2025-2026学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，该几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中的a，b，c满足a−b+c=0，则方程必有根( )
A. x=0B. x=1C. x=−1D. x=±1
3.如图，DE//BC，AD：BD=2：3，EC=12，则AE的长是( )
A. 6
B. 8
C. 12
D. 20
4.如图，AC为菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，若∠EAC=25∘，则∠ADC度数为( )
A. 30∘
B. 50∘
C. 60∘
D. 75∘
5.函数y=kx(k≠0)与函数y=kx−k在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC，若AC=4，则四边形CODE的周长为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
7.在平面直角坐标系中，四边形ABCD顶点A的坐标为(2,−4)，若以原点O为位似中心，画出四边形A′B′C′D′，使它与四边形ABCD的相似比为32，则点A′的坐标为( )
A. (3,−6)B. (−6,3)C. (3,−6)或(−3,6)D. (−6,3)或(6,−3)
8.秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为( )
A. 1+x=121B. (1+x2)=121
C. 1+x+x2=121D. 1+x+x(1+x)=121
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.已知a2=b3，则aa+b= .
10.已知关于x的方程x2+4x−k=1有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 .
11.反比例函数的图象经过点(−2,8)、(a,−4)及(8,b)，则3a+2b= .
12.如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为 .
13.如图，在边长为10的正方形ABCD中放入矩形EFGH和正方形GMCN，点E，F，H分别在边AB，BC，AD上，且EF=2EH，则阴影部分的面积为 .
14.已知m，n是方程x2−10x+3=0的两根，则代数式−9m+n+m2的值等于 .
15.如果关于x，y的二元一次方程组−2x+y=5mx−2y=9有解，且关于x的一元一次不等式组2x+5≥04x−m≤1有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数m的值之和是 .
16.如图，矩形ABCD中，∠ACD=30∘，边AD=6 3，DM⊥AC于点M，连接BM，则图中阴影部分的面积是 .
17.若一个三位正整数的百位数字比十位数字大3，则称这个数是“嘉数”.例如742，∵7−4=3，∴742是“嘉数”；例如431，∵4−3≠3，∴431不是“嘉数”.则最小的“嘉数”是 .若“嘉数”N的百位数字、十位数字、个位数字依次为a，b，c，并规定：F(N)=a+c，P(N)=a−b+c，其中F(N)6是整数，且5+P(N)3也是整数，则满足以上条件的“嘉数”N的最大值是 .
18.如图，在菱形ABCD中，点E是边BC的中点，P是菱形ABCD内一动点，连接PB、PE，若AB=8，△PBE的面积为34，则PB+PE的最小值为 .
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
计算，解方程：
(1)计算：| 3−2|+(−12)−2−(2025− 32)0+2 3+1；
(2)解方程：4x2+x−12=0.
20.(本小题8分)
如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20米到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致.
(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置.
(2)估计路灯AO的高，并求影子PQ长度.
(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题.如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.测得DF=0.5m，EF=0.3m，CD=10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高AB为______m.
21.(本小题8分)
为了让同学们更加热爱体育运动，我校在“薪火相传，运动无限”的主题运动会前，组织了一次体育知识竞赛.竞赛结束后，从竞赛成绩(单位：分满分100分均不低于60分，中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图.其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)B组15个成绩的平均数为______分；
(2)本次被抽取的所有成绩的个数为______；本次被抽取的所有成绩的中位数为______分；
(3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数.
22.(本小题10分)
已知四边形ABCD为平行四边形，将▱ABCD的边AB延长到E，使得BE=AB，连接DB，连接DE交BC于点O，且满足∠BOD=2∠A.
(1)如图1，求证：四边形DBEC为矩形；
(2)如图2，点F为AD中点，连接BF，CF，若∠BFC=90∘，AB=2，求▱ABCD的面积.
23.(本小题10分)
【问题背景】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”.如图1中，若∠PQR=∠PRQ，则直线PQ与直线PR称为“等腰三角线”；反之，若直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，则∠PQR=∠PRQ.
【构建联系】
(1)如图1，若直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为(2,5)、(−3,0)，求直线PR的解析式；
【深入探究】
(2)如图2，直线y=14x与双曲线y=1x交于点A、B，点C是双曲线y=1x上的一动点，且点C在点A的左侧，点C的横坐标为n(n>0)，直线BC、AC分别与x轴于点D、E；
①求证：直线AC与直线BC为“等腰三角线”；
②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接EF，当∠EFD=∠DCA时，求出线段DF+EF的值(用含n的代数式表示).
24.(本小题8分)
今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措.某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销.
(1)原售价为每台6000元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台3840元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？
(2)经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为4200元时，平均每月能售出10台；如果售价每降价100元，那么平均每月可多售出2台.已知购进这款洗衣机的单价是3000元，商家决定每台洗衣机降价60m元进行销售.根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得30m元的补贴.若商家所获的总利润为13800元，尽可能让利于顾客，求m的值.
25.(本小题10分)
已知反比例函数y=kx(x>0)的图象与正比例函数y=6x(x≥0)的图象交于点A(a,6 2)，点B是线段OA上(不与点A重合)的一点.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点B作y轴的垂线l，l与y=kx(x>0)的图象交于点D，当线段BD=3时，求点B的坐标；
(3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转90∘得到点E，当点E恰好落在y=kx(x>0)的图象上时，平面内是否存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由.
26.(本小题12分)
某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究.
【问题发现】
(1)如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ.则CQ与BP的数量关系是：______；
【问题提出】
(2)如图②，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ.试说明PB⋅AQ=AP⋅CQ；
【问题解决】
(3)如图③，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，点Q是正方形APEF的对称中心，连接CQ.若正方形APEF的边长为8，CQ=3 2，求正方形ADBC的边长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：该几何体的俯视图为：.
故选：C.
根据从物体上方向下看得到的视图为俯视图，由此得解．
本题考查了简单的几何体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键．
2.【答案】C
【解析】解：把x=−1代入一元二次方程ax2+bx+c=0得a−b+c=0，
所以方程必有一根为x=−1.
故选：C.
根据一元二次方程解得定义进行判断．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.【答案】B
【解析】∵，DE//BC，AD：BD=2：3，EC=12，
∴ADBD=AEEC=23，
∴AE12=23，
解得：AE=8，
故选：B.
由平行线分线段成比例定理得ADBD=AEEC=23，即可得出结论．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵AE⊥BC于点E，∠EAC=25∘，
∴∠AEC=90∘，
∴∠ACB=90∘−∠EAC=65∘，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，
∴∠BAC=∠ACB=65∘，
∴∠ADC=∠B=180∘−∠BAC−∠ACB=50∘，
故选：B.
由AE⊥BC于点E，得∠AEC=90∘，因为∠EAC=25∘，所以∠ACB=90∘−∠EAC=65∘，由菱形的性质得AB=CB，则∠BAC=∠ACB=65∘，求得∠ADC=∠B=50∘，于是得到问题的答案．
此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，求得∠BAC=∠ACB=65∘是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查反比例函数图象与性质和一次函数图象与性质有关知识，分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：A.∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k>0，
∴−k0，
∴−k−5
【解析】解：根据题意得Δ=42−4×1×(−k−1)>0，
解得k>−5.
故答案为：k>−5.
根据判别式的意义得到Δ=42−4×1×(k−4)>0，然后解不等式即可
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ