理可得，，因此.
故选：C.
8. 已知函数，若对任意恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过参变分离得到，再求最值即可.
【详解】由题意得，恒成立.
令，则，
∴当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知为正整数，且，下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用组合数公式计算判断A；利用排列数公式推理判断BCD.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C， ，
，则，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
10. 已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据条件对任意的都有，构造函数，利用导数可得在上单调递增，结合各个选项化简即可得出结果．
【详解】设，则，
因为对任意的都有，则恒成立，所以在上单调递增；
因为，所以，则，所以A错误；
因为，所以，则，所以B正确；
因为，所以，则，所以C正确；
因为，所以，则，所以D错误；
故选：BC．
11. 已知点P为曲线（a，b，n为常数且）上任一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线C是中心对称图形
B. 若，则
C. 若，则曲线C与直线无交点
D. 若，则曲线C与直线有且只有一个交点
【答案】AD
【解析】
【分析】对A，直接用替换即可判断；对B，根据不等式性质即可判断；对C，代入直线上一点即可判断；对D，联立直线与曲线方程即可判断.
【详解】A：用代替方程中，方程不变，故A正确；
B：由，得，所以，故B错误；
C：由，得为上一点，由，得Q在曲线内，所以直线与曲线C有两个交点，故C错误；
D：由，得，解方程组得，
所以与曲线C有且只有一个交点，故D正确.
故选：AD.
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数在处取得极值0，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据函数在处取得极值0，可得，，进而求解即可.
【详解】由，得，
因为函数在处取得极值0，
所以，解得或，
当时，，则，
此时函数在上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，，则，
令，得；令，得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则时，函数取得极小值.
综上所述，.
故答案为：2.
13. 如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．（填数字）
【答案】72
【解析】
【分析】根据图形，首先确定涂有4种涂法，则涂有3种涂法，进而由与、相邻，只与相邻，可以确定、的涂色的情况，最后由乘法原理，计算可得答案．
【详解】根据题意，首先涂有种涂法，则涂有种涂法，
与、相邻，则有种涂法，只与相邻，则有种涂法，
所以共有种涂法，
故答案为：72．
14. 数列满足，其中为函数的零点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由为函数的零点，推理得到，利用此式和题设条件，将分别用表示，化简消元即得.
【详解】由，得，，
单调递增，，由，得，
由，得，
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加一项创新大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示）
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法?
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据要求直接选取即可；
（2）在剩下的7人中任选2人即可；
（3）利用间接法可求得总的方法数；
（4）从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况.
【小问1详解】
如果4人中男生女生各选2人，有种选法．
【小问2详解】
如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，
则在剩下的7人中任选2人，有种选法．
【小问3详解】
如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，
共有种选法．
小问4详解】
如果4人中必须既有男生又有女生，
先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，
故有种选法．
16. 已知展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由第2项与第3项的二项式系数之比是，可列出关于的方程再求解；
（2）结合展开式的通项公式，得出指数的表达式，令其为零即可求解；
（3）由结合数列的最值列出的不等式组，解得的范围即可.
【小问1详解】
依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，
所以，即，则，或（舍去）；
【小问2详解】
展开式的通项为（，），
令，解得，所以，所以常数项为第5项60.
【小问3详解】
系数的绝对值为
，则
所以，即，，所以，
因此，系数绝对值最大的项是.
17. 已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，函数有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导并求得导函数的零点，比较两根大小对参数a的取值进行分类讨论，即可得出结论；
（2）得出函数在上的单调性求出其最小值，再由零点个数求得a的取值范围.
【小问1详解】
函数的定义域为，
易知，
令，解得.
当时，.
的单调递增区间为和，的单调递减区间为；
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，，
的单调递增区间为和，的单调递减区间为
【小问2详解】
.
当时，，则在上单调递增，
，即，函数在上没有零点.
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
因此要使得在上有两个零点，只需，
，解得.
综上，a的取值范围为.
18. 如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点．线段FT的垂直平分线l和半径ET相交于点N，当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A，B，已知动点M在直线上运动且不在x轴上时，直线AM，BM分别交曲线C于另外的点P，Q．求四边形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）由椭圆的定义可得点的轨迹是以，为焦点的椭圆，得到、，从而求出.
（2）设，，，，表示出、的方程，联立直线与椭圆方程，即可求出、点坐标，则，再利用换元法及对勾函数的性质计算可得.
【小问1详解】
由题意知，，
由椭圆的定义得，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设椭圆方程为，
则长轴长，焦距，
所以，因此曲线的方程为．
【小问2详解】
由（1）知，，，
由椭圆对称性，不妨设，，，，
直线的斜率，直线的斜率，
直线的方程为，
直线的方程为．
由，消去y得，
由韦达定理得，即，所以．
由，消去得，
由韦达定理得，即，所以．
则四边形面积为
．
设，，则，当且仅当时取等号，
由对勾函数性质知在上单调递增，
则，，
因此当时，四边形的面积最大，最大值为6，此时点的坐标为，
由对称性知，当点的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6．
19. 在数列中，若存在常数t，使得恒成立，则称数列为“数列”
（1）判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由；
（2）若，试判断数列是否为“数列，并说明理由；
（3）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式.
【答案】（1）是，理由见解析
（2）不是，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据数列定义直接判断即可；
（2）根据递推公式求出数列前三项，根据前两项得到，发现，即可得出数列不是 “数列；
（3）设数列的公比为，根据题意求出，，结合，求出，然后求解即可.
【小问1详解】
数列1，2，3，7，43是“数列”，理由如下：
由题意得，，
则1，2，3，7，43是“数列”.
【小问2详解】
数列不是“数列，理由如下：
由，得，
由，得，
又，所以不是“数列.
【小问3详解】
设数列的公比为.
由，得，
由，得，
，解得.
由，得，
中，令得，
.
由中，令得
，
则，
解得，
，，