2025-2026学年广东省江门市棠下中学九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年广东省江门市棠下中学九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面有四个“风车”图案，其中是中心对称图形的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.已知，点A的坐标是（3，-2），则点A关于原点中心对称的对称点的坐标是（ ）
A. （-3，-2）B. （-2，3）C. （-3，2）D. （2，-3）
3.如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=43°，则∠AOB的度数是（ ）
A. 83°
B. 84°
C. 86°
D. 87°
4.一元二次方程3x2+10=2x2+8x根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根D. 没有实数根
5.已知点（-3，y1），（-2，y2）都在函数y=3x2-2的图象上，则（ ）
A. y1＜y2B. y1＞y2C. y1=y2D. 无法确定
6.如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（ ）
​
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10
7.二次函数y=-（x+3）2-2的图象的顶点坐标为（ ）
A. （3，2）B. （3，-2）C. （-3，2）D. （-3，-2）
8.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A. -1＜x＜4
B. -1＜x＜3
C. x＜-1或x＞3
D. x＜-1或x＞4
9.如图，△ABC，∠BAC=56°，将△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到△ADE，DE交AC于F，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）
A. 80°
B. 86°
C. 90°
D. 96°
10.如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x=1，下面结论：①abc＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一个根大于-1且小于0．其中正确的是（ ）个．
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程x2-3x=0的解为 .
12.将抛物线y=2x2向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线的解析式为______．
13.若m是方程x2-x-2024=0的一个根，求m2-m+1的值 .
14.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是圆的直径，若∠CAB=25°，则∠P的度数为 .
15.如图为抛物线型拱桥的横截面，当水面AB宽度为4米时，拱顶O离水面的距离为2米，当水面下降1米时，水面的宽度为 米.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解下列方程：
（1）x2-4x+3=0；
（2）2x2-3x-1=0.
17.(本小题8分)
如图，A（-4，0），B（0，1），C（-2，3）.
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；
（3）求出点A绕O点顺时针旋转90°后到A2所经过的路径长.
18.(本小题8分)
已知抛物线y=x2+bx+c过点M（-1，9）和N（2，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断点（-3，10）是否在此抛物线上？
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm,点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm,连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE交AC于点F.
（1）判断△ADE的形状，并证明.
（2）求CF的长.
20.(本小题9分)
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E.过点D作DF⊥AC于点F.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°.求阴影部分的面积.
​
22.(本小题12分)
已知：如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使得△ACN的面积最大，最大值为多少？
（3）在抛物线对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若A、B、K、L为顶点的四边形是平行四边形，求K、L的坐标.
23.(本小题12分)
已知AB为⊙O的弦，PB为⊙O的切线，过P做AB的垂线，垂足为C，连接OA．
（1）如图1，求证：∠A=∠P；
（2）如图2，当AB=PC时，求证：PB=2OA；
（3）如图3，在（2）的条件下，PC交⊙O于点D，若AC=1，AO=，求线段CD的长．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】x1=0，x2=3
12.【答案】y=2（x+1）2-2
13.【答案】2025
14.【答案】50°
15.【答案】2
16.【答案】x1=3，x2=1；
，
17.【答案】如图，△A1B1C1即为所求；
如图，△A2B2C2即为所求；

2π
18.【答案】解：（1）由条件可得：
，
解得，
∴y=x2-3x+5；
（2）当x=-3时，y=（-3）2-3×（-3）+5=9+9+5=23≠10，
∴点（-3，10）不在抛物线上．
19.【答案】结论：△ADE是等腰直角三角形．
理由：由旋转变换的性质可知AD=AE，∠DAE=90°，
故△ADE是等腰直角三角形．
CF=（10-2）cm
20.【答案】每件衬衫应降价20元
每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最多盈利是1250元
21.【答案】（1）证明：连接AD，连接OD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
又AB=AC，D是BC的中点，
∴BD=DC．
∵BO=OA，
∴DO∥AC，
又DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OB=OD，
∴∠BOD=45°，
过点B作BM⊥OD于M，

∴∠BOD=∠OBM=45°，
∴BM=OM，
∵OB=OD=4，
∴BM=2，
∴阴影部分的面积==4．
22.【答案】y=x2+2x-3．
存在，．
（-1，4）、（-1，-4）或（-1，12）、（-5，12）或（-1，12）、（3，12）
23.【答案】解：（1）如图1，连接OB，
∴OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵BP是⊙O的切线，
∴∠OBP=90°，
∴∠ABP+∠ABO=90°，
∴∠A+∠ABP=90°，
∵CP⊥AB，
∴∠P+∠ABP=90°，
∴∠A=∠P；
（2）如图2，延长AO交⊙O于M，连接BM，
∴AM=2OA，∠ABM=90°=∠PCB，
由（1）知，∠A=∠P，
在△ABM和△PCB中，，
∴△ABM≌△PCB，
∴AM=BP，
∴BP=2OA；
（3）如图3，设AB=x，则，PC=x，
∴BC=AB-AC=x-1，
∵OA=，BP=2OA=5，
在Rt△BCP中，x2+（x-1）2=25，
∴x=-3（舍）或x=4，
∴AB=4，
过点O作OG⊥AB于G，
∴AG=AB=2，
∴CG=AG-AC=1，
在Rt△AOG中，根据勾股定理得，OG=，
延长PC交⊙O于E，过点O作OF⊥PE于F，
∴DE=2EF，
∴四边形CFOG是矩形，
∴OF=CG=1，CF=OG=，
连接OE，
∴OE=OA=，
在Rt△OEF中，EF==，
∴DE=，CE=CF+EF=+，
∴CD=DE-CE=--=．