2025~2026学年上海市七年级上数学期中试卷【附解析】

这是一份2025~2026学年上海市七年级上数学期中试卷【附解析】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A.2x+4=2(x+2)B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3−x=x(x+1)(x−1)

2.已知xa=3，xb=2，那么x2a+3b的值是（ ）
A.48B.24C.72D.36

3.在整式4y4z2−4x5+6y3−8中，最高次项的系数和常数项分别为（ ）
A.4和−8B.−4和−8C.1和−8D.1和8

4.已知分式x+4x2的值是非负数，那么x的取值范围是（ ）
A.x>−4且x≠0B.x≥−4C.x≠0D.x≥−4且x≠0

5.若等式(x−3)(3x+5)=mx2+nx−p对任意x恒成立，m,n,p为常数，则m+n+p的值为（ ）
A.−16B.22C.−8D.14

6.已知(x−2025)2−16=36−(2027−x)2，则(x−2026)2的值是（ ）
A.24B.25C.26D.27
二、填空题

7.计算：−135÷−132=________________．

8.整式A与−3x+3y的和是−15x+2y，那么A=_________________．

9.因式分解：a2−11a+24=________________．

10.计算：1x+1+x−1x2−1=________________．

11.若(−2−3x)0=1，则x所满足的条件是_________________．

12.若单项式−2a1−xb3y与a3b5是同类项，则x−3y=_________________．

13.若(x−2y)2+M=2(x−y)2，那么M=_________________．

14.已知mn2=−2，则mn⋅−n−mn3+m2n5=_________________．

15.若关于x的整式9x2+kx+1916是某个整式的平方，则常数k的值为_________________

16.计算：−123+11×12×13=_________________

17.已知(a+b)2=10，(a−b)2=2．则(a+2)(b−2)(b+2)(a−2)=_________________．

18.若整数a不可以表示成两个不同的整数的平方之差，我们称a这样的数为“孤立数”，例如：2不可以表示为两个不同整数的平方之差，则2为“孤立数”；16可以表示为16=52−32，则16不为“孤立数”．那么绝对值小于100的整数中共有_________________个“孤立数”
三、解答题

19.计算：4a+3−2a+a2−2a2+1

20.计算：(2x−1)2+(2x+3)(3−2x)

21.计算：a4−1a+a2−a÷1a−2

22.因式分解：3xy2+6xy−33x

23.因式分解：a2−6ab+9b2−a+3b

24.先化简，再求值：A=m+2m⋅m3−3m2m2+5m+6÷9m−m3m2+2m−3，其中m=5．

25.小吴做一道题：已知两个整式A、B，求2A+B的值．他误将2A+B看成A+2B，求得结果为9a2−2a−1，已知B=a2+3a+3，求正确的答案．

26.为提高水资源的利用率，某小区安装了循环用水装置，经测算，原来m天用水n吨，安装了循环用水装置之后这些水恰可以多用m3天，则该小区现在每天平均用水量比平时少多少吨？当m=12，n=540时，每天用水量比原来少多少吨？

27.观察以下等式：
第1个等式：(2×1+1)2=(2×2+1)2−(2×2)2，
第2个等式：(2×2+1)2=(3×4+1)2−(3×4)2，
第3个等式：(2×3+1)2=(4×6+1)2−(4×6)2，
第4个等式：(2×4+1)2=(5×8+1)2−(5×8)2，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第5个等式：________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．

28.阅读材料：如果将(a+b)n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
(a+b)0=1，它只有一项，系数为1；
(a+b)1=a+b，它有两项，系数分别为1，1；
(a+b)2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
将上述每个式子的各项系数排成该表．
观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定(a+b)n的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角．
（1）应用规律：①直接写出(a+b)4的展开式，(a+b)4=___________；
②先化简，再求值：(y−1)6+(y+1)6，其中y2=2．
（2）杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得a1=1，a2=1，a3=2，a4=3，a5=5，a6=8，…该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即an+2=an+1+an
若Tn=a1+a2+a3+⋯+an，且T2025=k，则a2027的值为___________（用k表示）．
参考答案与试题解析
2025-2026学年上海市七年级上学期数学期中试题
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
判断是否是因式分解
【解析】
本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可．
【解答】
解：A、 2x+4=2(x+2)，是因式分解，但与D选项相比，D选项的因式分解更为彻底，是最佳选项，故A不符合题意；
B、右边结果不是积的形式，不符合题意；
C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意；
D、x3−x=x(x+1)(x−1)属于因式分解，符合题意．
故选：D．
2.
【答案】
C
【考点】
幂的乘方
同底数幂乘法的逆用
【解析】
本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方计算.
先根据幂的乘方计算法则求出x2a=9，x3b=8，再由同底数幂乘法的逆运算法则得到x2a+3b=x2a⋅x3b，据此代值计算即可．
【解答】
解：∵xa=3，xb=2，
∴xa2=32，xb3=23，
即x2a=9，x3b=8，
∴x2a+3b
=x2a⋅x3b
=9×8
=72．
故选：C.
3.
【答案】
A
【考点】
多项式的项与次数
【解析】
本题考查多项式的项、次数和系数的概念，注意最高次项是次数最高的项．根据多项式的定义，最高次项是次数最高的项，常数项是不含字母的项．
【解答】
解：在整式4y4z2−4x5+6y3−8中，最高次项和常数项分别为：
4y4z2，−8；
4y4z2的系数为4，
∴在整式4y4z2−4x5+6y3−8中，最高次项的系数和常数项分别为：4和−8．
故选：A
4.
【答案】
D
【考点】
求不等式组的解集
求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【解析】
本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据x+4x2的值是非负数得到x+4≥0且x≠0，进而能求出x的取值范围．
【解答】
解：∵x+4x2≥0，
∴x+4≥0且x≠0，
∴x≥−4且x≠0．
故选：D．
5.
【答案】
D
【考点】
多项式乘多项式
【解析】
本题考查了多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
根据多项式与多项式的乘法法则把左边化简，并比较等式两边对应项的系数，求出m、n、p的值，再计算它们的和．
【解答】
解：∵(x−3)(3x+5)=3x2+5x−9x−15=3x2−4x−15，
∴mx2+nx−p=3x2−4x−15，
∴m=3，n=−4，p=15，
∴m+n+p=3+(−4)+15=14．
故选D．
6.
【答案】
B
【考点】
运用完全平方公式进行运算
【解析】
本题主要考查了整式混合运算，结合完全平方公式计算是解题的关键．
通过引入中间变量y=x−2026，将原方程转化为关于y的方程，简化后直接求解．
【解答】
∵ (x−2025)2−16=36−(2027−x)2，且(2027−x)2=(x−2027)2，
∴ (x−2025)2−16=36−(x−2027)2。
设y=x−2026，则x−2025=y+1，x−2027=y−1，
代入得：(y+1)2−16=36−(y−1)2，
展开：左边y2+2y+1−16=y2+2y−15，
右边36−y2−2y+1=36−y2+2y−1=−y2+2y+35，
∴ y2+2y−15=−y2+2y+35，
移项得：y2+2y−15+y2−2y−35=0，
即2y2−50=0，
∴ 2y2=50，y2=25，
∵ y=x−2026，
∴ (x−2026)2=25．
故选B．
二、填空题
7.
【答案】
−127
【考点】
同底数幂的除法运算
有理数的乘方运算
【解析】
本题考查的是同底数幂的除法及乘方运算，先计算同底数幂的除法，再计算乘方即可．
【解答】
解：−135÷−132=−133=−127．
故答案为：−127
8.
【答案】
−12x−y
【考点】
整式的加减
【解析】
本题考查的是整式的加减运算，已知和与一个加数，求另一个加数，用和减去已知加数即可．
【解答】
解：由题意，A=(−15x+2y)−(−3x+3y)
=−15x+2y+3x−3y
=−12x−y．
故答案为：−12x−y
9.
【答案】
(a−3)(a−8)
【考点】
因式分解-十字相乘法
【解析】
本题考查的是因式分解，通过寻找两个数，它们的乘积为常数项24，且和为一次项系数−11，从而进行因式分解．
【解答】
解：a2−11a+24=(a−3)(a−8)．
故答案为：(a−3)(a−8)
10.
【答案】
2x+1
【考点】
异分母分式加减法
【解析】
本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
通过因式分解分母，将第二个分式简化，再与第一个分式相加．
【解答】
解：原式=1x+1+x−1(x−1)(x+1)
=1x+1+1x+1=2x+1．
故答案为：2x+1．
11.
【答案】
x≠−23
【考点】
零指数幂
【解析】
本题考查了零指数幂的意义，熟练掌握零指数幂的意义是解答本题的关键，非零数的零指数幂等于1，零的零指数幂没有意义．
根据−2−3x≠0求解即可．
【解答】
解：由题意，(−2−3x)0=1 成立的条件是底数 −2−3x≠0．
解得 x≠−23．
故答案为：x≠−23．
12.
【答案】
−7
【考点】
已知同类项求指数中字母或代数式的值
【解析】
本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．
根据相同字母的指数必须相等，列出方程求解即可．
【解答】
因为单项式 −2a1−xb3y与 a3b5是同类项，
所以1−x=3，3y=5，
解得x=−2；y=53．
则x−3y=−2−3×53=−2−5=−7．
故答案为−7．
13.
【答案】
x2−2y2
【考点】
整式的加减
运用完全平方公式进行运算
【解析】
本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
通过移项将M表示为两项的差，然后展开平方项并合并同类项．
【解答】
解：(x−2y)2+M=2(x−y)2，
M=2(x−y)2−(x−2y)2，
=2x2−2xy+y2−x2−4xy+4y2
=2x2−4xy+2y2−x2+4xy−4y2。
=x2−2y2，
故答案为：x2−2y2．
14.
【答案】
−10
【考点】
幂的乘方的逆用
积的乘方的逆用
已知式子的值，求代数式的值
计算单项式乘多项式及求值
【解析】
本题考查了单项式乘以多项式的运算，幂的乘方、积的乘方逆运算，代数式求值．
将原式展开后，再根据幂的乘方、积的乘方逆运算变形，然后将mn2=−2进行代入计算．
【解答】
解：mn⋅−n−mn3+m2n5
=mn⋅(−n)+mn⋅−mn3+mn⋅m2n5
=−mn2−m2n4+m3n6
由已知mn2=−2，得m2n4=(mn2)2=4，
m3n6=(mn2)3=−8，
代入上式：−(−2)−4+(−8)=2−4−8=−10
故答案为：−10．
15.
【答案】
152或−152
【考点】
求完全平方式中的字母系数
【解析】
本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式．
完全平方式：a2±2ab+b2的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方式的二倍项即可求解．
【解答】
∵9x2+kx+1916=9x2+kx+2516=(3x)2+kx+542．
kx=±2×3x×54，
∴k的值为152或−152．
故答案为：152或−152．
16.
【答案】
−12
【考点】
含乘方的有理数混合运算
【解析】
本题考查了有理数的混合运算．
先计算乘方运算和乘法运算，再进行加法运算．
【解答】
解：−123+11×12×13=−1728+1716=−12．
故答案为：−12．
17.
【答案】
−4
【考点】
已知式子的值，求代数式的值
运用完全平方公式进行运算
整式的混合运算
【解析】
本题主要考查了整式乘法的应用，准确利用完全平方公式化简计算是解题的关键．
利用已知条件求出a2+b2和ab的值，然后将所求表达式转化为a2−4b2−4的形式，代入计算。
【解答】
由(a+b)2=10，得a2+2ab+b2=10；
由(a−b)2=2，得a2−2ab+b2=2，
将两式相加，得2a2+b2=12，所以a2+b2=6；
将两式相减，得4ab=8，所以ab=2，
所求表达式为(a+2)(b−2)(b+2)(a−2)，
将其分组为(a+2)(a−2)]⋅[(b+2)(b−2)=a2−4b2−4，
代入已知值：
a2−4b2−4=a2b2−4a2−4b2+16=(ab)2−4a2+b2+16，
将ab=2，a2+b2=6代入，
得4−4×6+16=4−24+16=−4．
故答案是：−4．
18.
【答案】
50
【考点】
规律型：数字的变化类
【解析】
本题主要考查数字类的规律探索，解此题的关键在于准确找到题中所给规律，再根据规律进行归纳总结．
根据孤立数的定义，整数a不能表示为两个不同整数的平方之差，通过分析，整数a是孤立数当且仅当a=4k+2（k为整数），绝对值小于100的整数中共有50个孤立数．
【解答】
根据题意，“孤立数”可以为：2，6，10，14，18，⋯，
因此，a为孤立数当且仅当a=4k+2（k为整数）
绝对值小于100的整数中，要满足a=4k+2（k为整数），k最小可取−25，最大可取24，
故绝对值小于100的整数中共有50个孤立数．
故答案为：
三、解答题
19.
【答案】
−a2+2a+2
【考点】
整式的加减
【解析】
本题考查了整式的加减，先去括号，再合并同类项即可．
【解答】
解：4a+3−2a+a2−2a2+1
=4a+3−2a+a2−2a2−1
=−a2+2a+2．
20.
【答案】
−4x+10
【考点】
运用平方差公式进行运算
运用完全平方公式进行运算
【解析】
本题考查了整式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．
先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可．
【解答】
解：(2x−1)2+(2x+3)(3−2x)
=4x2−4x+1+9−4x2
=−4x+10．
21.
【答案】
3a−1（其中a≠0且a≠2）
【考点】
分式的混合运算
【解析】
本题主要考查多项式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
先去括号，除法转为乘法，最后合并同类项即可．
【解答】
解：根据题意a≠0且a−2≠0，即a≠0且a≠2，
原式=4a−1+a2−a×(a−2)
=4a−1−a
=3a−1（其中a≠0且a≠2）．
22.
【答案】
3xy2+2y−11
【考点】
因式分解-提公因式法
【解析】
本题考查的是因式分解，直接提取公因式分解因式即可．
【解答】
解：3xy2+6xy−33x=3xy2+2y−11．
故答案为：3xy2+2y−11
23.
【答案】
(a−3b)(a−3b−1)
【考点】
因式分解-分组分解法
【解析】
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
先分组分解，再用提取公因式法分解．
【解答】
解：a2−6ab+9b2−a+3b
=a2−6ab+9b2−(a−3b)
=(a−3b)2−(a−3b)
=(a−3b)(a−3b)−1
=(a−3b)(a−3b−1)．
24.
【答案】
−m−1m+3，−12
【考点】
分式的化简求值
【解析】
本题主要考查了分式化简求值，准确计算是解题的关键．
利用分式的性质进行分式化简，代入求值即可；
【解答】
解：原式=m+2m⋅m2(m−3)(m+2)(m+3)⋅(m+3)(m−1)m(3+m)(3−m)
=−m−1m+3，
∵m=5，
∴原式=−5−15+3=−12．
25.
【答案】
15a2−13a−11
【考点】
整式的加减——化简求值
【解析】
本题主要考查了整式化简求值，准确理解题意是解题的关键．
先根据A+2B=9a2−2a−1求出A，代入计算即可．
【解答】
∵ A+2B=9a2−2a−1，B=a2+3a+3，
∴A+2a2+6a+6=9a2−2a−1，
∴A=9a2−2a−1−2a2−6a−6=7a2−8a−7，
∴2A+B=27a2−8a−7+a2+3a+3
=14a2−16a−14+a2+3a+3
=15a2−13a−11．
26.
【答案】
n4m 吨；11.25吨
【考点】
列代数式
【解析】
本题主要考查了列代数式和代数式求值，准确计算是解题的关键．
根据题意，先求出原来每天的平均用水量和现在每天的平均用水量，然后相减即可得解；
【解答】
根据题意，该小区现在每天平均用水量比平时少nm−nm+m3吨，
∴nm−nm+m3=nm−3n4m=4n4m−3n4m=n4m，
当m=12，n=540时，
原式=5404×12=11.25吨．
27.
【答案】
(2×5+1)2=(6×10+1)2−(6×10)2
（2）(2n+1)2=(n+1)⋅2n+12−(n+1)⋅2n2，证明见解析
【考点】
平方差公式分解因式
运用平方差公式进行运算
规律型：数字的变化类
运用完全平方公式进行运算
【解析】
（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为(2n+1)2=(n+1)⋅2n+12−(n+1)⋅2n2，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
【解答】
（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：(2×5+1)2=(6×10+1)2−(6×10)2，
故答案为：(2×5+1)2=(6×10+1)2−(6×10)2；
（2）解：第n个等式为(2n+1)2=(n+1)⋅2n+12−(n+1)⋅2n2，
证明如下：
等式左边：(2n+1)2=4n2+4n+1，
等式右边：(n+1)⋅2n+12−(n+1)⋅2n2
=(n+1)⋅2n+1+(n+1)⋅2n⋅(n+1)⋅2n+1−(n+1)⋅2n
=(n+1)⋅4n+1×1
=4n2+4n+1，
故等式(2n+1)2=(n+1)⋅2n+12−(n+1)⋅2n2成立．
28.
【答案】
①a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，②2y6+30y4+30y2+2，198
k+1
【考点】
规律型：数字的变化类
多项式乘法中的规律性问题
【解析】
（1）①先根据杨辉三角得出(a+b)4的展开式的系数，可得展开式；②先展开(y−1)6+(y+1)6，再合并，最后代入求值即可．
（2）根据an+2=an+1+an，可得a2027=a2025+a2026，结合Tn=a1+a2+a3+⋯+an，可得T2025=a1+a2+a3+⋯+a2025=k，可得a1+a2+a3+⋯+a2025+a2=k+a2=k+1，进一步求解即可．
【解答】
（1）解：①根据题意，(a+b)4的展开式有五项，系数分别为1，4，6，4，1，
∴ (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
②(y−1)6+(y+1)6
=y6+6y5×(−1)+15y4×(−1)2+20y3×(−1)3+15y2×(−1)4+6y×(−1)5+(−1)6 +y6+6y5×1+15y4×12+20y3×13+15y2×14+6y×15+16
=2y6+30y4+30y2+2，
∵y2=2，
原式=2×y23+30×y22+30y2+2
=2×8+30×4+30×2+2
=198．
（2）解：∵a1=1，a2=1，a3=2，a4=3，a5=5，a6=8，…该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即an+2=an+1+an，
∴a2027=a2025+a2026，
∵Tn=a1+a2+a3+⋯+an，
∴T2025=a1+a2+a3+⋯+a2025=k，
∴a1+a2+a3+⋯+a2025+a2=k+a2=k+1，
∴a2027=a2025+a2026
=a2025+a2024+a2023+⋅⋅⋅+a2+a1+a2=k+1．