2025-2026学年江苏省无锡市梁溪区江南中学九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省无锡市梁溪区江南中学九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. x2+y=0B. C. 2x=6D. x2-2=0
2.已知⊙O的半径为4cm,点C到圆心O的距离为6cm,则（ ）
A. 点C在圆外B. 点C在圆内C. 点C在圆上D. 点C无法确定
3.若m是一元二次方程x2+2x-2025=0的一个根，则m2+2m的值是（ ）
A. 2024B. -2025C. 2025D. 4050
4.已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A. 1：3B. 1：6C. 1：9D. 9：1
5.如图，在平行四边形ABCD中，，DE交AC于点F，那么的值是（ ）
A.
B.
C. 1
D.
6.近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长.2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元.设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x,根据题意可列方程为（ ）
A. 50（1+x）=72B. 50（1+x）2=72C. 50（1+2x）=72D. 50（1+x2）=72
7.如图，用直角曲尺检查半圆形的工件是否合格，运用到的道理是（ ）
A. 同弧所对的圆周角相等B. 直径是圆中最大的弦
C. 90°圆周角所对的弦是直径D. 圆上各点到圆心的距离相等
8.如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为64°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 58°
B. 60°
C. 62°
D. 64°
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，平面上有一点P，AP=1，连接AP，BP，取BP的中点G.连接CG，在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是（ ）
A. 3B. 4C. D. 2
10.如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE=FC，过F作FH⊥BE，交AB于G，过H作HM⊥AB于M，若AB=9，AE=3，则下列结论中：①∠BGF=∠CFB；②DH=BH+FH；③；.其中结论正确的是（ ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若，则= .
12.将一元二次方程4x2-1=5x化成一般形式后，常数项为-1，则一次项系数是 .
13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=80°，则∠C的度数为 .
14.已知一元二次方程x2-6x-2=0的两根分别为m,n,则m+n的值是 .
15.三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2-10x+24=0的根，则该三角形的周长为 .
16.如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径.若∠ABC=30°，AC=5，则BC的长为 .
17.我们把满足下面条件的△ABC称为“黄金三角形”：①△ABC是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点P，使得P与P所在边的对角顶点连线把△ABC分成两个不全等的等腰三角形．
在△ABC中，AB=AC，∠A为钝角．若△ABC为“黄金三角形”，则∠A的度数为______．
18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CB=5，CA=10，点D，E分别在AC，AB边上，AE=AD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF.若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD= .
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
解方程：
（1）（x+1）2-25=0；
（2）x（x-3）=3（x-3）；
（3）x2-4x-5=0（配方法）；
（4）2x2-3x-1=0.
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根.
21.(本小题8分)
如图，在△ACD中，DA=DC，B是AC边上一点，以AB为直径的圆O经过点D，F是直径AB上一点（不与点A，B重合），连接DF并延长交圆O于点E，连接EA，EB.
（1）求证：∠C=∠DEB；
（2）若AE=BE，∠C=30°，则∠DFB=______°.
22.(本小题8分)
如图，△ABC在带有网格的平面直角坐标系中的位置.
（1）以点O为位似中心，在y轴右侧作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使得放大后的△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1；
（2）若点P在△ABC内部，且坐标为（a,b），写出按（1）变化后的对应点P1的坐标______；
（3）直接写出△ABC的外接圆圆心坐标______.
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D=∠CAE.
（1）求证：△ABD∽△ECA；
​（2）若AC=6，CE=4，求BD的长度.
24.(本小题10分)
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”.例如：方程x2-4x+3=0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”.
（1）方程x2-3x+2=0______（填“是”或“否”）“三倍根方程”；
（2）若关于x的方程x2+bx+c=0是“三倍根方程”，其中有一个根是1，试求b与c的值；
（3）若x2-（m+n）x+mn=0是关于x的“三倍根方程”，则代数式的值为______.
25.(本小题10分)
如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于F，连接BC，以BC，CD为邻边作平行四边形BCDE，连接CE，AB与CE的交点为G，BF=6，CD=4.
（1）求⊙O的半径；
（2）求CE的长.
26.(本小题10分)
某公司的化工产品成本为30元/千克.销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售：一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元.考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售.一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示.
（1）当一次性销售800千克时，利润为多少元？
（2）当一次性销售多少千克时利润为22100元？
27.(本小题10分)
如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB=8，，CD=12，DA=6.∠A=90°，点M在AD边上，且DM=2.将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA′，∠A′MA的平分线MP所在直线交折线AB-BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P.
（1）连接BD.
①求∠CBD的度数；
②求出当n=180时，x的值；
（2）当0＜x≤8时，点A′到直线AB的距离为______.（用含x的式子表示）
28.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE=90°，连接BE，.
（1）如图1，当m=1时，BE与AD之间的位置关系是______，数量关系是______；
（2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想；
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3.已知AC=6，设AD=x,四边形CDFE的面积为S.
①直接写出S关于x的表达式______；（不用写x的取值范围）
②当BF=2时，AD的长度为______.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】-5
13.【答案】100°
14.【答案】6
15.【答案】9
16.【答案】5
17.【答案】108°
18.【答案】
19.【答案】x1=4，x2=-6；
x1=x2=3；
x1=5，x2=-1；

20.【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=（-2）2-4×1×（m-1）＞0，
解得m＜2；
（2）∵m为正整数，由（1）知m＜2，
∴m=1，
∴原方程可化为x2-2x=0，即x（x-2）=0，
∴x=0或x-2=0，
∴x1=0，x2=2．
21.【答案】∵DA=DC，
∴∠DAC=∠C，
又∵∠DAC=∠DEB，
∴∠C=∠DEB；
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22.【答案】△ABC的位似图形△A1B1C1，如图即为所求；

（2a，2b）；
（4，4）
23.【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠D=∠CAE．
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：∵AB=AC，AC=6，
∴AB=AC=6，
∵△ABD∽△ECA，
∴，
∴，
∴BD=9．
24.【答案】否；
b=-4，c=3或，；

25.【答案】5；
6．
26.【答案】16000；
当一次性销售为1300或1700或1768千克时利润为22100元
27.【答案】①∠CBD=90°；
②x=13；

28.【答案】AD⊥BE，AD=BE；
BE=mAD，AD⊥BE；
证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵，
∴△ADC∽△BEC，
∴，∠CBE=∠A，
∴BE=mAD，
又∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AD⊥BE；
①；
②或