最新版高考物理【一轮复习】精品讲义练习资料 (5)

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一、某一方向上的动量守恒
若系统受到的合外力不为零，系统的动量不守恒。但若在某一方向上合外力为零，则系统在此方向上动量守恒。系统在某一方向动量守恒时，动量守恒表达式为：(以水平方向动量守恒为例)m1v1x＋m2v2x＝m1v1x′＋m2v2x′。
例1 如图所示，光滑的水平面上，质量为m物体A置于质量为M的斜面体B上，斜面的倾角为θ，在A沿斜面由底端冲上顶端的过程中，A和B组成的系统( )
A．系统的动量守恒
B．在竖直方向上系统的动量分量守恒
C．在水平方向上系统的动量分量守恒
D．在任何方向上系统的动量分量都不守恒
答案 C
解析 由题意知，A沿斜面由底端冲上顶端的过程中，在竖直方向上A有向下的加速度，所以A和B组成的系统在竖直方向上系统的动量分量不守恒．而A和B组成的系统在水平方向上不受外力作用，所以A和B组成的系统，在水平方向上系统的动量分量守恒，故选C。
拓展延伸 若A刚好到达斜面顶端，且A、B具有共同速度，若不计A、B间的摩擦，则A到达顶端时速度的大小为( )
A.eq \f(mv0,M＋m) B.eq \f(mv0cs θ,M＋m)
C.eq \f(Mv0,M＋m) D.eq \f(Mv0cs θ,M＋m)
答案 B
解析 因为物体A具有竖直方向的加速度，故系统在竖直方向受到向下的重力和水平面提供的向上的作用力，且此方向合力不为零，故此方向的动量不守恒；但水平面光滑，故系统在水平方向动量守恒，A到达顶端时，A和斜面体只有水平方向的速度，即mv0cs θ＝(M＋m)v，所以v＝eq \f(mv0cs θ,M＋m)，故选B。
例2 如图所示，质量为m＝1 kg的小物块在距离车底部h＝20 m高处以一定的初速度向左被水平抛出，落在以v0＝7.5 m/s的速度沿光滑水平面向右匀速行驶的敞篷小车中，小车足够长，质量为M＝4 kg，设小物块在落到车底前瞬间的速度大小是25 m/s，g取10 m/s2，则当小物块与小车相对静止时，小车的速度大小是( )
A．1 m/s B．3 m/s
C．9 m/s D．11 m/s
答案 B
解析 小物块做平抛运动，下落时间为t＝eq \r(\f(2h,g))＝2 s，小物块落到车底前瞬间，竖直方向速度大小为vy＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s，小物块在落到车底前瞬间的速度大小是v＝25 m/s，根据平行四边形定则可知，小物块水平方向的速度大小为vx＝eq \r(v2－vy2)＝eq \r(252－202) m/s＝
15 m/s，小物块与车在水平方向上动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律有Mv0－mvx＝(M＋m)v共，解得v共＝3 m/s，故B正确。
二、动量守恒定律在多物体、多过程问题中的应用
多个物体相互作用时，物理过程往往比较复杂，分析此类问题时应注意：
(1)正确进行研究对象的选取：有时对整体应用动量守恒定律，有时对部分物体应用动量守恒定律．研究对象的选取一是取决于系统是否满足动量守恒的条件，二是根据所研究问题的需要。
(2)正确进行过程的选取和分析：通常对全程进行分段分析，并找出联系各阶段的状态量。根据所研究问题的需要，列式时有时需分过程多次应用动量守恒，有时只需针对初、末状态建立动量守恒的关系式。
例3 如图所示，在光滑水平面上有两个并排静止放置的木块A、B，已知mA＝0.5 kg，mB＝0.3 kg。现有质量m0＝0.08 kg的小物块C以初速度v0＝25 m/s在A表面沿水平方向向右滑动，由于C与A、B间均有摩擦，C最终停在B上，B、C最后的共同速度v＝2.5 m/s。求：
(1)木块A的最终速度的大小；
(2)小物块C滑离木块A的瞬时速度的大小。
答案 (1)2.1 m/s (2)4 m/s
解析 (1)取向右为正方向，设木块A的最终速度为v1，由动量守恒定律，对A、B、C有
m0v0＝mAv1＋(mB＋m0)·v，解得v1＝2.1 m/s。
(2)设C滑离A时的速度为v2，当C滑离A后，由动量守恒定律，对B、C有m0v2＋mBv1＝(mB＋m0)v，
解得v2＝4 m/s。
三、动量守恒定律应用中的临界问题分析
在动量守恒的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近(或最远)、恰好不相撞、弹簧最长(或最短)或物体开始反向运动等临界状态，其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系或相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键。
例4 如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在光滑水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量为30 kg，乙和他的冰车总质量也为30 kg，游戏时甲推着一质量为10 kg的木箱，和他一起以v0＝3.5 m/s的速度向右滑行，乙在甲的正前方相对地面静止，为避免碰撞，甲将木箱推给乙，使木箱与乙一起运动，则甲至少以相对地面多大的速度将箱子推出才能避免与乙相撞？
答案 8 m/s
解析 设甲至少以速度v将箱子推出，推出箱子后甲的速度为v甲，乙获得的速度为v乙，取向右为正方向。以甲和箱子为系统，根据动量守恒，得(M甲＋m)v0＝M甲v甲＋mv，①
选箱子和乙为系统，得mv＝(m＋M乙)v乙，②
当甲与乙恰好不相撞时v甲＝v乙，③
联立①②③解得v＝8 m/s。
两物体不相撞的临界条件是速度相同。
例5 如图所示，木块A的质量为mA＝1 kg，足够长的木板B的质量为mB＝4 kg，质量为mC＝4 kg的木块C置于静止的木板B上，水平面光滑，B、C之间有摩擦。现使A以v0＝
12 m/s的初速度向右运动，与B碰撞后以4 m/s的速度弹回，C始终未脱离B。求：
(1)B运动过程中的最大速度的大小；
(2)C运动过程中的最大速度的大小；
(3)整个过程中系统损失的机械能。
答案 (1)4 m/s (2)2 m/s (3)48 J
解析 (1)A与B碰后瞬间，B速度最大，A、B系统动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得mAv0＋0＝－mAvA＋mBvB，代入数据得：vB＝4 m/s。
(2)B与C共速后，C速度最大，B、C系统动量守恒，以B的速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mBvB＋0＝(mB＋mC)vC，代入数据得：vC＝2 m/s。
(3)由能量守恒定律得：ΔE损＝eq \f(1,2)mAv02－eq \f(1,2)mAvA2－eq \f(1,2)(mB＋mC)vC2，解得ΔE损＝48 J。
专题强化练
1．(2022·孝感市期中)如图所示，一质量为M的沙车，在光滑的水平面上做匀速直线运动，速度为v0，质量为m的铁球以速度v竖直向下落入沙车中，稳定后，沙车的速度为( )
A.eq \f(Mv0,M＋m) B.eq \f(mv0,M＋m)
C．v0 D.eq \f(Mv0＋mv,m＋M)
答案 A
解析 沙车与铁球组成的系统水平方向动量守恒，则有Mv0＝(M＋m)v解得v＝eq \f(Mv0,M＋m)，故A正确，B、C、D错误。
2.质量相等的五个物块在一光滑水平面上排成一条直线，且彼此隔开一定的距离，具有初速度v0的第5号物块向左运动，依次与其余四个静止物块发生碰撞，如图所示，最后这五个物块粘成一个整体，则它们最后的速度大小为( )
A．v0 B.eq \f(v0,5) C.eq \f(v0,3) D.eq \f(v0,4)
答案 B
解析 由于五个物块组成的系统沿水平方向不受外力作用，故系统在水平方向上动量守恒，由动量守恒定律得mv0＝5mv，得v＝eq \f(1,5)v0，即它们最后的速度大小为eq \f(1,5)v0，B正确。
3.如图所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑的水平面上，物体A被水平速度为v0的子弹射中并且子弹嵌在其中。已知物体A的质量是物体B的质量的eq \f(3,4)，子弹的质量是物体B的质量的eq \f(1,4)，弹簧压缩到最短时B的速度为( )
A.eq \f(v0,2) B.eq \f(v0,4) C.eq \f(v0,8) D.eq \f(v0,3)
答案 C
解析 弹簧压缩到最短时，子弹、A、B具有共同的速度v1，且子弹、A、B组成的系统，从子弹开始射入物体A一直到弹簧被压缩到最短的过程中，系统所受合外力始终为零，故整个过程系统的动量守恒，取子弹水平速度v0的方向为正方向，由动量守恒定律得
mv0＝(m＋mA＋mB)v1，又m＝eq \f(1,4)mB，mA＝eq \f(3,4)mB，故v1＝eq \f(v0,8)，即弹簧压缩到最短时B的速度为eq \f(v0,8)，故C正确。
4.如图所示，小车放在光滑的水平面上，将系绳小球拉开到一定的角度，然后同时放开小球和小车，那么在以后的过程中( )
A．小球向左摆动时，小车向右运动，且系统动量守恒
B．小球向左摆动时，小车向右运动，系统机械能不守恒
C．小球向左摆到最高点，小球的速度为零而小车速度不为零
D．小球向左摆到最高点，小球的速度为零，小车的速度也为零
答案 D
解析 小球向左摆动时，小车向右运动，小球受到的重力使系统合外力不为零，故系统动量不守恒，但该过程只有重力做功，故系统机械能守恒，A、B错误； 系统在水平方向合外力为零，水平方向满足动量守恒，可得m球v1＋m车v2＝0，故小球向左摆到最高点，小球的速度为零，小车的速度也为零，C错误，D正确。
5．质量M＝100 kg的小船静止在水面上，船首站着质量m甲＝40 kg的游泳者甲，船尾站着质量m乙＝60 kg的游泳者乙，船首指向左方，若甲、乙两游泳者在同一水平线上，甲朝左、乙朝右均以3 m/s的速率同时跃入水中后瞬间( )
A．小船向左运动，速率为1 m/s
B．小船向左运动，速率为0.6 m/s
C．小船向右运动，速率大于1 m/s
D．小船仍静止
答案 B
解析 设水平向右为正方向，两游泳者同时跳离小船后瞬间小船的速度为v，根据甲、乙两游泳者和小船组成的系统动量守恒有－m甲v甲＋m乙v乙＋Mv＝0，代入数据可得v＝－0.6 m/s，其中负号表示小船向左运动，所以选项B正确。
6．如图所示，光滑水平轨道上放置长木板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA＝2 kg，mB＝1 kg，mC＝2 kg。开始时C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短)后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小。
答案 2 m/s
解析 长木板A与滑块C处于光滑水平轨道上，两者碰撞时间极短，长木板A与滑块C组成的系统在碰撞过程中动量守恒，取水平向右为正方向
则mAv0＝mAvA＋mCvC
长木板A和滑块B达到共同速度后，恰好不再与滑块C碰撞，即最后三者速度相等，即vC＝v
(mA＋mB)v0＝(mA＋mB＋mC)v
联立解得vA＝2 m/s。
7．一弹丸在飞行到距离地面5 m高时仅有水平速度v0＝2 m/s，爆炸成甲、乙两块并水平飞出，甲、乙的质量比为3∶1，不计质量损失及空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是( )
答案 B
解析 弹丸在爆炸过程中，水平方向的动量守恒，有mv0＝eq \f(3,4)mv甲＋eq \f(1,4)mv乙，解得4v0＝3v甲＋v乙，爆炸后两块弹片均做平抛运动，竖直方向有h＝eq \f(1,2)gt2，水平方向对甲、乙两弹片分别有x甲＝v甲·t，x乙＝v乙·t，代入各图中数据，可知B正确。
8．(多选)如图所示，三辆完全相同的平板小车a、b、c成一直线排列，静止在光滑水平面上。c车上有一小孩跳到b车上，接着又立即从b车跳到a车上。小孩跳离c车和b车时对地的水平速度相同。他跳到a车上相对a车保持静止，此后( )
A．a、b两车运动速率相等
B．a、c两车运动速率相等
C．三辆车的速率关系为vc>va>vb
D．a、c两车运动方向相反
答案 CD
解析 设小孩跳离b、c车时相对地面的水平速度为v，以水平向右为正方向，由动量守恒定律知：小孩和c车组成的系统：0＝m人v－M车vc，
对小孩和b车：m人v＝M车vb＋m人v，
对小孩和a车：m人v＝(M车＋m人)va，
所以：vc＝eq \f(m人v,M车)，vb＝0，va＝eq \f(m人v,M车＋m人)，
即三辆车的速率关系为vc>va>vb，并且vc与va方向相反，故选C、D。
9.如图所示，在光滑水平面上有A、B两辆小车，水平面的左侧有一竖直墙，在小车B上坐着一个小孩，小孩与B车的总质量是A车质量的10倍。两车开始都处于静止状态，小孩把A车以相对于地面的速度v推出，A车与墙壁碰后仍以原速率返回，小孩接到A车后，又把它以相对于地面的速度v推出。每次推出，A车相对于地面的速度都是v，方向向左。则小孩把A车推出几次后，A车返回时小孩不能再接到A车( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 B
解析 取水平向右为正方向，小孩第一次推出A车时，有mBv1－mAv＝0，解得v1＝eq \f(mA,mB)v，
第n次推出A车时，有mAv＋mBvn－1＝－mAv＋mBvn，则vn－vn－1＝eq \f(2mA,mB)v
所以vn＝v1＋(n－1)eq \f(2mA,mB)v
当vn≥v时，再也接不到A车，由以上各式得n≥5.5，取n＝6，故B正确，A、C、D错误。
10．如图所示，甲、乙两船的总质量(包括船、人和货物)分别为10m、12m，两船沿同一直线同一方向运动，速度分别为2v0、v0，为避免两船相撞，乙船上的人将一质量为m的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出货物的最小速度大小。(不计水的阻力及空气阻力)
答案 4v0
解析 设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为vmin，抛出货物后乙船的速度大小为v1，甲船上的人接到货物后甲船的速度大小为v2，以开始时甲、乙两船的运动方向为正方向。由动量守恒定律得12mv0＝11mv1－mvmin①
10m×2v0－mvmin＝11mv2②
为避免两船相撞应满足v1＝v2③
联立①②③式解得vmin＝4v0。
11．甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速度均为6 m/s。甲的车上有质量为m＝1 kg的小球若干个，甲和他的车及所带小球的总质量为M1＝50 kg，乙和他的车总质量为M2＝30 kg。现为避免相撞，甲不断地将小球以相对地面16.5 m/s的水平速度抛向乙，且被乙接住。假设某一次甲将小球抛出且被乙接住后刚好可保证两车不相撞，此时：
(1)两车的速度大小各为多少？
(2)甲总共抛出了多少个小球？
答案 (1)均为1.5 m/s (2)15
解析 (1)当甲和他的车与乙和他的车具有共同速度时，可保证刚好不相撞，设共同速度为v，以甲车的速度方向为正方向。则M1v0－M2v0＝(M1＋M2)v
解得：v＝1.5 m/s
(2)以甲车的速度方向为正方向，对甲和他的车及所带的小球，由动量守恒定律得M1v0＝(M1－nm)v＋nmv′，解得n＝15。