2025~2026学年广东省肇庆市四会市九年级上学期1月期末考试数学试卷【附解析】

这是一份2025~2026学年广东省肇庆市四会市九年级上学期1月期末考试数学试卷【附解析】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC=66∘，则∠A=（ ）
A.66∘B.33∘C.24∘D.30∘

2.将抛物线y=x2向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A.y=(x−4)2B.y=(x+4)2C.y=x2−4D.y=x2+4

3.某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A.18B.16C.14D.12

4.二次函数y=−3(x−2)2−3的顶点坐标为（ ）
A.(2,3)B.(2,−3)C.(−2,3)D.(−2,−3)

5.点P(−4,−3)关于原点对称的点的坐标为（ ）
A.(4,3)B.(4,−3)C.(−4,3)D.(−4,−3)

6.下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A.圆B.菱形C.平行四边形D.等腰三角形

7.用配方法解一元二次方程x2−6x+8=0，配方后得到的方程是（ ）
A.(x+6)2=28B.(x−6)2=28C.(x+3)2=1D.(x−3)2=1

8.下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A.水涨船高B.水中捞月C.守株待兔D.缘木求鱼

9.关于x的一元二次方程x2+2ax+a2−1=0的根的情况是（ ）
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关

10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A.abc0,c0,c0，抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x=−2时，y>0，
∴4a−2b+c>0，故B中结论错误，不符合题意；
∵当x=3时，y=0，抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，
又∵b=−2a，
∴3a+c=0，故C中结论正确，符合题意；
∵抛物线对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，
∴抛物线的最小值为a+b+c=a−2a+c=−a+c，
∴am2+bm+c≥−a+c，
∴am2+bm+a≥0，故D中结论错误，不符合题意；
故选C．
二、填空题
11.
【答案】
−6
【考点】
二次函数的定义
【解析】
本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答．
【解答】
解：二次函数y=2x2+x−6的常数项为−6，
故答案为：−6．
12.
【答案】
4π
【考点】
求弧长
【解析】
本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长计算．
【解答】
解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长为2π×2=4π，
故答案为：4π．
13.
【答案】
−1
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
本题主要考查一元二次方程的解的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是关键．
将x=−1代入方程x2+mx−2=0得1−m−2=0，解之即可．
【解答】
解：将x=−1代入方程x2+mx−2=0，
得：1−m−2=0，
解得：m=−1，
故答案为：−1．
14.
【答案】
4−π
【考点】
扇形面积的计算
【解析】
根据等腰直角三角形的性质可求出AC的长，根据S阴影=S△ABC−2S扇形CEF即可得答案．
【解答】
∵等腰直角三角形ABC中，∠A=90∘,BC=4，
∴AC=AB=22BC=22，∠B=∠C=45∘，
∴S阴影=S△ABC−2S扇形CEF=12AC⋅AB−2×45π×22360=4−π，
故答案为：4−π
15.
【答案】
3
【考点】
几何变换综合题
勾股定理
含30度角的直角三角形
等腰三角形的性质
【解析】
连接CF,BF，BF,CD交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得BF垂直平分CF，∠ABF=60∘，为定角，可得点F在射线BF上运动，当AF⊥BF时，AF最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．
【解答】
解：连接CF,BF，BF,CD交于点P，如图，
∵∠DCE=90∘，点F为DE的中点，
∴FC=FD，
∵∠E=30∘，
∴∠FDC=60∘,
∴△FCD是等边三角形，
∴∠DFC=∠FCD=60∘；
∵线段BC绕点B顺时针旋转120∘得到线段BD，
∴BC=BD，
∵FC=FD，
∴BF垂直平分CF，∠ABF=60∘，
∴点F在射线BF上运动，
∴当AF⊥BF时，AF最小，
此时∠FAB=90∘−∠ABF=30∘，
∴BF=12AB=4；
∵∠BFC=12∠DFC=30∘，
∴∠FCB=∠BFC+∠ABF=90∘，
∴BC=12BF=2，
∵PB=12BC=1，
∴由勾股定理得PC=BC2−PB2=3，
∴CD=2PC=23，
∴S△BCD=12CD⋅PB=12×23×1=3；
故答案为3．
三、解答题
16.
【答案】
x1=3，x2=−4
【考点】
解一元二次方程-公式法
【解析】
本题考查了一元二次方程的求解，先求出a=1,b=1,c=−12，利用公式法求解一元二次方程即可．
【解答】
解：x2+x−12=0，
∵a=1,b=1,c=−12
∴Δ=12−4×1×(−12)=49>0，
∴x=−1±492×1=−1±72，
∴x1=3，x2=−4．
17.
【答案】
小球运动3秒时，最大高度是45m．
【考点】
二次函数的应用——投球问题
【解析】
首先将二次函数转换成顶点式，然后即可求出自变量和函数值的最大值.
【解答】
h=30t−5t2
=−5(t−3)2+45
∵0≤t≤6
∴当t=3时，h最大=45．
答：小球运动3秒时，小球最高，最大高度是45m．
18.
【答案】
272.5m
【考点】
勾股定理的应用
利用垂径定理求值
【解析】
根据题意，可以推出AD=BD=150，若设半径为r，则OD=r−45，OB=r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【解答】
解：设这段弯路的半径为r m，
∵OC⊥AB于D，AB=300，
∴BD=DA=12AB=150，
∵CD=45，
得OD=r−
∵Rt△BOD中，根据勾股定理有BO2=BD2+DO2，
即r2=1502+(r−45)2，
解得r=272.
答：这段弯路的半径为272.5 m．
19.
【答案】
14
316
【考点】
列表法与树状图法
概率公式
【解析】
(1)直接利用概率公式求解即可求得答案；
(2)画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率．
【解答】
(1)解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为14；
(2)如图，画树状图如下：
所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：316．
20.
【答案】
见解析.
【考点】
角平分线的性质
等腰三角形的性质：三线合一
切线的判定与性质
【解析】
过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．
【解答】
证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE=OD，即OE是O的半径，
∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是O的切线。
21.
【答案】
（1）20%
（2）8640元
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】
（1）设2022∼2024年购买图书资金的年平均增长率为x，增长率的定义列式，求解即可，
（2）根据增长率的定义及2024年的费用，列式计算即可．
【解答】
（1）解：设2022∼2024年购买图书资金的年平均增长率为x，
根据题意，得5000(1+x)2=7200，
解得x1=0.2=20%,x2=−2.2（不符合题意，舍去），
答：2022∼2024年购买图书资金的年平均增长率为20%．
（2）解：由题意，得7200×1+20%=8640（元）．
答：按此年增长率，2025年用于购买图书的费用为8640元．
22.
【答案】
（1）证明：△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ABC=90∘，
∵∠ADB=∠CDB，
∴AB⌢=BC⌢，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=90∘，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB=BC=2，
∴AC=2，
在Rt△ADC中，AD=1，AC=2，
∴CD=3．
即CD的长为：3．
【考点】
圆内接四边形的性质
勾股定理
等腰直角三角形
【解析】
（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】
（1）证明：△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ABC=90∘，
∵∠ADB=∠CDB，
∴AB⌢=BC⌢，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=90∘，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB=BC=2，
∴AC=2，
在Rt△ADC中，AD=1，AC=2，
∴CD=3．
即CD的长为：3．
23.
【答案】
（1）y=−x2−2x+3
（2）存在，点P的坐标为(−2,3)或(3,−12)
【考点】
二次函数综合——面积问题
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
（1）采用待定系数法，将点A和点B坐标直接代入抛物线y=ax2+bx+3，即可求得抛物线的解析式．
（2）过线段AB的中点D，且与BC平行的直线上的点与点B，点C连线组成的三角形的面积都等于12S△ABC，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案．
【解答】
（1）解：因为抛物线y=ax2+bx+3经过点 A(−3,0)和点B(1,0)两点，所以
9a−3b+3=0a+b+3=0 ，
解得
a=−1b=−2 ，
所以抛物线解析式为：y=−x2−2x+3．
（2）解：如图，设线段AB的中点为D，可知点D的坐标为(−1,0)，过点D作与BC平行的直线l，假设与抛物线交于点P1， P2（P1在P2的左边），（P2在图中未能显示）．
设直线BC的函数解析式为y=kx+b1(k≠0)．
因为直线BC经过点B(1,0)和C(0,3)，所以
k+b1=0b1=3 ，
解得k=−3b1=3 ，
所以，直线BC的函数解析式为：y=−3x+3．
又P1P2∥BC，
可设直线P1P2的函数解析式为y=−3x+b2，
因为直线P1P2经过点D (−1,0)，所以
3+b2=0．
解得b2=−3．
所以，直线P1P2的函数解析式为y=−3x−3．
根据题意可知，
S△DBC=12S△ABC．
又P1P2∥BC，
所以，直线P1P2上任意一点P′与点B，点C连线组成的△P′BC的面积都满足S△P′BC=12S△ABC．
所以，直线P1P2与抛物线y=−x2−2x+3的交点P1，P2即为所求，可得
−3x−3=−x2−2x+3，
化简，得
x2−x−6=0，
解得x1=3，x2=−2，
所以，点P1的坐标为(−2,3)，点P2的坐标为(3,−12)．
故答案为：存在，点P的坐标为(−2,3)或(3,−12)．