山西省太原市2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试卷

这是一份山西省太原市2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了AB10，1 2i，1，………15 分 17，证明等内容，欢迎下载使用。

2025-2026 年第一学期高三年级期中学业诊断试卷一．选择题： BDCBBDAC
2
二．选择题： 9.AB10.ABD11.ACD
三．填空题:12.1 2i
四．解答题：
13.1
3n 1
解：（1）由题意得 A {x | 2  x  3} ，B {x | 1 x 1}，CU B {x | x  1或 x 1}，
 A ∩ (CU B)  (2,1] ∪[1,3) ；………6 分
（2）当 x  0 时， f (x)   f ( x)   x2
x 2  4 x, x  0,
 4x ，
f ( x)
 x 2  4 x, x  0.
………8 分
由（1）得 A ∩ (CU B)  (2,1] ∪[1,3) ，
当 x  (2,1] 时， 3  f (x)  4 ；当 x [1,3) 时，  4  f (x)  3 ；
当 x  A ∩ (CU B) 时 f (x) 的值域为[4,3] ∪[3,4) .………13 分
解：（1）在△ ABD 中，由余弦定理得
AD2  AB2  BD2  2AB  BD csABD  1 4  4 cs 60  3 ，
3
 AD ， BD 2  AB 2  AD 2 ，BAD  90 ，ADB  30 ，
CAD  CBD ，ACB  ADB  30 ，………4 分
在△ ABC 中，由正弦定理得
AC
sin ABC
AB，
sin ACB
 AC 
AB  sin ABC
sin ACB
 AB  sin(60  45) 
6 2
sin 302
BCAB
.………8 分
（2）在△ ABC 中，由正弦定理得
sin BAC
 sin ACB ，
 BC 
AB  sin BAC 
sin ACB
1
AB  sin(90 ) sin 30
 2 cs，………12 分
△ BCD 的面积为 S 
BC  BD sin CBD  2 sincs  sin 2 1， 2
当且仅当 45 时，△ BCD 的面积 S 取最大值1.………15 分 17.（1）证明：由题意得 an1  (n  1)  2an  (n 1)  (n  1)  2(an  n) ， ………3 分
n
{an  n} 是以 a1  1  2 为首项、q  2 为公比的等比数列.………5 分
n
（2）由（1）得 an  n  2
，即 an  2
 n(n  N *
2n  n, n为奇数,
)
， bn  
n, n为偶数,
……8 分
当 n 为偶数时， Sn  (b1  b3  bn1 )  (b2  b4  bn )
 (a  a  a)  (2  4  n)  (2 1) (23  3) [2n1 (n 1)] (2  4  n)
13n1
 (2  23  2n1)  n  2  (2n 1)  n ；………12 分
232
当 n 为奇数时， S  Sb 2 (2n1 1)  n 1 (n 1)  2 (2n1 1)  n 1.
nn1
n13
232
2n2  n  7
3

综上，Sn  
, n为奇数,
26
…………15 分
2n1  n  2
 3
, n为偶数.
23
18.（1）证明：取 SD 中点G ，连接 AG, FG ,
△ SDE 是等边三角形， AG  SD ，2 分
 F 为 SC 的中点， FG // DC ， DC  2FG ，
又 AB // DC ， CD  2AB , FG // AB, FG  AB ，
四边形 ABFG 为平行四边形， BF // AG ， BF  SD .5 分
由（1）得 BF  SD ， SB  BC ， F 为 SC 的中点， BF  SC ，
 SD ∩ SC  S ， BF  平面 SCD ， BF  CD ，7 分
由（1）得 BF // AG ， AG  CD ，
又 AD  DC ， AD ∩ AG  A ，CD  平面 SAD .10 分
以 D 为原点，DA, DC 所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，过点 S 作 SH  AD,垂足为 H ,设 HS 与 y 轴正方向的夹角为(0) ,不妨设 AB 2 ,
z
S
G
F
D
H
C
y
A
x
B
则 A(2,0,0) , B(2,2,0), H(1,0,0), S(1, 3cs, 3sin)，
 BS  (1, 3 cs 2, 3 sin) ，12 分
设 m  (x, y, z) 是平面 SAD 的一个法向量，则m  DA, 2x  0,


m  DS,
x 
3 cs y 
3 sin z  0,
令 y  sin，则 x  0, z  cs， m  (0,sin, cs) ，13 分
设直线 SB与平面 SAD 所成角为，
sin| cs  m, BS | | m  BS | 
2sin
sin
，14 分
| m || BS |
8  4 3 cs
2  3 cs
令 f () 
sin
2  3 cs
， 0 ，则 f () 
2(2 
3，
( 3 cs1)( 3  cs)
3 cs) 2
设cs 3 ， 0  .当(0,) 时， f ()  0 ；当 (,) 时， f ()  0 ，
13111
 f ()
max
 f (1) 
，直线 SB 与平面 SAD 所成角正弦值的最大值为
6
3
6
.……17 分
3
19.解： f ( x)  e  sin xx 
x
exsin xax ，………2 分
a1
当 a  1 时， f ( x)  ex  sin x  x ， f ( x)  ex  cs x 1，
①由题意得 f (x) 在 x  0 处的切线方程为 y  f (0)  f (0) x ，即 x  y  1  0 ；……4 分
]
②证明：设 g ( x)  f ( x)  ex  cs x 1, x [ 3,  ，则 g( x)  ex  sin x ，
22
]
 y  ex 和 y   sin x 在[ 3,  上均单调递增，
22
]
 g( x)  ex  sin x 在[ 3,  上均单调递增，………5 分
 g(
7
)  e
6
 71
6 
2
2
 1  1
e2
2

， g()  e  0
0
∴存在唯一零点 x   7,  ，使得 g x   0 ，
060

x   3
 3

当2 , x0 时， g  x   0 ， g  x 单调递减，即 f  x  在  2 , x0 上单调递减；


当 x  ( x , 时， g( x)  0 ， g ( x) 单调递增，即 f ( x) 在(x , 上单调递增，
02 )02 )
 3

∴ x0 是函数 f
 x 在
,  内唯一的极小值点,………8 分
22 
∵ x   7,  ，∴ 0  sin x  1 ．………10 分
060
2
不妨设 x1  x2 ，原不等式等价于 f (x1 )  f (x2 )  x1  x2 ，即 f (x1 )  x1  f (x2 )  x2 ，
设 h( x)  f ( x)  x ， x [0,] ，则 h( x1 )  h( x2 ) ，
由 x1 , x2 的任意性，可知 h( x) 在[0,] 上单调递增，………12 分
 h( x)  f ( x) 1  ex  cs x  (a  1)  0 在[0,] 上恒成立，
即 a  1  ex  cs x 在[0,] 上恒成立，………14 分令t( x)  ex  cs x ， x [0,] ，则t( x)  ex  sin x  1  sin x  0 ，
 t( x) 在[0,] 上单调递增， a  1  t( x)min  t(0)  2 ， a  1，
实数 a 的取值范围为(,1] .………17 分
注：以上各题其它解法请酌情赋分.