重庆市长寿中学校2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷

这是一份重庆市长寿中学校2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025 年秋期长寿中学高一年级半期考试数学试题
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
设集合，则（）
B. C. D.
已知⫋ ，且若 ，则，则满足条件的集合 的有（）
A. 4 个B. 7 个C. 8 个D. 15 个
若集合 ， ，则（）
B. C. D.
人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
命题“ ， ”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
若， ，， ，则下列说法正确是（）
若 ， ，则
若 ，则
若 ，，则
若 ，则
如图，已知二次函数 的图象顶点在第一象限，且经过 、两个点．则下列说法正确的是：① ；② ；③ ；④ ．（）
A. ①②B. ①③④C. ①②④D. ①②③④
已知函数 的图象关于轴对称，且对于，当 时，
恒成立，若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
下列说法正确的是（）
“ ”是“”的充分不必要条件
“且”是“ ”的充要条件
某文具店搞活动，1 个笔记本与 2 支圆珠笔价格之和大于 6 元，而 2 个笔记本与 1 支圆珠笔价格之和小于 4 元，则 3 个笔记本的价格比 2 支圆珠笔的价格低
购买同一种物品，可以用两种不同策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量
一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则用第一种方式购买更实惠
已知关于 的一元二次不等式 的解集为，则下列说法正确的是（）
若 ，则
若 ，则关于 的不等式 的解集也为
且
，则
若
若 ，则关于不等式的解集为或
下列说法错误是（）
不等式 的解集为
函数的定义域是
若 ，则函数的最小值为 2
当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
设正实数 ， ， ，满足 ，则当取得最大值时， 的最大值为
若不等式 的解集为，则；不等式 的解集为
记号 表示， 中取较小的数，如 ，已知函数 是定义域为的奇函数，
且当 时，，若对任意 ，都有 ，则实数的取值范围是.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
已知命题 p：方程 有两个不相等的实数根；命题 q： ．
若为假命题，求实数 m 的取值范围；
，
或
若 p，q 中一真一假，求实数 m 的取值范围．
16 设全集 ，集合
．
当 时，求图中阴影部分表示的集合 ；
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
已知 是一元二次方程 的两个不等实数根．
若 均为正根，求实数 的取值范围；
求使 的值为整数的 的整数值；
已知函数 ，其中 .
若 在区间上具有单调性，求的取值范围；
当 时，函数 的最大值为，求实数的值.
对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若 ，那么称点 是点 的“上位点”.同时点 是点 的“下位点”；
试写出点 的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
已知点 是点 的“上位点”，判断点 是否既是点 的“上位点”，又是点 的“下位点”，证明你的结论；
设正整数 满足以下条件：对集合 内的任意元素，总存在正整数 ，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数 的最小值.
2025 年秋期长寿中学高一年级半期考试数学试题
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
设集合，则（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用元素与集合的关系判断得解.
【详解】集合 ，则，ACD 错误，B 正确.故选：B
已知⫋ ，且若 ，则，则满足条件的集合 的有（）
A. 4 个B. 7 个C. 8 个D. 15 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出集合 A 即可.
【详解】因为⫋ ，
都满足题意，共 7 个.
故选：B.
若集合，，则（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 ，与集合 求交集即可得解.
【详解】因为 ，则 ，又 ，所以 .
故选：B
人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据必要不充分条件的定义结合“学以成人”即可判断.
【详解】“学好数学”不一定能推出“成人”，充分性不成立，
“成人”能推出“学好数学”，必要性成立， 故“学好数学”是“成人”的必要不充分条件．故选：B．
命题“ ， ”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由特称命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得.
【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为 ， .
故选：C
若， ，， ，则下列说法正确的是（）
若 ， ，则
若 ，则
若 ，，则
若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的相关性质可推理判断选项 A,D，通过举反例判断选项 B,C.
【详解】对于 A 选项，由 可得 ，因 ，故不能判断 的值正负，故 A
项错误；
对于 B 选项，因时， ，故 B 项错误；
对于 C 选项，取 满足 ，，但是 有 ，故 C 项错误；
对于 D 选项，因 ，故，又因，故 ，
由不等式的同向皆正可乘性可得：，移项得： ，故 D 项正确.
故选：D.
如图，已知二次函数 的图象顶点在第一象限，且经过 、两个点．则下列说法正确的是：①；② ；③ ；④ ．（）
A. ①②B. ①③④C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.
【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则 ，图象与 轴交点为，所以 ，
顶点在第一象限，对称轴 ，又 ，所以，所以 ，①说法正确；
因为图象经过 、 两个点，所以，解得 ，因为 ，，所以，②说法正确；
由得 ，即 ，③说法正确；因为图象顶点在第一象限，且经过 ，
由二次函数的对称性可知与 轴另一个交点的横坐标在 上，
所以当 时， ，
，
，
又 ，所以 ，即 ，④说法正确；
综上①②③④正确；故选：D
已知函数 的图象关于轴对称，且对于，当 时，
恒成立，若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据函数的性质，把函数不等式转化 为 与的代数不等式，进一步转化成不等式恒成立的问题，结合基本（均值）不等式求参数的取值范围.
【详解】由已知可得，函数 为偶函数，
又对于 ，当 时，恒成立，即，若 ，都有 成立，
则在上单调递减，
又函数 为偶函数，则 在 上单调递增，
又对任意的 恒成立 ，则可得．当 时，不等式为显然成立；
当 时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可．
因，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A．
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
下列说法正确的是（）
“ ”是“”的充分不必要条件
“且”是“ ”的充要条件
某文具店搞活动，1 个笔记本与 2 支圆珠笔价格之和大于 6 元，而 2 个笔记本与 1 支圆珠笔价格之和小于 4 元，则 3 个笔记本的价格比 2 支圆珠笔的价格低
购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则用第一种方式购买更实惠
【答案】AC
【解析】
【分析】对于 A，解出的范围，再去判断；
对于 B， 找一组特例，就可以分析出和且关系；
对于 C，设笔记本价格为 a，圆珠笔价格为 b，根据条件判断 正负；对于 D，用调和平均数和算术平均数的不等关系求解.
，则
，
【详解】对于 A 选项，
则 推出，推不出 ，
所以 是充分不必要条件，故 A 正确； 对于 B 选项，且能推出 ； （比如 ）推不出且，
所以且是 的充分不必要条件，故 B 错误；
对于 C 选项，设 1 个笔记本价格 a 元，1 支圆珠笔价格 b 元，则 ，
令
，
，得，
所以，由 ，所以 ，则 3 个笔记本的价格比 2 支圆珠笔的价格低，故 C 正确；
对于 D 选项，设第一次价格为 A1，第二次价格为 A2，第三次价格为 A3，，
第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，平均价格，
第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，平均价格，
由调和平均数算术平均数，可得第二种优惠，故 D 错误．故选：AC．
已知关于 的一元二次不等式 的解集为，则下列说法正确的是（）
若 ，则
若 ，则关于 的不等式 的解集也为
且
，则
若
若，则关于 的不等式的解集为或
【答案】ACD
【解析】
，且
和
【分析】对于 A 和 D，根据条件，利用一元二次不等式的解法，得 ，且 ，即可求解；对于 B，由题是可得 ，从而得不等式 的解集，即 的解集，即可求解；对于 C，利用一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】对于 A，因为，则
是方程 的两根，
，则
，
则 ，得到 ，所以 ，故 A 正确；对于 B，若
，即
，
此时 等价于
显然一元二次不等式 与一元二次不等式 解集不相等，所以 B 错误；
对于 C，令 ，因为 ，则 图象开口向下，且与 轴有一个交点或无交点，
所以 且 ，故 C 正确；
对于 D，因为 ，由选项 A 知， ，且 ，
由 ，得到 ，即 ，解得或 ，所以 D 正确，故选：ACD.
下列说法错误的是（）
不等式 的解集为
函数的定义域是
若 ，则函数的最小值为 2
当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是
【答案】AC
【解析】
或
，
【分析】由一元二次不等式的解法可得 A 错误；由具体函数的定义域可得 B 正确；由基本不等式可得 C 错误；分 ， ，当 时由二次函数的性质可得 D 正确；
【详解】对于 A，不等式 等价于 ，解得
所以不等式的解集为或 ，故 A 错误；
对于 B，由题意可得，解得，所以函数 的定义域是
，故 B 正确；
对于 C，函数 ，当且仅当时取等号，但在 内无解，故 C 错误；
对于 D，当时，不等式变为，恒成立，符合题意；
当 时，由二次函数的性质可得，解得 ，
综上 的取值范围是，故 D 正确；故选：AC.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
设正实数 ， ， ，满足 ，则当取得最大值时， 的最大值为
【答案】##
【解析】
【分析】将 化为，利用基本不等式可求出 时，取最大值，进而化简为，结合二次函数性质，即得答案.
【详解】由题意知正实数 ，，，满足 ，
即，则，
则
，
，故
，
当且仅当 ，即 时取等号，故，即最大值为 ，此时
当
，即
时，取最大值，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题涉及到多个变量，因此解答时要将变量转化 单变量问题解决.
若不等式 的解集为，则；不等式 的解集为
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】由题意确定 的两根 求得 ，即可求解.
【详解】由题意方程 ，有两根 ，
所以，解得： ，所以 ，
所以 即为： ，
即
，
即
，
所以解集为：，
故答案为：，
记号 表示， 中取较小的数，如 ，已知函数 是定义域为的奇函数，且当 时，，若对任意 ，都有 ，则实数的取值范围是.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知定义，结合奇函数的性质，求出函数的解析式并画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】因为函数 是定义域为的奇函数，所以有，当 时，由，
所以，
时，
，
因为函数 是定义域为的奇函数，
所以当
因此函数 的图象如下图所示：
因为对任意 ，都有，
所以将函数的图象向右平移后，图象在的非下方，因此有 且 ，解得，且 ，
因此实数的取值范围是，
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
已知命题 p：方程 有两个不相等的实数根；命题 q： ．
若为假命题，求实数 m 的取值范围；
若 p，q 中一真一假，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意 为真命题，则有 即可求解；
（2）由 p，q 中一真一假，分 真， 假和 假， 真，两种情况分类讨论即可求解.
【小问 1 详解】
由题意有：为假命题，所以 为真命题，
又由方程 有两个不相等的实数根，
所以 ，
所以实数 m 的取值范围为 ；
【小问 2 详解】
由（1）有 为真命题，则 ，因为 p，q 中一真一假，
所以当 真， 假时，有，
当 假， 真时，有，
综上所述， ，
所以实数 m 的取值范围为.
，
或
设全集 ，集合．
当 时，求图中阴影部分表示的集合 ；
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
或
【答案】（1）
（2）条件选择见解析，
【解析】
【分析】（1）当 时，求出集合及 ，结合图形分析出阴影部分表示的集合 ，再根据交集的定义求解即可；
（2）先分析出选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到 ，然后分 和 两种情况讨论，列出不等式，求解即可.
【小问 1 详解】
因为全集 ，集合 或 ，
当 时， ，
或
.
所以
或
．
所以图中阴影部分表示的集合小问 2 详解】
① ；② ；③ ，
选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到 ，当时， ，解得 ；
或
，
当 时，
解得或，所以 .
综上可知，实数的取值范围是 ．
已知 是一元二次方程 的两个不等实数根．
若 均为正根，求实数 的取值范围；
求使 的值为整数的 的整数值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题可得 ，判别式 和，运算得解；
（2）利用韦达定理化简，结合题意求解.
【小问 1 详解】
由题意，一元二次方程有两个正根 ，
故 ，得 ，
且，解得： .
【小问 2 详解】
由题意，，
又当 ，即 时，且 ，
故
，
由于为整数，故 只能取，又 ，
故整数 的值为 .
已知函数 ，其中 .
若 在区间上具有单调性，求的取值范围；
当 时，函数 的最大值为，求实数的值.
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案；
（2）根据对称轴 和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是 得到的值.
【小问 1 详解】
因为二次函数 的图象开口向下，对称轴为 ，且 在上具有单调性，所以，当 在上单调递减时， ；当 在上单调递增时， .所以，实数的取值范围是 ．
【小问 2 详解】
二次函数 的图象开口向下，对称轴为 ，
①当时， 在上单调递减，此时 ，因为当 时，函数最大值为，即 ，
解得 或 ，所以 ；
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时，无解，所以不存在，
③当 时， 在上单调递增，
此时，
因为当 时，函数 的最大值为，
所以 ，解得 或 ，所以
综上所述， 或 .
对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若 ，那么称点 是点 的“上位点”.同时点 是点 的“下位点”；
试写出点 的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
已知点 是点 的“上位点”，判断点 是否既是点 的“上位点”，又是点 的“下位点”，证明你的结论；
，
设正整数 满足以下条件：对集合 内的任意元素，总存在正整数 ，使得点 既是点 的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数 的最小值.
【答案】（1）
（2）是，证明见解析（3）4039
【解析】
【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点 的一个“上位点”的坐标为 ，一个“下位点”的坐标为 ；
由点 是点 的“上位点”得出 ，然后利用作差法得出与、 的大小关系，
结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论；
先由推导出 ，结合（2）中的结论，可得 ， ，满足条件，可得出 的最小值.
【小问 1 详解】
由
，
根据题意的定义可得点 的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和.
【小问 2 详解】
点 既是点 的“上位点”，又是点 的“下位点”，证明如下：因为点是点的“上位点”，所以，
因为，
所以 ，所以点 是点 的“下位点”，因为 ，
所以 ，所以点 是点 的“上位点”；
所以点 既是点 的“上位点”，又是点 的“下位点”；
【小问 3 详解】
若正整数 满足条件，在 ， 时恒成立，即 ，
所以所以，
在
，
所以 ，
所以 ，
又由（2）中的结论可知， ， 时，满足条件，因此， 的最小值为 4039．
时恒成立，