山西省太原市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷

这是一份山西省太原市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：上午 8：00—10：00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间 120 分钟，满分 150 分.
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 抛物线 y2=4x 的焦点坐标是
A. （0,2） B. （0,1） C. （2,0） D. （1,0）
2. 双曲线 的顶点坐标为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 已知抛物线以圆 的圆心为焦点，则其标准方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知双曲线的一个焦点为 ，其离心率 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线 C 以椭圆方程 E： 的焦点为顶点，以 E 的顶点为焦点，则双曲线 C 的标准方程为
（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点 P 是抛物线 上一点，则点 P 到直线 的距离的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D.
7. 已知直线 与双曲线 相交于 、 两个不同点，点 是
的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
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A. B. C. D.
8. 古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中对圆锥曲线给出了统一定义，即到定点的距离与到定直
线的距离的比是常数 e 的点的轨迹叫做圆锥曲线.当 时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；
当 时，轨迹为双曲线.若方程 表示的曲线是双曲线，则实数 k 的取值范
围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知 ， ，双曲线 ： 与 ： ，则下列结论正确的是（ ）
A. 它们的实轴长相等 B. 它们的焦点相同
C. 它们的离心率相等 D. 它们的渐近线相同
10. 已知直线 l： ，抛物线 C： ，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 l 过定点
B. 当 时，直线 l 与抛物线 C 相切
C. 当 时，直线 l 与抛物线 C 有两个公共点
D. 当直线 l 与抛物线 C 无公共点时， 或
11. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 1675 年法国天文学家卡西尼在研
究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知平面直角坐标系中， ， ，动点 P 满足
，记动点 P 的轨迹为曲线 C，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线 C 关于原点对称 B. 点 P 的横坐标的取值范围为
C. 面积的最大值为 2 D. 的取值范围为
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 抛物线 准线方程是___________________.
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13. 已知过抛物线 C： （ ）的焦点 F 且斜率为 的直线与 C 相交于 A，B 两个不同点，若
，则 （O 是坐标原点）的面积为__________.
14. 已知双曲线 E： 的左焦点为 F，点 M 是 E 右支上的动点，点 N 是圆 上的
动点，则 的最大值为__________.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）已知抛物线 C 经过点 ，求 C 的标准方程和焦点坐标；
（2）已知双曲线 C 经过点 ， ，求 C 的标准方程和焦点坐标.
16. 已知点 在抛物线 C： （ ）上，且点 P 到 C 准线的距离为 2.
（1）求 C 方程；
（2）设圆 与抛物线 C 相交于 A，B 两个不同点，求 的值.
17. 已知点 ， ，动点 P 满足 ，记点 P 轨迹为曲线 C.
（1）求曲线 C 的方程，并说明曲线 C 的形状；
（2）若双曲线 E 右焦点是曲线 C 的对称中心，其渐近线是曲线 C 的切线，求双曲线 E 的标准方程.
18. 已知点 ， ，直线 PM 与 PN 相交于点 P，且它们的斜率之积为 ，记点 P 的轨迹
为曲线 C.
（1）求曲线 C 的标准方程；
（2）若直线 l： 交曲线 C 于 A，B 两点，点 （不在直线 l 上），是否存在实数 k，使得直
线 QA 与 QB 的斜率之和为 0？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.
19. 椭圆有很好的光学性质.如图，从椭圆 C 的一个焦点 发出的光线，被椭圆上点 P 反射后，反射光线经
过另一个焦点 ，且椭圆在点 P 处的切线 l 与 的平分线 l＇（即法线）垂直.已知椭圆 C 的中心为坐
标原点 O，左、右顶点分别为 A，B，焦点为 ， .由 发出的光线经椭圆 C 两次反射
后回到 所经过的路程为 8c.过点 作直线 l 的垂线，垂足为 D， .
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（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）当点 P，A，B 不共线时，设 内切圆的圆心为 ，求实数 n 的取值范围；
（3）过点 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点（均与 A，B 不重合），直线 AM 交直线 于点 G，证明：
B，N，G 三点共线.
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