（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末考点题型练习专题24 空间角及距离问题（2份，原卷版+解析版）

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1．异面直线所成的角的求法
平移法:将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形
2．线面角的求法
在斜线上任取一点作平面的垂线，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解．
3．面面角的求法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角
3．点到面距离的求法
转化为三棱锥等体积法求解.
考点一 异面直线所成的角
例1．在正四面体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取中点，由线面垂直的判定可得平面，由线面垂直的性质可得.
【详解】取中点，连接，
均为等边三角形，为中点，，，
，平面，平面，
又平面，，即异面直线与所成的角为.故选：A.
例2．在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，，可得即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为2，由余弦定理可得答案.
【详解】连接，，，则，则即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为2，则，，则，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.
例3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据得是异面直线与所成角或其补角，再根据几何关系求解即可.
【详解】解：如图，连接，设因为底面为正方形，所以，所以是异面直线与所成角或其补角.因为平面，平面所以，
因为，平面，所以平面，因为平面，
所以因为为的中点，+,所以，
所以，在中，，，所以异面直线与所成角的余弦值是.故选：A
例4．在直三棱柱中，，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别取的中点，连接，分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，进而求解即可.
【详解】如图分别取的中点，连接，如下图所示：
因为为直三棱柱，且点是的中点，所以，且，则四边形为平行四边形，所以，同理，所以异面直线与所成角为或其补角，
因为分别为的中点，所以，，，
因为，所以，在中，，因此，直线与所成角的余弦值为.故选：A.
例5．如图，已知正四棱锥的底面边长和高的比值为3，若点E是棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据正四棱锥的结构特征找到异面直线与所成的角，然后通过解三角形即可得解.
【详解】如图，连接交于点，连接，
则为的中点，且平面，因为是棱的中点，所以，所以异面直线与所成的角为或其补角，因为平面，所以，又，所以面，又面，所以，设，，则由题意得，，，所以在中，，即异面直线与所成角的正切值为.故选：C.
例6．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则与所成角的正切值为______．
【答案】
【分析】易证得，由异面直线所成角定义可知所求角为，由长度关系可求得结果.
【详解】设圆锥底面圆心为，连接，
为弧的两个三等分点，，又，为等边三角形，，，即为异面直线与所成角，平面，平面，，，，，
即与所成角的正切值为.故答案为：.
例7．已知正方体，O是底对角线的交点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求证：平面.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）采用平移法将异面直线与所成角，转化为直线与所成角,解三角形即可求得答案；（2）证明，，根据线面面垂直的判定定理即可证明结论.
【详解】（1）连接，因为，
故四边形为平行四边形，则，
则异面直线与所成角，即为直线与所成角,
即为所求角或其补角，
设正方体棱长为2，在中，，
则,
故异面直线与所成角的余弦值为.
（2）连接，则,
又平面，平面，则，
又平面，故平面，
平面，故，
同理可证，而平面，
所以平面.
考点二 线面角
1.求线面角
例8．在正四棱柱中，是的中点，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据线面角定义，先证明为与平面所成的角，再根据题设条件求出利用正弦的定义即可求解.
【详解】依题意，可得如图：
设底面的中心为，
易得平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
取的中点，连接，则，所以平面，连接，
则为与平面所成的角.因为，
所以.所以.故选：A.
例9．在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接交于点，连接，可得为所求线面角，从而计算可得答案.
【详解】连接交于点，连接，则，
因为平面，平面，
所以，，平面，平面，
所以平面，所以为所求线面角，
，，
.
故选：C
例10．如图所示，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任意一点．若，，记直线与平面所成的角为，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知线面关系找出直线与平面所成的角为及，并用含的代数式表示，再利用基本不等式求其最大值．
【详解】因为为以为直径的圆上异于的任意一点，所以，即．
又垂直于以为直径的圆所在的平面，即平面，又平面，所以．
又，且PA、AC在面PAC内，所以平面．所以直线与平面所成的角为，即．设，，则，且，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立，故选：D．
例11．如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________．
【答案】
【分析】结合长方体的结构特点，可知与平面所成的角为，由及勾股定理可得，进而可求出得出结果.
【详解】长方体中，因为，，所以，，，因为底面，平面，所以，所以与平面所成的角为，，由条件可得，解得，
因此，因为，所以，与平面所成的角为，故答案为：
例12．已知矩形，，为的中点，现分别沿，将和翻折，使点重合，记为点．
(1)求证：
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取的中点，连接，先利用线面垂直判定定理证得平面，再由线面垂直性质得证；
（2）先利用线面垂直判定定理证得，可得为直线与平面所成角的平面角，从而得解．
【详解】（1）已知矩形，沿，将和翻折，使点重合，记为点，
可得，取的中点，连接，
，，，，
又，，，平面，
，；
（2），，，，
又四边形为矩形，，
，
，
为直线与平面所成角的平面角，，
即直线与平面所成角的正弦值为．
例13．如图，正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点，过作，垂足为.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2).
【分析】（1）线面垂直判定证平面，由正方形性质、线面垂直的性质得、，进而有平面，法一：再应用线面垂直的性质得，最后由线面垂直判定证结论；法二：由面面垂直的判定得平面平面，最后由面面垂直的性质证结论；
（2）法一：证两两垂直并构建空间直角坐标系，求的方向向量与平面的法向量，应用向量夹角的坐标表示求正弦值；法二：由线面角的定义及平面，确定线面角的平面角，进而求其正弦值；法三：以原点，及过平面的垂线分别为轴建立空间直角坐标系，求的方向向量与平面的法向量，应用向量夹角的坐标表示求正弦值；
【详解】（1）证明：在正方形中，连接AC、BD，则，连接EF，
由已知，则，由折叠的性质知，面，
平面，又平面，故.
，平面，平面，
法一：平面，故，
平面，且与相交，平面.
法二：平面，故平面平面，
平面，平面平面，平面.
（2）法一：不妨设正方形的边长为2，由已知得，
则，即，而，故两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，且平面的一个法向量为.
设，则，且.
.
设与平面所成角为，则，
与平面所成角的正弦值为.
法二：设正方形的边长为2，与平面所成角为，
由已知得，则，即，所以，
又，，平面，故平面，
.
在直角中，，
，故，
在中，，
，即与平面所成角的正弦值为.
2.已知线面角
例14．（多选）在长方体中，若直线与平面所成角为45°，与平面所成角为30°，则（ ）．
A．
B．直线与所成角的余弦值为
C．直线与平面所成角为30°
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】BC
【分析】由题意，，设，则，，即可判断A；由可知 或其补角为直线与所成角，利用余弦定理求解可判断B；由题可知直线与平面所成角为，又，，求出可判断C；设点到平面的距离为h，由利用等体积法求出，再利用线面角的定义求解可判断D．
【详解】对于A：如图，设，连接，∵平面，∴直线与平面所成角为，则，
连接，∵平面，∴直线与平面所成角为，则，
在中，，∴，故A错误；
对于B：易知，∴或其补角为直线与所成角，
易知，，，∴，故B正确；
对于C：连接，由平面，可知直线与平面所成角为，
又，，∴，故C正确；
对于D：易知，设点到平面的距离为h，
则，取的中点E，连接BE，
由勾股定理可得，∴，∴，
设直线与平面所成角为，则，故D错误．故选：BC.
例15．设所在的平面，，PB、PC分别与成45°和30°角，，点P到BC的距离是_________________．
【答案】
【分析】根据题意画出几何体，利用线面垂直的判定定理和性质定理即可求得即为点P到BC的距离，由勾股定理计算结果为.
【详解】如图所示：
根据题意可知，又，所以；；
又，所以；
作于，由平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，所以即为点P到BC的距离；
易知，由勾股定理可得.即点P到BC的距离.故答案为：
例16．在四棱锥中，，．
(1)若，证明：平面平面ABCD；
(2)若直线PB与平面ABCD所成的角为，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】(1)取AD中点为O，连接PO，OC，证明OP⊥AD及OP⊥OC得OP⊥平面ABCD即可；
(2)取AD中点为O，连接OP，OB，BD，证明AD⊥平面POB，得到∠PBO为PB与平面ABCD的夹角，解△PBO，求出OB边上高，从而得到P到平面ABCD的距离，从而可求四棱锥的体积．
【详解】（1）
取AD中点为O，连接PO，OC．
∵PA=PD，∴OP⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，，∴∠ODC=120°，
在△ODC中，根据余弦定理得，
，
又，∴，∴，
又AD∩OC=O，AD，OC平面ABCD，
∴OP⊥平面ABCD，
又∵OP平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD；
（2）
取AD中点为O，连接OP，OB，BD，
∵PA=PD，∴OP⊥AD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，则OB⊥AD，
又∵OB∩OP=O，OB，OP平面POB，
∴AD⊥平面POB，则∠BOP为二面角P-AD-B的平面角，则∠PBO为PB和平面ABCD的夹角，
故∠PBO=30°，且△PBO的OB边上的高h即为P到平面ABCD的距离．
又，则在△PBO中，，
，又，∴．
例17．如图①，在平面四边形中，，，．将沿着折叠，使得点到达点的位置，且二面角为直二面角，如图②．已知分别是的中点，是棱上的点，且与平面所成角的正切值为．
(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用三角形中位线性质和线面平行的判定可证得平面，平面，由面面平行的判定可证得结论；
（2）取的中点，根据已知的长度关系和面面垂直性质可证得平面，结合线面角定义可得，由此可确定点位置，从而求得，利用棱锥体积公式可求得结果.
【详解】（1）分别为的中点，，，
平面，平面，
平面，平面，
又，平面，平面平面.
（2）取的中点，连接，
，，为等边三角形，，
又，，为等腰直角三角形，
，；
二面角是直二面角，即平面平面，平面平面，平面，平面，
即为与平面所成角，
，解得：；
在中，由余弦定理得：，
即，解得：，为线段上靠近点的四等分点，
，
.
考点三 面面角
1.求面面角
例18．如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是_________________
【答案】##
【分析】取的中点，连接、，证明出，，可得出二面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.
【详解】取的中点，连接、，如下图所示：
，为的中点，则，且，，，
因为，为的中点，可得，又因为所以，
则二面角的平面角为，由余弦定理得，
因此，二面角的余弦值为.故答案为：.
例19．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．
【答案】
【分析】由线面垂直的判定和性质，结合二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果.
【详解】设，连接，
平面，平面，，，
四边形为正方形，，
，平面，平面，
又平面，，是二面角的平面角，
由，得：.故答案为：.
例20．如图，ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，则二面角M-BD-C的正切值为_________．
【答案】
【分析】取OC的中点N，连接MN，得到MN⊥面ABCD，且得到的值，过点N作NR⊥BD于点R，连接MR，得到∠MRN为二面角M-BD-C的平面角，过点C作CS⊥BD于点S，求得，从而得到，进而求得二面角M-BD-C的正切值．
【详解】取OC的中点N，连接MN，则MN∥PO，∵ PO⊥面ABCD，∴MN⊥面ABCD，，
过点N作NR⊥BD于点R，连接MR，则∠MRN为二面角M-BD-C的平面角，过点C作CS⊥BD于点S，则，在Rt△BCD中，CD·BC =BD·CS， 则，则，
所以，所以二面角M-BD-C的正切值为．故答案为：．
例21．已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为．
(1)求证：；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取中点为，连接，由正四面体的性质得，再由线面垂直的判定及性质证明结论；
（2）取中点为，连接，由正四面体的性质和二面角的定义知为所求二面角的平面角，进而求其正弦值.
【详解】（1）如图所示，取中点为，连接，O为△BCD的中心，
因为△是边长为3的正三角形，，则面，
又与平面所成角的余弦值为，
所以，即，即三棱锥是正四面体，
所以，又平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）如图所示，
取中点为，连接，由（1）知：三棱锥是正四面体，则，
所以二面角的平面角为，另一方面，，
所以由余弦定理得，所以，
所以二面角的平面角的正弦值．
例22．已知直四棱柱的底面为菱形，且，，点为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）连接交于点，通过证明得平面；
（2）方法一：取的中点，证明为二面角的平面角，在三角形中求；
方法二：建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面ACE的法向量，用空间向量求二面角的余弦值.
【详解】（1）连接交于点，连接，
在直四棱柱中，所以四边形为平行四边形，即，
又因为底面为棱形，所以点为的中点，点为的中点，即点为的中点，
所以，即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）方法一：取的中点，连接，，，
在直棱柱中平面，所以，
又因为，，所以平面，
又平面，所以
因为在中，，且点为的中点，所以，
又，而点为的中点，所以，
又，所以平面，又平面，即，
则为二面角的平面角，
在等腰直角三角形中，，又，
在直角三角形中，所以，
即二面角的余弦值为.
例23．如图，直三棱柱中，，.
(1)求直线与平面所成的角；
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）取的中点，连接和，结合条件可证明平面，由直线与平面所成角的定义可得直线与平面所成的角，由解直角三角形即可求解；
（2）取的中点，连接，，先求得，再由二面角的定义找到二面角的平面角，由解直角三角形即可求解.
【详解】（1）
取的中点，连接和，如图所示：因为，所以，
在直三棱柱中，平面，又平面，所以，
因为，、平面，则平面，又平面，
所以，则在中，，即直线与平面所成的角为，
在直三棱柱中，平面，又因为平面，所以，
因为，所以，即，
则，，
所以，则，又，所以，
故直线与平面所成的角为.
（2）
取的中点，连接，，
在直三棱柱中，平面，又因为平面，所以，
因为，，
由（1）知，，所以，，
又平面，平面，所以是二面角的平面角；
又，，，、平面，
所以平面，平面，则，又，
在中，，故二面角的正切值为.
例24．如图所示，点是边长为4的正方形的中心，点分别是的中点，沿对角线把正方形折成直二面角.
(1)求的大小.
(2)求二面角的平面角的正切值.
【答案】(1)120°(2).
【分析】（1）如图过点作，垂足为，过点作，垂足为，由平面向量的线性运算求出EF，根据余弦定理求出，即可求解；
（2）如图过点作垂直的延长线于点，连接，根据面面垂直的性质与三垂线定理可得，则是二面角的平面角，求出即可.
【详解】（1）如图，过点作，垂足为，
过点作，垂足为，则，
二面角为直二面角，得，
.
又在中，，，
又，.
（2）如图，过点作垂直的延长线于点，连接.
二面角为直二面角，平面平面，交线为
又平面，由三垂线定理，得.
是二面角的平面角.
在中，，
二面角的平面角的正切值为.
2.已知面面角
例25．已知在长方体中，，，记平面和平面的交线为，已知二面角的大小为60°，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】如图所示，连接，，得到四点共面，确定二面角的大小为，计算得到答案.
【详解】如图所示：连接，，故四点共面，故平面和平面的交线为，
平面，平面，故，又，平面，平面，
故二面角的大小为，.故选：C
例26．边长为1的两个正方形和构成大小为的二面角，则异面直线和之间的距离为______．
【答案】
【分析】说明是二面角的平面角，过作于，证明是异面直线和的公垂线，求出线段的长即可．
【详解】如图，由，知是二面角的平面角，因此，
且因为，平面，所以平面，过作于，则，
所以是异面直线和的公垂线，的长即为异面直线和之间的距离．
中，，，则，，
所以异面直线和之间的距离为．故答案为：．
例27．已知三棱锥中，，，，若二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【分析】首先根据几何体确定外接球的球心，再求外接球的半径，即可求解三棱锥外接球的表面积.
【详解】取的中点，中点，连结，
因为，所以，，因为，所以，所以，
过点作平面，过点作平面，，
因为点分别是和的外心，所以点是三棱锥的外接球的球心，
因为，，所以，则，所以，
，所以,,
所以，则三棱锥的外接球的半径为，
所以外接球的表面积.故答案为：
例28．如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接、．
(1)求证：平面平面．
(2)当二面角的大小为时，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)四棱锥的体积为.
【分析】（1）由圆锥的几何性质推得平面平面，根据面面垂直的性质及线面垂直的性质，可得，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）由平面平面，，知平面，从而有，，故，进而得，由和棱锥的体积公式，得解．
【详解】（1）证明：是圆的切线，，
由圆锥的性质知顶点在底面圆上的投影为底面圆心，
∴平面，又平面，
∴平面平面，
平面平面，平面，
平面，
，
，，则，，
又，、平面，
平面，
平面，
平面平面．
（2），且为的中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，
，，
为二面角的平面角，即，，
在中，，，
，
四棱锥的体积．
考点四 距离问题
例29．如图所示，在四棱锥中，侧面侧面，，，， ，.
(1)求证：平面平面；
(2)若点A关于中点的对称点为，三棱锥的体积为，求点A到的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到，由面面垂直得到线面垂直，进而证明出面面垂直；
（2）由三棱锥的体积求出点到平面的距离，求出点到平面的距离，由面面垂直得到点到的距离，求出，得到点A到的距离.
【详解】（1）证明：在中，由，，，
由余弦定理得，
可得，所以，故，
因为侧面侧面，平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）由题意可知，，，共面，且四边形是平行四边形.
设点到平面的距离为，
则三棱锥的体积，所以.
因为，所以点到平面的距离也是2，
又因为平面平面，交线为，
所以点到的距离是2，所以.
所以点A到的距离为.
例30．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，、、分别是正方形的三边、、的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图．
(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若二面角是直二面角，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取线段中点，证明四边形是平行四边形，可证平面；
（2）由向量法求点到平面距离，或由体积法求点到平面距离.
【详解】（1）证明：取线段中点，连接、，
由图1可知，四边形是矩形，且，
是线段与的中点，且，
在图1中知且，且，
所以在图2中，且，且，
四边形是平行四边形，则，由于平面，平面，
平面．
（2）解： 法二：同法一知：面，面，
设点到平面的距离为，于是，其中．
另一方面，，
由，知点到平面的距离为．
例31如图，在直三棱柱中，D是的中点，，，．
(1)证明：平面BCD．
(2)求点D到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）确定，根据相似得到，得到线面垂直.
（2）计算，，再根据等体积法计算得到距离.
【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，故，
，，平面，故平面，
平面，． 因为，，所以．
又D是的中点，，所以，所以，则．
因为，平面BCD，所以平面BCD．
（2）．
， 所以．
设点D到平面的距离为d，由，得，
解得，即点D到平面的距离为．
例32．如图（1），已知边长为2的菱形ABCD中，沿对角线BD将其翻折，使，设此时AC的中点为O，如图（2）．
(1)求证：点O是点D在平面上的射影；
(2)求点A到平面BCD的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）连接DO，BO，利用勾股定理证明，再证明平面，即可得证；
（2）利用等体积法求解即可.
【详解】（1）连接DO，因为，O为AC的中点，所以，
设菱形ABCD的边长为2，
又因为，所以，连接BO，则，
又因为，，所以，所以，所以，
又，所以，所以，
又，平面，平面，所以平面，
所以点O是点D在平面上的射影；
（2）设点A到平面BCD的距离为h，由菱形ABCD的边长为2，且，
则的面积为，
则，的面积为，
由（1）知，平面，，
所以，
由得，，所以，即点A到平面BCD的距离为．
例33．如图，四棱锥的底面为矩形，，，侧面底面，是上的动点（不含、点）．
(1)证明：平面平面；
(2)若，，当为的中点时，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据面面垂直证明线面垂直与线线垂直，进而可证线面垂直与面面垂直；
（2）利用等体积转化法求点到平面距离.
【详解】（1）由已知侧面底面，且平面平面，
又底面为矩形，，
平面，即平面，
又平面，，
又，且，，平面，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）
如图所示，取中点，连接，由，，
得，且，，
又侧面底面，平面平面，
平面，，
由（1）得平面，平面，
且平面，平面，，，
又为的中点，，，
设点到平面得距离为，
则，解得，
所以点到平面得距离为.
例34．如图，在三棱锥中，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）证明，，结合线面垂直的判定即可证；
（2）点O到平面PAC距离，即为三棱锥面PAC的高，计算出与即可.
【详解】（1）证明：因为为的中点，所以.
连接，因为，所以.
又，所以，所以.
因为平面平面，所以平面.
（2）因为，
所以，.
，.
设点到的距离为，则，则.
设点到平面的距离为，则.
因为，所以，解得，
即点到平面的距离为.
例35．已知三棱锥的侧棱，．且为靠近的三等分点．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用勾股定理和线面垂直的判定可得平面，由线面垂直性质可得结论；
（2）设点到平面的距离为，可知所求距离为，利用体积，结合棱锥体积公式可构造方程求得，进而得到结果.
【详解】（1），，
，，，，
又，平面，平面，
平面，.
（2）设点到平面的距离为，
为靠近的三等分点，，点到平面的距离为．
，，又，，平面，
平面，
又，；
，，
，，解得：，，即点到平面的距离为.
1．已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出图形，找出直线与平面所成角的平面角，在三角形内即可求解.
【详解】如图，过点向底面作垂线，垂足为，连接，过点作于G，连接，

由题意可知：且，因为平面，所以平面，则即为直线与平面所成角的平面角，设正四面体的棱长为2，则，，
所以，则，
在中，由余弦定理可得：，
在中，，所以，
所以直线与平面所成角的正切值是，故选：.
2．已知直线和平面所成的角为，则直线和平面内任意直线所成的角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由线面角的定义得出与内直线所成角的最小值，再确定最大值得出直线和平面内任意直线所成的角的取值范围.
【详解】根据线面角的定义，线面角是平面外的直线与平面内所有直线所成角中最小的角，故与内直线所成角的最小值为，当在内的射影与平面内的直线垂直时，与之所成的角为，故与内直线所成角的范围为.故选：D.
3．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，， 二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，找到球心，求出外接球半径，求出底面积和高，得到三棱锥的体积.
【详解】取的中点，连接，因为， 所以到的距离相等，
故即为球心.
由球的表面积等于，设外接球半径为，故，解得，过作垂直于于点，因为，，所以，同理，
因为二面角的大小为，所以,故三棱锥的高为，
其中，所以三棱锥的体积.故选：A
4．（多选）已知四棱锥，它的各条棱长均为2，则下面说法正确的是（ ）
A．其外接球的表面积为
B．其内切球的半径为
C．侧面与底面所成角的余弦值为
D．不相邻的两个侧面所成角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】连接，，且交于，连接，根据题意可得是四棱锥外接球的球心，是其半径，代入即可计算其外接球的表面积，从而即可判断A；利用等体积公式，即可求内切球的半径，从而即可判断B；取的中点，连接，，先证明是侧面与底面所成角，即可求得侧面与底面所成角的余弦值，从而即可判断C；再取的中点，连接，，显然是平面与平面所成的角，再结合余弦定理求解即可判断D．
【详解】对于A，连接，，且交于，连接，又四棱锥的各条棱长均为2，
则，所以四棱锥的外接球的球心，半径为，
所以四棱锥的外接球的表面积为，故A正确；
对于B，设内切球的半径为，则，
即，解得，故B错误；
对于C，根据题意不妨求侧面与底面所成角的余弦值，取的中点，连接，，
结合选项A，可知，且平面平面，所以是侧面与底面所成角，又，，所以，即侧面与底面所成角的余弦值为，故C正确；
对于D，根据题意不妨求平面与平面所成的角的余弦值，过点作，且作的中点，结合A选项，再取的中点，连接，，则，，又平面平面，所以是平面与平面所成的角，又，，
所以根据余弦定理得，
所以不相邻的两个侧面所成角的余弦值为，故D正确．
故选：ACD．
5．（多选）如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则（ ）
A．直线为异面直线B．
C．直线与平面所成角的正切值为D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9
【答案】BC
【分析】作出图形，利用中位线定理和平行的传递性即可判断选项A；利用等体积法计算即可判断选项B；根据线面角的概念即可判断选项C；利用平面的性质即可判断选项D.
【详解】对于A，连接，
由题意可知，因为，所以，所以共面，故选项A错误；
对于B，连接，
由题意可知，所以，故选项B正确；
对于C，连接，
由正方体的性质可知平面，所以即为直线与平面所成的角，则，故选项C正确；
对于D，连接，
根据正方体的性质可得，且，所以平面即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底，下底为，高为，所以截面面积为，故选项D错误；故选：BC
6．（多选）在长方体中，，，则（ ）
A．直线与所成的角为60°
B．直线与所成的角为90°
C．直线与平面所成的角为30°
D．直线与平面所成的角的余弦值为
【答案】AC
【分析】根据空间中的平行、垂直关系，结合异面直线所成角、直线与平面所成角逐项分析判断.
【详解】对于A选项：如图，连接交于点，∵，且，故为平行四边形，则，所以就是异面直线与所成的角或其补角，因为，，则，所以，即直线与所成的角为60°，所以A选项正确；
对于B选项：连接，若直线与所成的角为90°，即，∵平面，平面，∴，，平面，故平面，
又∵平面，则，则为正方形，与题设矛盾，所以B选项不正确；
对于C选项：∵平面，则即为直线与平面所成的角，
在中，，，则，所以，所以C选项正确；
对于D选项：连接交于点，连接，因为，所以四边形为正方形，所以，又∵平面，平面，∴，，平面，
故平面，则直线与平面所成的角即为，在中，，，所以，则，所以D选项不正确．故选：AC．
7．在棱长为2的正方体中，点到平面的距离为____________．
【答案】
【分析】由正方体的性质易得△斜边上的高为到平面的距离，结合已知即可求值.
【详解】由题设可得示意图如下，根据正方体的性质知：面面，又△为等腰直角三角形，
∴△斜边上的高，即为到平面的距离，又正方体棱长为2，
∴到平面的距离为.故答案为：.
8．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB与CD的夹角为__________．
【答案】
【分析】把展开图恢复到原正方体，得到AEDC，从而得到∠BAE或其补角是异面直线AB与CD所成的角，从而可解.
【详解】
如图所示，把展开图恢复到原正方体．连接AE，BE．由正方体可得且，
∴四边形ADCE是平行四边形，∴AEDC．∴或其补角是异面直线AB与CD所成的角．
由正方体可得：，∴是等边三角形，∴．
∴异面直线AB与CD所成的角是60°．故答案为：60°
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，底面ABCD， E是PC的中点，已知，，，则P 到平面ABE的距离为___________．
【答案】
【分析】取AB的中点F，连接EF，可证EF为三棱锥的高，求出三棱锥的体积，连接AC，取AC的中点O，连接EO，求出各边长度可证是等边三角形，利用等体积法，即可算出P 到平面ABE的距离.
【详解】
解：取AB的中点F，连接EF，AC，取AC的中点O，连接EO，
E是PC的中点，底面ABCD是矩形，
，且，，
又底面ABCD，底面ABCD ，，，
而，平面PAB，平面PAB，
平面PAB，即EF为三棱锥的高，
,
在中，，
在中，，则，，
在中，，则，
在中，，
又分别是PC，AC的中点，底面ABCD，
，且，，在中，，
则，是等边三角形，设P 到平面ABE的距离为d，则，故答案为：.
10．如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为_______.
【答案】
【分析】根据题意以及面面垂直的性质定理，可作出在平面内的射影，再利用摄影面积法求出二面角的余弦值，再根据所求角与二面角互补即可求得结果.
【详解】过 A作的延长线于E， 连结 DE，
∵平面平面，平面平面，
∴ 平面
∴ E点即为点A在平面内的射影，∴ 为在平面内的射影，
设，则，
∴由余弦定理可得，∴，
∴ ， 又，∴ ，
设二面角为，∴ .而二面角与互补，
∴二面角 的余弦值为.故答案为：
11．在三棱柱中，三棱锥是正三棱锥，，为的中点．若异面直线与所成角的余弦值为，则______．
【答案】
【分析】取的中点，连接，，则（或其补角）就是异面直线与所成角．然后在三角形中，利用余弦定理即可求解.
【详解】如图，取的中点，连接，，，则（或其补角）就是异面直线与所成角．在正三棱锥中，易得，平面，则平面，又平面，则．因为，所以，所以平行四边形是矩形．设．
在中，，，，由余弦定理，得，即，解得，所以．
故答案为：.
12．在直四棱柱中，四边形为平行四边形，平面平面．
(1)求证：；
(2)若，分别为，的中点，求到平面BDF的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）先证明出平面，再利用线面垂直的判定定理证明出；
（2）连接，证明出平面BDF．进而求出点到平面BDF的距离.
【详解】（1）由题意知平面，平面，所以．
过在平面内作直线；交于点G，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以．
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）连接，由（1）知，因为，所以．
因为为中点，且，
所以，
，，，，，
所以，因此，又因为，所以平面BDF．
因为为的中点，所以点到平面BDF的距离为．
13．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面ABC，，D是CB延长线上一点，且．
(1)证明：直线平面；
(2)求二面角的大小；
(3)直线到平面的距离．
【答案】(1)证明过程见详解(2)(3)
【分析】（1）构造平行四边形，进而即可证明直线平面；
（2）取的中点，连接，，证明二面角的平面角，求解即可；
（3）结合（1）可知直线平面，可得直线到平面的距离与点到平面的距离相等，根据即可求解．
【详解】（1）依题意可得，且，
则四边形为平行四边形，所以，
又平面，且平面，所以直线平面．
（2）取的中点，连接，，在中，，则，
由三棱柱的底面是边长为2的正三角形，
则，则，所以，在中，，则，
又平面平面，所以二面角的平面角，
所以，又，则，故二面角的大小为．
（3）结合（1）可知直线平面，所以直线到平面的距离与点到平面的距离相等，设点到平面的距离为，结合（2）得，则，
所以，，
又，即，得，
所以直线到平面的距离为．
14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
【答案】(1)(2)
【分析】(1)根据AB⊥平面AA1D1D找出A1B与平面AA1D1D所成的角的平面角，求解即可；
(2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.证明A1O⊥平面BB1D1D，从而确定A1B与平面BB1D1D所成的角的平面角，求解即可.
【详解】（1）∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在中，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是.
（2）连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1O，
又∵A1O⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.
又∴sin∠A1BO＝＝，又
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是.
15．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，．
(1)证明：平面平面PAC；
(2)求AD与平面PCD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）计算，，根据勾股定理得到，再证明平面PAC，得到答案.
（2）作，垂直为H，连接DH ，确定为AD与平面PCD所成的角，计算，得到答案.
【详解】（1），，，则，．
中，，
故，故，
又因为底面ABCD，底面ABCD，所以，
又因为，平面PAC，平面PAC，
底面PCD，故平面平面PAC，
另解：平面ABCD，平面ABCD，故，
过C做AD的垂线，垂足为E，连接CE，则，
，，，
在中，，，即，
又，PA，平面PAC，故平面PAC，
平面PCD，故平面平面PAC，
（2）作，垂直为H，连接DH ，
因为平面平面PAC，且平面平面，平面，
所以平面PCD，故为AD与平面PCD所成的角，
中，，，
所以直线AD与平面PCD所成角的正弦值为．
另解：设直线AD与平面PCD所成角为，点A到平面PCD的距离为，
所以，
根据三棱锥等体积转换方法可知，即，
中，由（1）可知，，，，，
故，所以，
故，解得，
直线AD与平面PCD所成角的正弦值为.
16．如图所示，六棱锥的底面ABCDEF是一个正六边形，是这个正六边形的中心．已知平面ABCDEF．
(1)求证：平面平面PCE．
(2)若，且．求异面直线PF与BC的夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)．
【分析】（1）由线面垂直的性质定理证得，运用平面几何知识证得，再运用线面垂直的判定定理证得平面PAD，运用面面垂直的判定定理证得平面平面PEC.
（2）运用寻找平行线可得异面直线所成角，再运用余弦定理及同角三角函数的平方关系即可求得结果.
【详解】（1）证明：连接AD、CE，如图所示，
因为是正六边形的中心，
所以在直线AD上．所以平面PAD．
又因为平面ABCDEF，平面ABCDEF，
所以．
正六边形中，因为，且正六边形内角为120°，所以．
又因为△中，，，
所以．所以．
所以．
又因为AD、平面PAD，且AD=．
所以平面PAD．
又因为平面PEC，所以平面平面PEC．
（2）解：如图所示，因为，所以BC与PF的夹角等于．
连接，因为，，所以．
中，，，
由余弦定理得：．
所以异面直线PF与BC的夹角的正弦值就是．
17．如图，为圆锥的顶点，，为底面圆两条互相垂直的直径，为的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)若，且直线与平面所成角的正切值为，求该圆锥的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）设与交于点，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可得答案；
（2）过作于，由面面垂直的性质定理可得为直线与平面所成的角，由求出、，再求圆锥体积可得答案.
【详解】（1）设与交于点，连接，
因为，为底面圆两条互相垂直的直径，所以为底面圆的圆心，
所以为圆锥的高，所以底面圆，
因为底面圆，所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）过作于，连接.
由（1）知平面平面，且平面平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角，则，
因为，所以，所以，
则，所以，
故该圆锥的体积为.
18．在棱长为1的正方体中，，分别为棱和的中点．
(1)求异面直线与所成的余弦值；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）连接，证明，确定异面直线所成的角或其补角，再借助余弦定理求解作答.
（2）求出三棱锥的高和底面积，利用锥体的体积公式计算作答.
【详解】（1）在正方体中，连接，如图，
因为，分别为棱和的中点，则，因此四边形是平行四边形，
则，即是异面直线与所成的角或其补角，
在中，，而正方体的体对角线，
由余弦定理得：，
所以异面直线与所成的余弦值为
（2）在正方体中，平面，而的面积，
所以三棱锥的体积.
19．如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）证明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故而得证；
（2）作出辅助线，找到∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小即可.
【详解】（1）因为平面，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，
因为，所以⊥AD，
因为PAAD=A，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
因为CFAB，所以CF⊥平面PAD，
因为CF平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；
（2）连结，过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，
如图，
平面，AD，AC平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因为，，
由勾股定理得：，则∠ADB=30°，
同理可得，∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，，
故，，，
在△BCP中，由余弦定理得：，
则，，
在△CDP中，由余弦定理得：，
在△CDE中，，
因为，所以DE⊥PC，
所以∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：.考点一
异面直线所成的角
考点二
线面角
1.求线面角
2.已知线面角
考点三
面面角
1.求面面角
2.已知面面角
考点四
距离问题