期末仿真模拟试卷02（解析版）-2024-2025学年高三数学上学期期末考试（山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、 福建、浙江、江西、安徽、河南）-A4

这是一份期末仿真模拟试卷02（解析版）-2024-2025学年高三数学上学期期末考试（山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、 福建、浙江、江西、安徽、河南）-A4，共16页。试卷主要包含了 考生必须保持答题卡的整洁， 已知O为坐标原点，双曲线C， 下列说法正确的是，已知正数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
所以不成立，，故CD错误，
则，，故A错误，B正确，
故选：B.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】因为，所以．
因为，所以，解得．
故选：A
3. 在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】由题意得，
则，
对应的点为，位于第三象限.
故选：C
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，
故
.
故选：A.
5. 已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一象限内的交点为P.若，则点O到直线的距离为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
由题可知，，设，
则由，得，，
则.
由，得，解得，
则点O到直线的距离.
故选：B
6.有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为，
因为，
所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，
则抽出的3张卡片上的数字之和应为，
则抽出的3张卡片上的数字的组合有或或共3种，
所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为的样本点个数共3个，
所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为.
故选：C
7. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为和，母线长为，且该圆台上、下底面圆周上的点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取圆台的一条母线，连接、，
过点在平面内作，垂足为点，如图：
由题意可知，四边形为直角梯形，且，，，
因为，，，
所以四边形为矩形，所以，则，
所以，
设，则，
因为圆台的上、下底面圆周上的点都在同一个球面上，
所以，解得，
则球的半径为，
故该球的表面积为.
故选：D.
8. 已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，则，
由，可得，
即，.
因为是定义在R上的减函数，所以也是定义在R上的减函数，
故，即.
因为，所以，即实数的取值范围是.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A．数据、、、、的第百分位数是
B．若随机变量服从正态分布，，则
C．张彩票中只有张能中奖，现从中一次性抽取张，若其中至少有一张中奖的概率大于，则的最小值为
D．已知数据、、、的平均数为，方差为，现加入和两个数，则这个数的方差
【答案】ACD
【解析】对于A，由，知数据、、、、的第百分位数为，故A正确；
对于B，由正态曲线的对称性知，
所以，故B错误；
对于C，由，得，可得，
解得，又因为，所以，的最小值为，故C正确；
对于D，新数据的平均数为，则新数据的平均数仍为，
由方差公式，得，解得，
则新数据的方差，故D正确.
故选：ACD.
10.已知正数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于选项A：因为，则，当且仅当，
即时取等号，故选项A正确；
对于选项B：，
当且仅当，即时取等号，故选项B错误；
对于选项C：由选项A可知，所以，
当且仅当，即时取等号，故选项C正确；
对于选项D：因为，当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误.
故选：AC.
11. 已知抛物线的准线，直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则以为直径圆与相交
B. 若，则为坐标原点
C. 过点分别作抛物线的切线，，若，交于点A，则
D. 若，则点到直线的距离大于等于
【答案】BCD
【解析】由题可得抛物线，设Mx1,y1，Nx2,y2，
对于选项A，当时，直线过的焦点，
此时，
又的中点到准线的距离为，
则以为直径的圆与相切，故选项A错误；
对于选项B，当时，直线，
将代入，得，则，
又易知，
所以，故选项B正确；
对于选项C，由题可设抛物线在点处的切线方程为，
由，消得到，
由，得到，
又，所以，得到，
所以在点处的切线方程为，整理得到，
同理可得抛物线在点处的切线方程为，
联立，解得，故，故选项C正确；
对于选项D，由抛物线的对称性，可知当轴时，点到直线的距离最小，
由，不妨取，代入，得到，
所以，点到直线的距离为，故选项正确．

故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.的二项展开式中，项的系数为______．
【答案】28
【解析】在的二项展开式中，含的项为，
所以项的系数为28.
故答案为：28
13.已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则___________
【答案】
【解析】由，则或，
解得或，
所以，，，，…，，
所以，故B正确.
故答案为：
14. 在面积为S的锐角三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AB边上的高h为2且,则面积的取值范围为___________．
【答案】
【解析】）由和正弦定理，三角形面积公式得，，因，故得，，
由余弦定理，，因，则；·
由可得，
由正弦定理，，即得，，，·
则
，
由为锐角三角形可得，，解得，
则，由正弦函数的图象知，，故得，
即面积的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.竹编是某地的地方特色，某地区相关部门对该地居民在过去两年内学习竹编次数进行了详尽统计，然后随机抽取了80名居民的学习数据，现将整理后的结果呈现如下表：
（1）若将这两年学习竹编的次数为3次及3次以上的，称为学习竹编“先锋”，其余的称为学习竹编“后起之秀”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学习竹编有关系；
（2）若将这两年内学习竹编6次的居民称为竹编“爱好者”，为进一步优化竹编技术，在样本的“爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男性人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：，
【答案】（1）据小概率值的独立性检验，能认为性别因素与学习竹编有关系；
（2）分布列见解析，数学期望为1.8.
【解析】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
零假设为：性别与学习竹编情况独立，即性别因素与学习竹编无关，
根据列联表的数据计算得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即该地区性别因素与学习竹编有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
（2）样本中“爱好者”共10名，其中6名男生，4名女生，
则的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以所求分布列为：
数学期望.
16. 已知数列中，
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）令，证明:．
【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析.
【解析】（1）由得，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得,
解得：.
（3）
令，，
因为在上单调递增，则
所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，
故得.
17. 已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧棱平面ABCD，点M在棱DP上，且，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.
（1）若N棱PC中点，完成：
（i）画出的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证：平面AMN；
（2）若四边形ABCD是正方形，且，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值.
【答案】（1）答案见解析.
（2）当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大.
【解析】（1）（i）设AC与BD的交点为O，连接PO与AN交于点G，
点O为AC中点，点N为PC中点，
PO与AN的交点G为的重心，
，
又PO为在BD边上的中线，
点G也为的重心，即重心点G在线段AN上.
（ii）证明：连接DG并延长交PB于点H，连接，
点G为的重心，
，
又，
即，又MG在平面AMN内，BP不在平面AMN内，
所以PB∥平面AMN.
（2）四边形ABCD是正方形，且平面ABCD，
AB、AD、AP两两垂直，
以A为坐标原点，方向为x轴正方形建立空间直角坐标系，如图所示，
则点，，，，
则，，，
设则，
，
设平面AMN的法向量为，
则有，
化简得：，
取则，，
设直线PA与平面AMN所成角为，
则，
当时的值最大，
即当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大，最大值为.
18. 已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为
（1）求的方程.
（2）证明：的斜率为定值.
（3）设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）
由题可知，解得，，
故的方程为.
（2）设的方程为，Px1,y1，.
联立方程组
整理得，
即，则，，
，
整理得，则或，
若，则，则过点，不符合题意，
故，即的斜率为定值.
（3）由（2）可得直线，，，
因为与线段（不含端点）相交，所以，
，
点到的距离，
点到的距离，
四边形的面积，
解得或（舍去），
故的方程为：.
19. 过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”．
（1）设，判断点是否为的“类点”，并说明理由；
（2）设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值；
（3）设，证明：轴上不存在的“类点”．
【答案】（1）是，理由见解析； （2）2； （3）证明见解析.
【解析】（1）函数，，点在上，求导得，
设切点为，切线方程为，即，
由切线过，得，,解得或，
因此切线方程为，所以点为的“类点”.
（2）函数，求导得，设切点为，
切线方程为，即，
切线过，则，
依题意，方程有三个不同解，且成等差数列，设为，公差为，
，
因此，则，，则，
当时，，不过，
所以的值为2.
（3）假设轴上存在函数的“类点”，记为，设坐标为，
求导得，设切点为，切线方程为，
即，由切线过，得，此方程至少有两个不同解，
设，则，由，得或，
当时，，函数是上的严格减函数，
当时，为上的严格增函数，
函数的极小值，极大值，又，
当或时，方程有两个不同解，当时，方程有三个不同解，
当时，在上，其余情况下在外，则，
设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为，
则，由，
得，则有，
由，得异号，不妨设，
由均值不等式知，，
则，与矛盾，即不存在，
所以轴上不存在的“类点”.
学习竹编次数
0
1
2
3
4
5
6
合计
男
1
3
5
7
9
9
6
40
女
5
6
7
7
6
5
4
40
合计
6
9
12
14
15
14
10
80
性别
学习竹编
合计
后起之秀
先锋
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性别
学习竹编
合计
后起之秀
先锋
男生
9
31
40
女生
18
22
40
合计
27
53
80
0
1
2
3