2023-2024学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，四象限B. y随x的增大而减小，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.这是一个水平放置的木陀螺(上面是圆柱体，下面是圆锥体)玩具，它的主视图( )
A.
B.
C.
D.
2.“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”.2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的mate60系列低调开售.据统计，截至2023年10月21日，华为mate60系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为( )
A. 0.16×107B. 1.6×106C. 1.6×107D. 16×106
3.一个不透明的盒子中装有5个大小相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球，记下其颜色.然后再放回，这样重复做了1000次摸球试验，摸到黄球的频数为400，则估计其中的黄球个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.调查某少年足球队18位队员的年龄，得到数据结果如表：
则该足球队队员年龄的众数和中位数分别是( )
A. 13岁，12岁B. 13岁，14岁C. 13岁，13岁D. 13岁，15岁
5.小刚身高1.6m，测得他站立在阳光下的影子长为0.8m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1m，那么小刚举起手臂超出头顶( )
A. 2mB. 0.6mC. 0.5mD. 0.4m
6.如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OB=3OB′，则△A′B′C′的面积与△ABC的面积之比是( )
A. 1：3B. 2：3C. 1：6D. 1：9
7.我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三.问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱，可列方程组为( )
A. y=7x−2y=6x+3B. y=7x+2y=6x−3C. 7x=y+2y=6x−3D. 7x=y−2y=6x+3
8.下列关于反比例函数y=8x的说法正确的是( )
A. 图象位于第二、四象限B. y随x的增大而减小
C. 函数图象过点(−2,4)D. 图象是中心对称图形
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9.若1 3−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.分解因式：ax2−2ax+a=______．
11.已知 5+2是方程x2−4x+c=0的一根，则c= ______ ．
12.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=2，则BC= ______ ．
13.如图，△ABC中，以点A为圆心任意长为半径画弧交线段AB、AC于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧交BC于点D，折叠△ABC，使点A与点D重合，折痕交线段AB、AC于点E、F，若∠BAC=60°，AD=2 2，则AE= ______ ．
14.已知关于x的方程x2+(2m−1)x+m2=0有两个实数根，此方程两根分别为α，β，且αβ+α+β=9，则m的值为______ ．
15.若有六张完全一样的卡片正面分别写有−1，−2，0，1，2，3，现背面向上，任意抽取一张卡片，其上面的数字能使关于x的分式方程k−1x−1=2的解为正数，且使反比例函数y=3−kx图象过第一、三象限的概率为______ ．
16.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得过点D作∠ECM=30°，DF⊥CM，垂足为F，若DF= 3，则对角线BD的长为______ ．
17.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(a,b)，若点P′的坐标为(ka+b,a+bk)(其中k为常数且k≠0)，则称点P′为点P的“k关联点”.已知点A在反比例函数y= 3x的图象上运动，且点A是点B的“ 3关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为______．
18.如图，△ABC中，∠A=45°，∠ABC=60°，AB=1+ 3，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为______ ．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19.(1)解方程：x2−6x+8=0；
(2)求不等式组2x+5≤3(x+2)①2x−1+3x2<1②的解集，并写出满足该不等式组的非负整数解之和．
20.成都市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A−篮球，B−足球，C−排球，D−羽毛球，E−乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校王老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图(如图)．
(1)求出该班的总人数，并补全条形统计；
(2)求出“足球”在扇形的圆心角是多少度；
(3)该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好都选修足球的概率．
21.“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端(点F，M，D，N，B在同一条直线上).若测得FM=1.5米，DN=1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
22.如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)连接BD交AC于点O，若BD=14，AE+CF=EF，求EG的长．
23.正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E.在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
(1)如图1，双曲线y=k1x过点E，求点E的坐标和反比例函数的解析式；
(2)如图2，将正方形ABCD向右平移m(m>0)个单位长度，使过点E的双曲线y=k2x与AB交于点P.当△AEP为等腰三角形时，求m的值．
24.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=−2x+100.(利润=售价−制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
25.如图1，在平面直角坐标系中，OA=OB=15OC=2，经过A，B两点的直线与反比例函数y=kx在第一象限内的图象交于点D，经过A，C两点的直线与反比例函数y=kx在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为(3,5)．
(1)求直线AC的解析式及E点的坐标；
(2)若y轴上有一动点F，直线AB上有一动点G.当EG+ 22AG最小时，求△EFG周长的最小值；
(3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线AB上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，求P点的坐标．
26.在正方形ABCD中，点G是边AB上的一个动点，点F、E在边BC上，BF=FE=AG，且AG≤12AB，GF、DE的延长线相交于点P．
(1)如图1，当点E与点C重合时，求∠P的度数；
(2)如图2，当点E与C不重合时，过D作DN⊥GP于点N，若DN=4，求DP长；
(3)在(2)的条件下，连接CN、BP，取BP的中点M，连接MN，在点G的运动过程中，求MNNC的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下：
故选：A．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2.【答案】B
【解析】解：1600000=1.6×106，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：∵做了1000次摸球试验，摸到黄球的频数为400，
∴估计摸到黄球的概率是：4001000=0.4，
∴估计其中的黄球个数为：5×0.4=2(个)．
故选：B．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据概率公式即可得出答案．
此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：该足球队队员年龄13岁出现的次数最多，故众数为13岁．
数据共18个，中位数为第9个和第10个数据的平均数，
∴中位数为：13+132=13(岁)．
故选：C．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
本题考查了中位数和众数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
5.【答案】D
【解析】解：设小刚举起的手臂超出头顶是xm
根据同一时刻物高与影长成比例，得x1−0.8=1.60.8，x=0.4．
故选：D．
在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
此题考查相似三角形的应用，能够根据同一时刻物高与影长成比例，列出正确的比例式，然后根据比例的基本性质进行求解．
6.【答案】D
【解析】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，
∴A′B′/​/AB，△A′B′C′∽△ABC，
∴△OA′B′∽△OAB，
∴A′B′AB=OB′OB=13，
∴△A′B′C′的面积与△ABC的面积之比=(13)2=1：9，
故选：D．
根据位似图形的概念得到A′B′/​/AB，△A′B′C′∽△ABC，根据题意求出A′B′AB=13，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱，
∴y=7x−2；
∵每人出六钱，又差三钱，
∴y=6x+3．
∴根据题意可列方程组y=7x−2y=6x+3．
故选：A．
根据“今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵8>0，
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴选项A、B不符合题意；
当x=−2时，y=8−2=−4≠4，
∴选项C不符合题意；
∵反比例函数y=8x的是关于原点对称的中心对称图形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
根据反比例函数的性质对每个选项进行判断，即可得出答案．
本题考查了反比例函数图象上点的特征，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
9.【答案】x<3
【解析】解：由题意得3−x>0，
解得x<3，
故答案为：x<3．
根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．
题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
10.【答案】a(x−1)2
【解析】解：ax2−2ax+a，
=a(x2−2x+1)，
=a(x−1)2．
先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11.【答案】−1
【解析】解：根据题意知，x= 5+2满足关于x的方程得(2+ 5)2−4×(2+ 5)+c=0，
解得c=−1．
故答案为：−1．
将x= 5+2代入已知方程，列出关于c的新方程，通过解新方程来求c的值即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
12.【答案】3− 5
【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，
∴AC= 5−12AB= 5−1，
BC=AB−AC=3− 5．
故本题答案为：3− 5．
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值( 5−12)叫做黄金比．
此题考查了黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值．
13.【答案】2
【解析】解：如图，设AD与EF的交点为G，
由题意，可得AD为∠BAC的角平分线，
∴∠EAD=30°，
∵折叠△ABC，使点A与点D重合，
∴AG=DG，AG⊥EG，
∵AD=2 3，
∴AG=12AD= 3，
在Rt△AEG中，
AE=2 33AG=2．
由题意得AD为∠BAC的角平分线，故可得∠EAD=30°，根据折叠的性质得到AG=DG= 3，AG⊥EG，解直角三角形，即可解答．
本题考查了翻折的性质，角平分线的性质，含有30°角的直角三角形的三边关系，熟知翻折的性质是解题的关键．
14.【答案】解：(1)x2−6x+8=0，
(x−2)(x−4)=0，
x−2=0或x−4=0，
x1=2，x2=4；
(2)解不等式①，得x≥−1，
解不等式②，得x<3，
∴不等式组的解集为−1≤x<3，
∴其非负整数解为0，1，2，
∴0+1+2=3．
【解析】(1)利用因式分解法求出一元二次方程的解即可；
(2)求出不等式组的解集，确定出非负整数解即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，解一元二次方程，根据题意求出不等式组的解集是解题的关键．
15.【答案】解：(1)∵C有12人，占24%，
∴该班的总人数有：12÷24%=50(人)，
∴E有：50×10%=5(人)，
A有50−7−12−9−5=17(人)，
补全频数分布直方图为：

(2)“足球”在扇形的圆心角是：360°×750=50.4°；
(3)画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，选出的2人恰好都选修足球，有2种情况，
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为：212=16．
【解析】(1)由C有12人，占24%，即可求得该班的总人数，继而求得A与E的人数，即可补全频数分布直方图；
(2)由(1)可得“足球”在扇形的圆心角是360°×750；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2人恰好选修足球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及扇形统计图与频数分布直方图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】解：设NB的长为x米，则MB=x+1.1+2.8−1.5=(x+2.4)米．
由题意，得∠CND=∠ANB，∠CDN=∠ABN=90°，
∴△CND∽△ANB，
∴CDAB=DNBN．
同理，△EMF∽△AMB，
∴EFAB=FMBM．
∵EF=CD，
∴DNBN=FMBM，即1.1x=1.5x+2.4．
解得x=6.6，
∵CDAB=DNBN，
∴1.6AB=1.16.6．
解得AB=9.6．
答：大树AB的高度为9.6米．
【解析】设NB的长为x米，则MB=x+1.1+2.8−1.5=(x+2.4)米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合CDAB=DNBN求得大树的高．
本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG=CH，
在△AGE和△CHF中，
AG=CH∠GAE=∠HCFAE=CF，
∴△AGE≌△CHF(SAS)，
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠HFE，
∴GE/​/HF，
又∵GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
(2)解：连接BD交AC于点O，如图：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BD=14，
∴OB=OD=7，
∵AE=CF，OA=OC，
∴OE=OF，
∵AE+CF=EF，AE=CF，
∴2AE=EF=2OE，
∴AE=OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG=12OB=72．
【解析】(1)证△AGE≌△CHF(SAS)，得GE=HF，∠AEG=∠CFH，则∠GEF=∠HFE，得GE/​/HF，即可得出结论；
(2)先由平行四边形的性质得出OB=OD=7，再证出AE=OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E，
∴C(4,4)，
∵点E是OC 的中点，
∴E(2,2)，
将E点坐标代入双曲线y=k1x，
得2=k12，
解得k1=4，
∴双曲线的解析式为y=4x；
(2)∵正方形边长为4，
由(1)知E(2,2)，
∴AE=2 2，
①当AP=AE=2 2时，
∵P(m,2 2)，E(m+2,2)，点P、E在反比例函数图象上，
∴2 2m=2(m+2)，
∴m=2 2+2；
②当EP=AE时，点P与点B重合，
∵P(m,4)，E(m+2,2)，点P、E在反比例函数图象上，
∴4m=2(m+2)，
∴m=2；
③当EP=AP时，点P、E不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在；
综上所述，满足条件的m的值为2或2 2+2．
【解析】(1)根据正方形的边长可确定C点的坐标，再利用正方形的性质得出E点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可；
(2)根据E点的坐标求出AE的长，再分三种情况讨论分别求出m的值即可．
本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键．
19.【答案】−2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+m2=0有实数根，
∴Δ=(2m−1)2−4×1×m2=−4m+1≥0，
解得：m≤14，
根据根与系数的关系，可得α+β=1−2m，αβ=m2，
∵αβ+α+β=9，
∴m2+1−2m=9，
整理得：m2−2m−8=0，
解得：m1=−2，m2=4，
又∵m≤14，
∴m=−2．
故答案为：−2．
先根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出α+β=1−2m，αβ=m2，结合αβ+α+β=9，可得出关于m的一元二次方程，解之取其小于等于14的值即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有实数根”；(2)根据根与系数的关系结合αβ+α+β=9，找出关于m的一元二次方程．
20.【答案】12
【解析】解：∵关于x的分式方程k−1x−1=2的解为正数，
∴x=k+12>0，且x=k+12≠1．
∴k>−1，且k≠1．
∴k=−2，0，2，3．
又反比例函数y=3−kx图象过第一、三象限，
∴3−k>0，即k<3．
∴k=−2，0，2．
综上，k的取值共有6种等可能情形，其中符合题意的有3种等可能情形，
∴满足题意的概率为：36=12．
故答案为：12．
依据题意，由关于x的分式方程k−1x−1=2的解为正数，从而x=k+12>0，且x=k+12≠1，故可得k的范围，再由反比例函数y=3−kx图象过第一、三象限，进而可以求出k的可能值，然后由概率公式进行计算可以得解．
本题主要考查了概率公式；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，得到使分式方程有正数解的情况数是解决本题的关键．
21.【答案】2 3
【解析】解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
又∵∠ECM=30°，
∴∠DCF=50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=40°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=40°，
在△CDH和△CDF中，
∠CHD=∠CFD∠HDC=∠FDCDC=DC，
∴△CDH≌△CDF(AAS)，
∴DH=DF= 3，
∴DB=2DH=2 3．
故答案为：2 3．
连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．
本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，掌握菱形的对角线互相平分是解题的关键．
22.【答案】(34, 34)或(−34,− 34)
【解析】解：设B(x,y)，
∵点A是点B的“ 3关联点”，
∴A( 3x+y,x+y 3)
∵点A在函数y= 3x(x>0)的图象上，
∴( 3x+y)(x+y 3)= 3，
即： 3x+y= 3或 3x+y=− 3，
当点B在直线y=− 3x+ 3上时，
设直线y=− 3x+ 3与x轴、y轴相交于点M、N，则M(1,0)、N(0, 3)，
当OB⊥MN时，线段OB最短，此时OB=1× 32= 32，
由∠NMO=60°，可得点B(34, 34)；
设直线y=− 3x− 3时，同理可得点B(−34,− 34)；
故答案为：(34, 34)或(−34,− 34).
由点A是点B的“ 3关联点”，可设点B坐标，表示出点A坐标，由点A在函数y= 3x的图象上，就得到点B在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点M、N，过Q作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段QB，此时QB最小，由∠NMO=60°可得出点B的坐标．
考查反比例函数的图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质等知识，合理地把“坐标与线段的长”互相转化，是解决问题的关键，由于新定义一种概念，切实理解“关联点”的意义是解决问题的前提．
23.【答案】 34
【解析】解：如图，作CM⊥AB于M，作EN⊥AB于N，
∵∠A=45°，∠ABC=60°，
∴△ACM是等腰直角三角形，∠BCM=30°，
∴AM=CM，CM= 3BM，
设BM=x，则AM=CM= 3x，
∴AB=x+ 3x=1+ 3，
解得：x=1，
∴BM=1，CM=AM= 3，
设AD=y，则DM= 3−y，BD=1+ 3−y，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DCE=60°，CD=CE，
∴∠DCM+∠BCE=30°=∠BCM，
在MB上截取MH=MD= 3−y，连接CH，
则CD=CH=CE，
∵CM⊥DH，
∴∠DCM=∠HCM，
∴∠BCH=∠BCE，
在△BCH和△BCE中，
CH=CE∠BCH=∠BCEBC=BC，
∴△BCH≌△BCE(SAS)，
∴∠CBH=∠CBE=60°，BH=BE=BD−2DM=1+ 3−y−2( 3−y)=y− 3+1，
∴∠EBN=60°，
∵EN⊥AB，
∴∠BEN=30°，
∴BN=12BE，EN= 3BN= 32BE= 32(y− 3+1)，
∵△BDE的面积=12BD×EN=12×(1+ 3−y)× 32(y− 3+1)= 34(−y2+2 3y−2)=− 34(y− 3)2+ 34，
∴当y= 3，即AD= 3时，△BDE面积的最大值为 34．
故答案为： 34．
作CM⊥AB于M，作EN⊥AB于N，求出BM=1，CM=AM= 3，设AD=y，则DM=3−y，BD=1+ 3−y，在MB上截取MH=MD= 3−y，连接CH，则CD=CH=CE，证明△BCH≌△BCE(SAS)，得出∠CBH=∠CBE=60°，BH=BE，由直角三角形的性质得出BN=12BE，EN= 3BN= 32BE，由三角形面积公式求出△BDE的面积即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积、二次函数最值等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
24.【答案】解：(1)z=(x−18)y=(x−18)(−2x+100)=−2x2+136x−1800，
∴z与x之间的函数解析式为z=−2x2+136x−1800；
(2)由z=350，得350=−2x2+136x−1800，
解这个方程得x1=25，x2=43，
所以，销售单价定为25元或43元，
将z═−2x2+136x−1800配方，得z=−2(x−34)2+512，
因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；
(3)结合(2)及函数z=−2x2+136x−1800的图象(如图所示)可知，
当25≤x≤43时z≥350，
又由限价32元，得25≤x≤32，
根据一次函数的性质，得y=−2x+100中y随x的增大而减小，
∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×(−2×32+100)=648(万元)，
因此，所求每月最低制造成本为648万元．
【解析】(1)根据每月的利润z=(x−18)y，再把y=−2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，
(2)把z=350代入z=−2x2+136x−1800，解这个方程即可，把函数关系式变形为顶点式运用二次函数的性质求出最值；
(3)根据销售单价不能高于32元，厂商要获得每月不低于350万元的利润得出销售单价的取值范围，进而解决问题．
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值，第(3)小题关键是确定x的取值范围．
25.【答案】解：(1)∵OA=OB=15OC=2，
∴A(−2,0)，B(0,2)，OC=10，
∴C(0,10)，
∴设直线AC的解析式为y=mx+10，
∴−2m+10=0，
∴m=5，
∴直线AC的解析式为y=5x+10①，
∵点D(3,5)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=3×5=15，
∴反比例函数的解析式为y=15x②，
联立①②解得，x=1y=15或x=−3y=−5，
∵点E在第一象限内，
∴E(1,15)；
(2)如图1，

由(1)知，A(−2,0)，B(0,2)，
∴直线AB的解析式为y=x+2，
过点G作GH⊥x轴于H，
∵OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∴GH= 22AG，
∴EG+ 22AG=EG+GH，
∴点G在EH上，且EH⊥x轴，
即G(1,3)时，EG+ 22AG最小，如图2，

作点G(1,3)关于y轴的对称点G′，连接FG′，则FG′=FG，
∴G′(−1,3)，
连接EG′交y轴于F′，
此时，△EFG的周长最小，其值为EG+F′G+EF′=EG′+EG=2 (1+1)2+(15−3)2+12=2 37+12，
即△EFG周长的最小值为2 37+12；
(3)由(2)知，直线AB的解析式为y=x+2，
设P(p,p+2)，Q(0,q)，
∵以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形，D(3,5)，E(1,15)，
Ⅰ、当PQ与DE为对角线时，12(p+0)=12(3+1)，
∴p=4，
∴P(4,6)，
如图3，

过点P作PK⊥AC于K，
∵A(−2,0)，C(0,10)，
∴AC=2 26，
∴S△APC=12AC⋅PK=12BC⋅(xP−xA)，
∴12×2 26⋅PK=12(10−2)⋅(4+2)，
∴PK=12 2613，即点P到直线AC的距离为12 2613；
Ⅱ、当PE与DQ为对角线时，12(p+1)=12(3+0)，
∴p=2，
∴P(2,4)，
同Ⅰ的方法得，点P到直线AC的距离为8 2613；
Ⅲ、当PD与QE为对角线时，12(p+3)=12(1+0)，
∴p=−2，
∴P(−2,0)，此时，点P与点A重合，
∴点P到直线AC的距离为0；
即即点P到直线AC的距离为12 2613或8 2613或0．
【解析】(1)先确定出点A，C坐标，再用待定系数法求出直线AC的解析式，再用待定系数法求出反比例函数解析式，联立求出点E坐标；
(2)先判断出GH= 22AG，进而判断出EH垂直于x轴时，EG+ 22AG最小，进而求出点G坐标，再判断出点F在EG′上时，△EFG的周长最小，即可求出答案；
(3)分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出点P坐标，最后用三角形的面积求出点P到直线AC的距离．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标的求法，三角形的面积的求法，平行四边形的性质，对称性，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
26.【答案】解：(1)∵EF=BF=AG，E与C重合，
∴BF=CF=BG=AG，
∴∠BGF=45°，
∵AB/​/CD，
∴∠P=∠BGF=45°．
(2)如图2，过D作DN⊥GP于点N，连接BD，取BD中点O，连接OG，OF，OC．

在正方形ABCD中，OC=OB，∠OCF=∠OBG=45°，
又∵AG=BF，
∴BG=CF，
∴△OCF≌△OBG(SAS)．
∴OG=OF，∠COF=∠BOG，
∴∠GOF=∠BOC=90°，
∴△GOF为等腰直角三角形．
又∵O，F分别是BD，BE的中点，
∴OF/​/DE，
∴∠P=∠OFG=45°，
∵DN⊥GP，
∴△DNP是等腰直角三角形，
∴NP=DN=4，
∴DP= DN2+NP2= 42+42=4 2；
(3)如图3所示，取DP中点Q，连接NQ，BD，MQ，

由题意可得，△DNP为等腰直角三角形，
∵Q为DP中点，
∴NQ⊥DP．
设∠CDP=α，则∠NDC=45°+α，∠BDP=45°−α，
∵M，Q分别是BP，DP的中点，
∴MQ/​/BD，
∴∠MQP=∠BDP=45°−α，
∴∠NQM=90°−(45°−α)=45°+α，
∴∠NQM=∠NDC．
又∵MQBD=12，CDBD= 22，
∴MQCD= 22，
又∵△NQD为等腰直角三角形，
∴NQND= 22，
∴NQND=MQCD= 22，
∴△NQM∽△NDC．
∴MNNC=NQND= 22．
【解析】(1)属于基础问题，根据图形性质求解即可．
(2)利用辅助线构造正方形中常见的旋转型全等，结合中位线得出∠P=∠OFG=45°，△DNP是等腰直角三角形，然后利用勾股定理解答即可；
(3)本题辅助线是关键，通过题目中给出的中点条件考虑可取其他中点结合中位线推导，并找到一组旋转型相似的三角形，进而解决问题．
本题属于相似形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活选择辅助线并需要熟练掌握正方形的性质以及相似三角形模型是解答本题的关键．年龄岁
11
12
13
14
15
人数
2
6
7
2
1