2025-2026学年福建省厦门外国语学校九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年福建省厦门外国语学校九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面四张图中，属于中心对称图形的是（ ）
A. 太极曲线B. 三叶玫瑰形曲线
C. 蝴蝶形曲线D. 笛卡尔心形线
2.抛物线y=-2（x+1）2+3的最大值为（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 3
3.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.二次函数y=ax2-3x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.二次函数y=x2-2px+3的顶点式为y=（x-2）2+m,则p的值为（ ）
A. 3B. 2C. 1D. -2
6.二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
则下列判断中正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上B. 抛物线与y轴交于负半轴
C. 当x＞1.5时，y随x的增大而减小D. 当x=-1时y＞0
7.​​​​​​​二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是（ ）
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A. m≥-4B. m≥0C. m≥5D. m≥6
8.如图，⊙C过经原点O，并与两坐标轴交于A、D两点，已知∠OBA=30°，点D的坐标为，则点A的横坐标为（ ）
A.
B.
C. 2
D.
9.如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程，已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有一个解为-1，则下列结论正确的是（ ）
A. a=c,b=1B. a=b,c=0C. a=-c,b=0D. a=b=c
10.已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）上有三点（2，y1），（4，y2），（6，y3）.其中y1•y3＜0.为了比较y1，y2，y3的大小关系，小明认为可以用满足已知条件的特殊的a值和b值来猜测结论，而后再对所猜测的结论进行证明.受到小明想法的启发，我们可以得到y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A. y2＜y1＜y3B. y1＜y2＜y3C. y3＜y1＜y2D. y3＜y2＜y1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.二次函数y=x2+x-2与y轴交点的纵坐标为 .
12.如图，在⊙O中，∠BAC=45°，则∠BOC的度数为 .
13.把抛物线y=-x2+1先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为 .
14.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC=12，AD是△ABC的角平分线且AD=8.把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点B的对应点是点E，则点B与点E之间的距离是 .
15.如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=120°，在这个图中，仅用无刻度的直尺能准确画出的圆周角的度数是 .（除120°外，请写出全部可能的结果）
16.刘徽的割圆术是中国古代数学中通过圆内接正多边形逼近圆面积以计算圆周率的方法.该方法由魏晋数学家刘徽于3世纪中期在《九章算术注》中系统提出，其核心思想是通过倍增正多边形的边数，使其周长无限接近圆周长.具体做法是：
（1）初始分割：从圆内接正六边形开始（因正六边形边长等于圆的半径）；
（2）逐步倍增：将边数依次加倍为12边形、24边形、48边形…，计算每次所得正多边形的面积；
（3）极限逼近：随着边数增加，正多边形的面积越来越接近圆面积，当边数无限增多时，正多边形面积趋近于圆的面积；
刘徽通过计算正3072边形，得出圆周率约为3.1416（徽率），比传统的“周三径一”精确得多.该方法蕴含了早期极限思想，提出“割之弥细，所失弥少”的数学原理.其外推技术（如面积差分比）早于西方16世纪类似方法，对后世祖冲之计算圆周率至小数点后七位奠定基础.假设圆的半径是1个单位长度，若刘徽在上述计算过程中，设所取的圆内接正3×2n边形（n为某正整数）的边长为xn，此圆的内接正3×2n+1边形的边长为xn+1，且满足：，则n= .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
用适当的方法解下列方程：x2-6x+1=0.
18.(本小题10分)
已知二次函数y=x2-4x+2.如图，在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象；并结合图象直接写出当0＜x＜5时的y的取值范围.
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，∠ABD=∠ACB，求证：AB是⊙O的切线.
20.(本小题10分)
已知抛物线的顶点为Q，抛物线C2的解析式为：.
（1）求抛物线C1与x轴的交点横坐标.
（2）判断将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后是否落在C2上，并说明理由.
21.(本小题10分)
如图，已知△ABC是等边三角形，点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE.
（1）求证：AE=BD；
（2）若∠ADC=30°，AD=2，，求点E到直线AD的距离.
22.(本小题10分)
【材料的疏水性】
“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质.
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图①所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角，图①中的∠PMN就是水滴的一个接触角.材料的疏水性随着接触角的变大而变强.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图②中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角（保留作图痕迹）；
（2）实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图③）.请探索图③中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由；
（3）材料的疏水性除了用接触角以及图③中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化.
23.(本小题10分)
通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动.经研究发现，血药浓度y（单位：μg/mL）与时间x（单位：h）满足某种函数关系.
假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度y与时间x近似满足函数关系y=a（x-h）2+k（a≠0），如表记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度y与时间x的几组对应值：
（1）求这位患者第一次服用该药后的血药浓度y与时间x满足的函数关系；
（2）这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为t小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同.若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为24μg/mL.
①当t=3时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由；
②当该药的血药浓度不低于7μg/mL时，它对治疗疾病有疗效.若要求该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，请直接写出t的取值范围.
24.(本小题10分)
已知：在平面直角坐标系xOy中，点O为原点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m,2），点B在抛物线的对称轴上，四边形ABCD为菱形.
（1）若抛物线S的顶点在一次函数y=nx+3（n≠1且n≠0）的图象上，求此时抛物线S的表达式；
（2）在（1）的条件下：当时，请在图1的坐标系中画出菱形ABCD的示意图，判断点D是否在抛物线S上，并请说明理由；
（3）定义：若点F（a,b），G（c,d）（a＜c）在某抛物线S′上，点H（r,s）（a＜r＜c）是抛物线S′上的一个动点，则当△FHG的面积取到最大值时，称△FHG为抛物线S′关于点F和点G的内弓三角形.更进一步地，古希腊伟大的数学家阿基米德曾证明出抛物线S′在a≤x≤c的这部分图象（即抛物线上介于点F和点G之间的部分）与线段FG围成的弓形面积等于其内弓三角形FHG的面积的，这是一个令人惊叹的数学结论，显露出了早期的微积分思想萌芽.
抛物线S上的点F和点G的坐标分别为（0，3）和（4，7），在（1）的条件下，回答下面两个小题：
①当1＜m＜4时，是否存在m,使得△FDG为抛物线S关于点F和点G的内弓三角形？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；
②填空：抛物线上介于点F和点G之间的部分与线段FG围成的弓形面积的大小为______.
25.(本小题10分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC平分∠BAD，DE⊥AB于点E，DE的延长线交⊙O于点F，连接AF和BF，
（1）如图1，若点O在线段DE上，⊙O的弦AC为⊙O的直径，AC=2，求劣弧的长.
（2）如图2，过点C作CH⊥AB于点H，AD+BH=BE，探究：当BC=AF时，AH与BH的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，连接BD，∠ACD+∠BCD=2∠ADB，AH=5BH，BD=10，求AB的长.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】-2
12.【答案】90°
13.【答案】y=-（x+1）2+4
14.【答案】
15.【答案】90°、60°、30°
16.【答案】1
17.【答案】，．
18.【答案】；-2≤y＜7．
19.【答案】∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，
∴∠BDC=90°，
∴△BDC中，∠ACB+∠DBC=180°-∠BDC=90°，
∵∠ABD=∠ACB，
∴∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°，
∴AB是⊙O的切线．
20.【答案】0和4；
由C1：得，，
∴顶点为Q（2，-2），
∴C1的顶点Q向左平移2个单位长度后坐标为（0，-2），
当x=0时，，
∴点（0，-2）在图象上，
∴无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上
21.【答案】由旋转可知∠DCE=60°，CD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD；
点E到直线AD的距离为3
22.【答案】水滴的接触角∠PMN，如图②即为所求；

∠ CAD=2∠BAC；理由如下：
如图③，AD为切线，连接OA，则OA=OB，

∴∠ABC=∠OAB，OA⊥AD，
∴∠OAB+∠BAD=90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵∠ABC=∠OAB，
∴∠BAD=∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC；∠CAD=2∠BAC，理由见解析；
可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）
23.【答案】这位患者第一次服用该药后的血药浓度y与时间x满足的函数关系为：y=-（x-4）2+16；
①该患者存在中毒风险，理由见解答部分；
②该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，t的取值范围为：4＜t≤7
24.【答案】；
点D在抛物线S上；理由如下：
菱形ABCD的示意图，如图1即为所求；

当时，则点C的坐标为，
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴点B在y轴上，
∴设点B的坐标为（0，b），
∵A（0，4），
∴AB在y轴上，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，
∴点D的横坐标为，
∵AB=BC，
∴AB2=BC2，
∴，
解得：b=0，
∴B（0，0），
∴AB=4-0=4，
∴CD=AB=4，
∵AB∥CD，
∴点D的坐标为，即，
把代入得：，
∴点在抛物线S上；
①存在；D（2，4）；
②
25.【答案】；
AH=3BH；理由如下：
如图2，AC平分∠BAD，CH⊥AB，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，

∴CH=CG，∠BAC=∠GAC，
∴BC=CD，，
∵AC=AC，
在Rt△BCH和Rt△DCG中，
，
∴Rt△BCH≌Rt△DCG（HL），
∴BH=DG，
在△ACH和△ACG中，
，
△ACH≌△ACG（AAS），
∴AH=AG，
∵AD+BH=BE，
∴AD+DG=BE，即AG=BE，
∴AH=BE=AG，
∴AH-HE=BE-HE，即BH=AE，
∵BC=AF，∠AEF=∠CHB=90°，
∴Rt△AEF≌Rt△BHC（HL），
∴∠EAF=∠HBC，
∴AF∥BC，
∴四边形ACBF是平行四边形，
∴∠AFB=∠ACB，
又∵∠AFB+∠ACB=180°，
∴∠ACB=90°，
∴AB是直径，
∵DF⊥AB，
∴EF=DE，，
又∵BC=AF，
∴，
∴，
∴，
∴∠BAC=30°，∠HBC=60°，
∴，AB=2BC，
∴，
∴AH=3BH；
12 x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
-2
…
x（h）
0
1
2
3
4
5
…
y（μg/mL）
0
7
12
15
16
15
…