山西省太原市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山西省太原市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．圆的圆心坐标为( )
A.B.C.D.
3．过点和的椭圆的标准方程为( )
A.B.C.D.
4．已知，，且，则( )
A.B.C.D.
5．直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为( )
A.B.
C.D.
6．已知直线与圆相交于A，B两点，则的最小值是( )
A.1B.2C.D.
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆C上存在一点M使得的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．在如图所示的试验装置中，正方形框ABEF的边长是2，矩形框ABCD中，它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在线段AC和BF上移动，则MN的长的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知椭圆，则下列说法中正确的是( )
A.椭圆C的焦点在x轴上B.椭圆C的长轴长是
C.椭圆C的焦距为4D.椭圆C的离心率为
10．已知正四棱锥中，，E是PB的中点，O是底面ABCD的中心，则下列说法正确的是( )
A.
B.直线DE与AP所成角的余弦值为
C.直线DE与平面ABCD所成角的余弦值为
D.点O到直线DE的距离为
11．已知圆，点是圆C上的一点，则下列说法正确的是( )
A.圆C关于直线对称
B.已知，，则的最小值为
C.的最小值为
D.的最大值为
三、填空题
12．直线在y轴上的截距为_________.
13．已知圆C经过直线与圆的公共点和点，则圆C的一般方程为_________.
14．已知F是椭圆学的左焦点,点P是E上的一点,点M是圆上的一点,则的最小值为___________.
四、解答题
15．已知的三个顶点，，.
(1)求边AB上的中线所在直线的一般式方程；
(2)求边AB上的高所在直线的斜截式方程.
16．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D是的中点，E在上，且，记，，.
(1)用向量，，表示向量；
(2)求OE的长.
17．已知圆与圆.
(1)若圆与圆相内切，求F的值；
(2)在(1)的条件下，直线被圆截得的弦长为，求实数k的值.
18．如图、四棱锥的底面ABCD是菱形，，.
(1)求证：平面平面ABCD；
(2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.
19．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间.当滑标M在滑槽内作往复运动时，滑标N在滑槽GH内随之运动，放置于D处的笔尖便可画出椭圆，即动点D的轨迹C为椭圆.如图2所示.设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，记，.
(1)若，，求椭圆C的方程；
(2)证明：动点D的轨迹C为椭圆；
(3)若，过O作两条互相垂直的射线分别交椭圆C于点P、Q，求证：点O到直线PQ距离为定值.
参考答案
1．答案：D
解析：由题可得直线的斜率为,倾斜角为:.
故选:D
2．答案：A
解析：圆可化为
圆的圆心坐标为
故选A
3．答案：B
解析：由题意可得椭圆焦点在x轴上,
且,故椭圆方程为.
故选:B
4．答案：C
解析：由于,
且,故,整理得,
解得.
故.
故选:C
5．答案：B
解析：由得两直线交点为，直线l斜率与相同，为，
则直线l方程为，即.
故选：B.
6．答案：D
解析：直线
可化为1),
由可得
所以直线恒过定点.易知当直线l与直线CP垂直时,弦|AB|最短,
因为,
所以.
故选D
7．答案：A
解析：由题得的面积为.
因为的内切圆半径为，
所以的面积可表示为.
所以，
所以.
因为，所以，两边平方得，又，
所以，整理得，
两边同时除以得，又，
解得.
故选A.
8．答案：C
解析：如图，因平面平面ABEF，且平面平面，
又矩形ABCD，则，
又平面ABCD，则平面ABCD，
因正方形ABEF，故可以AB,BE,BC
所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则，连结AN，
设，
设，
则
则,
故当时，取得最小值为，
此时取得最小值.
故选:C.
9．答案：ABD
解析：因为,所以椭圆C的焦点在x轴上,故A正确;
由椭圆C的方程可知,所以椭圆C的长轴长是,故B正确;
由椭圆C的方程可知,所以椭圆C的焦距为,故C错误;
椭圆C的离心率,故D正确.
故选ABD.
10．答案：ACD
解析：
11．答案：ABD
解析：圆,可化为,圆心,半径3,
A.显然直线过点,其为圆C的圆心,
因此圆C关于直线对称,因此选项A正确。
B.点是圆C上的一点,有,
设,.,,
则
,因此选项B正确.
C.,因此选项C错误.
D.，
理解成点与点连线的斜率,取最大时,
即为过点的直线与圆相切时直线的斜率,故设过点的直线为,即,
圆心到的距离,
解得或(舍去),
即的最大值为,
因此选项D正确.
故选：ABD.
12．答案：1
解析：直线在y轴上的截距,
就是时y的值,.
直线在y轴上的截距为：1
故答案为:1.
13．答案：
解析：联立或.
所以直线与圆的公共点为和
所以圆C经过点和点，
设圆的一般方程为，
则，
所以圆C的一般方程为.
故答案为:
14．答案：
解析：记E的右焦点为,
所以,
所以,
所以
,
当且仅当点C在线段上,点C在线段上时等号成立,
所以的最小值为.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)设是边AB的中点，
则
，
边AB上的中线CD的一般式方程为；
(2)，，
，边AB上的高所在直线的斜率
边AB上的高所在直线的斜截式方程为.
16．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)连接OD，
则；
(2)由(1)得，
，
17．答案：(1)-5
(2)
解析：(1)，
，
，
，
，，
圆与圆相内切，
，
，
；
(2)由(1)得，圆的方程为，，，
故圆心到直线的距离，
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：设O是AD的中点，连结OP，OB，
四边形ABCD是菱形，，
，
，
，
，
平面ABCD，
平面平面ABCD；
(2)由(1)得，，，
以O为原点，OA，OB，OP
所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，，
设是平面PAB的一个法向量，
则
令，则，
设是平面PCD的一个法向量，
则
令，则，
，
平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为
19．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)由题意可设椭圆C的方程，
则，，
椭圆C的方程为；
(2)设，，，
由题意得，，
，，
，
整理得，
当时，动点D的轨迹C是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；
当时，动点D的轨迹C是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.
(3)由题意可得椭圆C的方程，
当直线PQ的斜率不存在时，设其方程为，
则，
点O到直线PQ距离为；
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为，，，
由
得，
，，
，
即，
点O到直线PQ距离为，
综上所述，点O到直线PQ距离为定值.