2025_2026学年广东省阳江市阳西县九年级上学期1月期末考试数学试卷【附解析】

这是一份2025_2026学年广东省阳江市阳西县九年级上学期1月期末考试数学试卷【附解析】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.

2.二次函数y=12x2−6的图象上有两点A(−1,a)， B(−2,b)，则a，b的大小关系为（ ）
A.a>bB.a1时，y随x的增大而增大．正确的说法有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题

11.若点P(3,b)与点Q(a,−2)关于原点对称，则aᵇ的值是______________．

12.抛物线y=2x2−1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为____________．

13.如图，将△AOB绕点O逆时针旋转48∘后得到△A′OB′，若∠AOB=15∘，则∠AOB′等于 ______________．

14.已知二次函数y=ax2+2x+1的图象与x轴有交点，则a的取值范围是____________．

15.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h=−5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t=_______________s．

16.如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA=50∘，则∠BAD=_________________​∘．
三、解答题

17.已知关于x的一元二次方程(m+1)x|m|+1+(m−2)x−1=0．
（1）求m的值；
（2）用配方法解这个方程．

18.如图，在⊙O中；AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，CD=6，BE=1．求⊙O的半径．

19.用配方法将y=−x2+4x+5化为y=a(x−h)2+k的形式并求出其与x轴的交点坐标．

20.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
（1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是_______．
（2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．

21.已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+2mx+m−3=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根．

22.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为23元时，销售量为34本；当销售单价为25元时，销售量为30本．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获得利润最大？最大利润是多少？

23.如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90∘，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为3，DE=3，求AE．

24.如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90∘，OC=2BO，AC=6，点B的坐标为(1, 0)，抛物线y=−x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12DE．
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2025-2026学年广东省阳江市阳西县九年级上学期1月期末考试数学试题
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
中心对称图形
轴对称图形
【解析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180∘后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【解答】
解：A、此图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；
C、此图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；
D、此图是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故选：C．
2.
【答案】
B
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
【解析】
本题考查了二次函数的性质，根据函数解析判断出二次函数的增减性是解题的关键．
【解答】
解：对于二次函数y=12x2−6，
∵12>0，
∴当x−32，
∴m的取值范围是m>−32且m≠−1；
（2）在m>−32且m≠−1的范围内，最小奇数m为1，
此时，方程化为x2+x−1=0，
∵Δ=b2−4ac=12−4×1×(−1)=5，
∴x=−1±52，
∴方程的根为x1=−1+52，x2=−1−52．
22.
【答案】
y=−2x+80
定为28元时，最大利润是192元
【考点】
求一次函数解析式
二次函数的应用——销售问题
【解析】
（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据所获得总利润=每本利润×销售数量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．
【解答】
（1）解：设y与x的关系式为y=kx+b，
把(23,34)与(25,30)代入，
得：23k+b=3425k+b=30 ，
解得：k=−2b=80 ，
∴y与x之间的函数关系式为y=−2x+80；
（2）解：由题意可得：
w=(x−20)(−2x+80)
=−2x2+120x−1600
=−2(x−30)2+200，
此时当x=28时，w最大，
即当x=28时，w最大=−2×(28−30)2+200=192（元），
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
23.
【答案】
证明见解析
3
【考点】
证明某直线是圆的切线
圆周角定理
【解析】
（1）如图连接OE,BE，，由AB是直径知BE⊥AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知DE=DB，再利用OE=OB，根据等腰三角形的性质知∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB，得到∠OED=90∘，即得证DE为切线；
（2）由DE=3，知BC=2DE=6，在直角△ABC中可利用勾股定理求出AC，再利用△ABC的面积相等求出BE，然后在直角△ABE中利用勾股定理求出AE即可．
【解答】
（1）解：证明：连接OE,BE，
∵AB是直径，
∴BE⊥AC，
∵点D是BC的中点，
∴DE=DB，
∴∠DBE=∠DEB，
又∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB，
即∠ABC=∠OED，
又∠ABC=90∘，
∴∠OED=90∘，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵DE=3，知BC=2DE=6，
∴AC=AB2+BC2=232+62=43，
∵S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BE，
∴BE=AB⋅BCAC=23×643=3，
∴AE=AB2−BE2=232−32=3．
24.
【答案】
y=−x2−3x+4
①P(−1, 6)；②点M的坐标为：M(−1, 3+11)或(−1, 3−11)或(−1, −1)或(−1, 132)．
【考点】
二次函数综合——特殊三角形问题
【解析】
（1）由OC=2BO及点B的坐标可得出OC的长度，结合AC的长度及∠ACB=90∘可得出点A的坐标；
（2）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（3）①先得AB的解析式为：y=−2x+2，根据PD⊥x轴，设P(x, −x2−3x+4)，则E(x, −2x+2)，根据PE=12DE，列方程可得P的坐标；
②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．
【解答】
（1）解：∵OC=2BO，点B的坐标为(1, 0)，
∴OC=
∵AC=6，∠ACB=90∘，
∴AC⊥x轴，
∴点A的坐标为(−2, 6)；
（2）把A(−2, 6)和B(1, 0)代入y=−x2+bx+c得：{4−2b+c=6−1+b+c=0，
解得：{b=−3c=4，
∴抛物线的解析式为：y=−x2−3x+4；
（3）①∵A(−2, 6)，B(1, 0)，
易得AB的解析式为：y=−2x+2，
设P(x, −x2−3x+4)，则E(x, −2x+2)，
∵PE=12DE，
∴−x2−3x+4−(−2x+2)=12(−2x+2)，
x=1（舍）或−1，
∴P(−1, 6)；
②∵M在直线PD上，且P(−1, 6)，
设M(−1, y)，
∴AM2=(−1+2)2+(y−6)2=1+(y−6)2，
BM2=(1+1)2+y2=4+y2，
AB2=(1+2)2+62=45，
分三种情况：
i)当∠AMB=90∘时，有AM2+BM2=AB2，
∴1+(y−6)2+4+y2=45，
解得：y=3±11，
∴M(−1, 3+11)或(−1, 3−11)；
ii)当∠ABM=90∘时，有AB2+BM2=AM2，
∴45+4+y2=1+(y−6)2，y=−1，
∴M(−1, −1)，
iii)当∠BAM=90∘时，有AM2+AB2=BM2，
∴1+(y−6)2+45=4+y2，y=132，
∴M(−1, 132)；
综上所述，点M的坐标为：M(−1, 3+11)或(−1, 3−11)或(−1, −1)或(−1, 132)．