专题05 空间距离+空间角（期末压轴专项训练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点串讲（人教A版2019）

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1．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用空间坐标运算，即可求得点F到平面的距离，又可证得平面，即可得出直线到平面的距离.
【详解】在直三棱柱中，，
如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，E、F分别为的中点，
则，，，，，
所以，，，

设平面的法向量为，则，
即，取，则，，
所以是平面的一个法向量，
又因为，
所以点F到平面的距离为.
因为在直三棱柱中，分别为的中点，
则且，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
则点F到平面的距离即为直线到平面的距离.
故选：B.
2．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离.
【详解】已知点和点，则.
向量在上的投影长度.
先求.再求.所以.
根据勾股定理，点到直线的距离.
先求.则.
故选：C.
3．在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求异面直线的距离、异面直线距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，求解直线与的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式求解即可.
【详解】如图，以为原点，分别以，，为，，轴的正向建立空间直角坐标系，
则A2,0,0，，，，
，，
设直线与的公垂线的方向向量为，
则，取，则，，
，又，
异面直线与的距离是.
故选：A.
4．如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点，则点到平面AEF的距离为（ ）
A．B．2
C．D．
【答案】A
【知识点】求平面的法向量、点到平面距离的向量求法
【分析】建系标点，求平面AEF的法向量，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面AEF的法向量为，则，
令，则，可得，
所以点到平面AEF的距离.
故选：A.
5．如图，正方体的棱长为，其中分别是棱的中点，则到平面的距离是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法求解即可.
【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，

因为正方体的棱长为，所以，
因为分别是棱的中点，
所以，，，
所以，，，
设面的法向量为，到平面的距离是，
所以，，
令，解得，
故为平面的一个法向量，
由点到平面的距离公式得，故D正确.
故选：D
6．如图，在直三棱柱中，，，，且，，，则点到平面的距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【知识点】空间向量的坐标表示、点到平面距离的向量求法
【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出点A坐标以及平面EFG的法向量，再利用向量法求出点到平面的距离即可.
【详解】如图所示建立空间直角坐标系，
则A2,0,0，，，，
，，
设为平面的一个法向量，
则可取，
则点到平面的距离为．
故选：B.
7．二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为（ ）

A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【知识点】空间向量数量积的应用、面面角的向量求法
【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得，即可向量根据夹角公式求解.
【详解】由可得,
故，
进而可得,
由于，
由于，故，
由于夹角的大小即为二面角的大小，故二面角大小为120°，
故选：C
8．三棱锥中，，，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】线面角的向量求法
【分析】根据几何体棱长建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法计算即可得结果.
【详解】取的中点为，连接，如下图所示：
因为，所以可得，
又，所以即，即，
故，满足，所以；
所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
即；
设平面的一个法向量为，
则，令，可得；
可得，
设直线与平面所成的角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：C
9．在正方体中，是BD的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法
【分析】由空间向量求解异面直线夹角即可.
【详解】以点为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），
设正方体的棱长为2，
则，，，，则，
所以，，
设直线和夹角为，
所以.
故选：A.
10．在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（ ）
A．0B．3C．4D．6
【答案】B
【知识点】已知线线角求其他量
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立点坐标间的等式，再分类讨论得解.
【详解】在正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，设，
，，于是，
整理得，显然点不能在坐标轴上，否则，
当时，，
而，无解，即点不能在棱上；
当时，，
若，则；若，则无解；若，则，
于是点不能在棱上，可以在棱上；
当时，，
若，则无解；若，则，于是点不能在棱上，可以在棱上，
所以可以在棱上，点P的个数为3.
故选：B
【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线线角的求法建立等式，分类讨论求解.
11．在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法
【分析】设正方体的棱长为1，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】两两垂直，故以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，取的中点为，连接，
则， A1,0,0，，
则，
又因为，，，平面，故平面，
所以为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，所以
为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
故选：D．
12．、、是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成的夹角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】线面角的向量求法
【分析】将、、三条射线截取出来放在正方体中进行分析，建系，利用空间向量法求解.
【详解】如图所示，把、、放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，则、、的夹角均为．
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，
则、、、，
所以，，，
设平面的法向量，则
令，则，，所以，
所以．
设直线与平面所成角为，所以，
所以．
故选：B．
二、填空题
13．如图，在棱长为1 的正方体中，是棱 (不包含端点)上一动点，则三棱锥 的体积的取值范围为 .

【答案】
【知识点】锥体体积的有关计算、点到平面距离的向量求法
【分析】利用空间向量求出点到平面的距离，从而求解.
【详解】由题知以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，
，，，
设，，得，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以点到平面的距离，
又因为，所以，
由题知，
所以为等边三角形，其面积，
所以三棱锥的体积，
故答案为：.
14．在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，为等边三角形，，则四棱锥的外接球球心到平面的距离是 .
【答案】
【知识点】球的截面的性质及计算、点到平面距离的向量求法
【分析】根据题意分析可得外接球球心必在上，结合球的相关性质求，再建系，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】取的中点，连接
∵为等边三角形，则
平面平面，平面平面
∴平面
取的中点，由于四边形为等腰梯形，且，
则可以得到，即为等腰梯形的外接圆的圆心
过作的平行线，则外接球球心必在上
，设，在梯形中，，则
∵，即，解出，
建系如图，则
设平面的法向量，则
令，则，则
∵，则到平面的距离
故答案为：.
【点睛】对于具有外接球的锥体：其外接球的球心位于过底面多边形的外心且与底面垂直的垂线上.再结合球的截面性质列方程求其半径.
15．在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为
【答案】45/0.8
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设正方体中棱长为3，
以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，
设异面直线与所成角为，则.
即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
16．在直三棱柱中，，，点 P 满足，其中，则直线AP与平面所成角的最大值为
【答案】
【知识点】空间向量的坐标运算、已知线面角求其他量
【分析】分别取中点，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角的正弦值，然后结合函数知识得最大值.
【详解】分别取中点，则，即平面，
连接,因为,所以,
以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由已知,,,,,
则,
因为，
，，
易知平面的一个法向量是，
设直线AP与平面所成角为，，
则，
所以时，，即的最大值是．
故答案为：．
三、解答题
17．如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若四面体的体积为 ，求；
(3)若 ，求直线 AD 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）证明，可证线面垂直；
（2）由已知四面体体积求得体积，再由体积公式可得；
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．
【详解】（1）.的中点为，则.
.
，则，
故，即.
因为，，平面，平面，
所以平面.
（2）因为，所以.
而，
所以，解得：.
（3）过作轴垂直平面，以方向分别为
则，
，
设平面法向量为
由得，
所以为平面的一个法向量，
设与平面所成角为，


所以
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
18．如图，已知圆锥的底面圆周上有三点，为底面圆的直径，且为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【知识点】证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）利用圆锥性质以及圆的性质，由面面垂直判定定理即可得出结论；
（2）建立空间直角坐标系求出两平面的法向量，再由空间向量夹角的计算公式可得结果.
【详解】（1）根据圆锥性质可得平面，平面，
可得，
又为的中点，利用圆的性质可得，
因为平面，
可得平面，又平面，
所以平面平面.
（2）取的中点为，连接，
又为底面圆的直径，且为的中点，
可知，且为等边三角形，
因此可得两两垂直，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
由可知；
所以
因此，
设平面的一个法向量为m=x1,y1,z1，
则，令，可得;
即；
设平面的一个法向量为n=x2,y2,z2，
则，解得，令，可得;
即；
易知，
所以二面角的正弦值为.
19．如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点.
(1)求证；平面；
(2)若，，，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）利用中位线的性质构造线线平行，再利用线面平行的判定证明即可；
（2）根据线面垂直的判定先证明平面，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可.
【详解】（1）取的中点为，连接，.
点，分别是，的中点，
是的中位线，即，，
在菱形中，，.
，，即四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，平面.
（2）连接，，
，，，平面，平面，
平面，
又平面，，
，
又，则，所以.
即直线，，两两垂直.
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，.
设平面的法向量为，平面的法向量为，
由得取.
由得取.
设平面与平面所成角为，则
，
即平面与平面所成角的余弦值为.
20．如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，．

(1)证明：平面；
(2)若圆锥的侧面积为，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明、，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据圆锥的侧面积求得及，求出平面、平面的一个法向量，利用向量法求得二面角的余弦值.
【详解】（1）平面，，故以为坐标原点，为轴正方向，
为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系．
设，故，，，，，
，，．
，．
故，，
，，平面，平面；
（2）圆锥的侧面积，，
,
由（1）可知，为平面的法向量，
设平面的法向量为，而，，
故，令得，
则，
所以二面角的正弦值为．
21．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法
【分析】(1)取的中点，先根据题意证明四边形是平行四边形，再证明平面即可.
(2)建立空间直角坐标系，通过空间向量求直线与平面所成角的正弦值即可.
【详解】（1）如图，取的中点，连接，，有，，
又，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面.

（2）如图，取的中点，连接，，
因为，，所以，，
由，，，
四边形是正方形，有，，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
在平面内作直线的垂线，
则平面，有，，
分别以，，所在直线为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
由，，知，
由，知，
从而有，
，B1,0,0，C1,1,0，
有，，BC=0,1,0，
设平面的法向量为，由，
有，取，则，，
得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则.
22．如图，在四棱锥中，， ，，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量、面面角的向量求法
【分析】（1）若分别为中点，连接，易得、、、，再应用面面垂直的性质得面，由线面垂直的性质证、，最后综合线面垂直的性质及判断定理证结论；
（2）构建合适空间直角坐标系，首先根据线面角的向量求法列方程求Q位置，再应用向量法求面面角的余弦值.
【详解】（1）若分别为中点，连接，
由，，则为直角梯形，且为中位线，
所以，且，
由，则，又，可得，
面面，面，面面，
则面，面，故，则，
由面，则，又，均在面内，
所以面，面，可得，
所以，故，即，
由，则，而均在面内，
所以平面.
（2）由（1）可构建如上图所示的空间直角坐标系，
所以，
令且，则，
则，，，
若是面的一个法向量，则，
令，则，
由题意，
整理得，故，则，
若是面的一个法向量，则，
令，则，
所以平面与平面夹角的余弦值.
23．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，二面角的大小为．
(1)证明：平面平面．
(2)求四棱锥的体积．
(3)若点在线段上，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法
【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理得证；
（2）证明平面，再由棱锥体积公式得解；
（3）建立空间直角坐标系，，利用求出，再由向量法求线面角的正弦即可.
【详解】（1）设的中点分别为，连接．
在中，由，所以．
由，所以，
因为，所以二面角的平面角为，
则．
因为，平面，所以平面，
由平面，所以，则，
所以．
又，所以．
又因为，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面．
（2）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，即四棱锥的高为，
所以四棱锥的体积为．
（3）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
记，则．连接．
设，
则，
．
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面．
因为平面，所以，
则，解得，
则．又，
所以，．
设平面的法向量为，
则由得取，得．
设直线与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
24．如图，在三棱锥中，已知为锐角三角形，平面平面，，点是的中点．
(1)求证：；
(2)若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）过点作于点，由面面垂直的性质得到平面，再根据线面垂直的判定定理与性质证明平面，进而得到.
（2）建立空间直角坐标系，求相关点和向量的坐标，分别求平面、平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，根据二面角的余弦值求参数的值，进而求三棱锥的体积.
【详解】（1）如图，过点作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以．
又，，，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
（2）由（1）可知，可以以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，，
∵为锐角三角形，则，，，，
故，
因此，．
∴是平面的一个法向量,
设平面的法向量为，
则，即，化简得，
取，则，，因此．
由题意知，解得，
因此三棱锥的体积为．
25．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）由已知条件，结合勾股定理，可以判定，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）以中点为原点，所在直线为轴，构建空间直角坐标系，利用空间向量，即可求得线面所成角的正弦值.
【详解】（1）不妨设正方形边长为2，则，
由，得，
再由，， 平面 ，得平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）取中点，连结，则，由（1）可知，平面平面ABCD，
平面平面，所以平面，
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
设平面的法向量为，则
取，记与平面所成角为，则．
26．如图，四边形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分别是EG，BC的中点.

(1)证明：平面ABCD.
(2)若，求点N到平面AMF的距离.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）取的中点，连接，，根据题意可得，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）建系标点，求平面AMF的法向量，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】（1）因为，，都垂直于平面，则.
取的中点，连接，，
则，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
可得，
且平面，平面，所以平面.
（2）连接.
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A2,0,0，，，，
可得，，.
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
取，得，，可得.
故点到平面的距离.
27．如图，在斜三棱柱中，为边长为3的正三角形，侧面为正方形，在底面内的射影为点O．

(1)求证：；
(2)若，求直线和平面的距离．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【知识点】证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）分析得知要证，只需证，取的中点分别为，故只需证明即可，而这又可以通过线面垂直的判定定理、性质定理证明；
（2）将问题转换为求点到平面的距离，建立适当的空间直角坐标系，根据题意分别求出即可，其中为平面的法向量，进一步由公式即可得解.
【详解】（1）

一方面：因为在底面内的射影为点O，而平面，
所以，
故要证，只需证；
另一方面：取的中点分别为，连接，
因为为边长为3的正三角形，所以也是边长为3的正三角形，
又点是的中点，
从而，因为，所以，
因为四边形为正方形，的中点分别为，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又点是的中点，
所以；
综上所述，；
（2）一方面：注意到平面，平面，
所以平面，
要求直线和平面的距离，只需求点到平面的距离即可；
另一方面：若，则点为三角形的外心，从而三点共线，
过点作交于点，易知，
因为平面，平面，
所以，
从而两两互相垂直，
所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意，
，从而，
，
，
设平面的法向量为，
则，故可取，
所以点到平面的距离为；
综上所述，直线和平面的距离为.
28．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面平面ABEF，，，，，，且．
(1)已知点G为AF上一点，且，证明：平面DCE；
(2)若平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为，求点F到平面DCE的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明线面平行、面面垂直证线面垂直、已知面面角求其他量、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABEG为平行四边形，故O为AE中点，由中位线得到且，即四边形BCHO为平行四边形，故，得到平面DCE，即平面DCE；
（2）由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，设，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用锐二面角的余弦值列出方程，求出，从而得到点到平面的距离.
【详解】（1）证明：如图，连接AE交BG于点O，取DE中点为H，连接HO，HC，GE，
在四边形ABEG中，，，
故四边形ABEG为平行四边形．
故O为AE中点，所以在中，OH为中位线，
则且，又且，
故且，即四边形BCHO为平行四边形，
所以，又∵平面DCE，平面DCE，
∴平面DCE，即平面DCE．
（2）因为平面平面ABEF，平面平面，，平面ABCD，所以平面ABEF，
如图，以点A为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
设，，，，，，
则，，，
设平面DCE的法向量为，
则，取，
∵，，
设平面BDF的法向量为，∴，取．
由平面BDF与平面DCE所成锐二面角的余弦值为，
可得，
解得或（舍去）
故，点F到平面DCE的距离，
故点F到平面DCE的距离为．
29．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.
(1)求证：；
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到直线距离的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)
【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、点到直线距离的向量求法
【分析】（1）取弧中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由数据求出点坐标，再求出平面FOD与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解.
（3）利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求出最大值即可.
【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
连接，在中，，，则，
于是，
设，则，其中，，
因此，即，
所以.
（2）由平面平面，得，
又，则，而平面，
则平面，即为平面的一个法向量，
，由平面，得，
又，解得，此时，
设是平面的法向量，则，取，得，
设是平面的法向量，则，取，得，
则平面FOD与平面夹角的余弦值为.
（3），
则点到直线的距离，
当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为
【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角．
30．如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值；
(3)求A点到直线的距离.
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到直线距离的向量求法
【分析】（1）取中点，可得四边形为平行四边形，从而，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）建系标点，求出平面BDM的法向量，易知为平面PDM的一个法向量，利用向量夹角公式求解可得答案.
（3）利用空间向量求得，即可得，进而可得结果.
【详解】（1）取中点，连接，．
在中，，分别为，的中点，则，，
因为，，则，，
可知四边形为平行四边形，则，
且平面，平面，所以平面PAD．
（2）因为平面，，平面ABCD，
则，，且，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
取CD的中点，连接BE，
因为，，则，，
又因为，所以四边形ABED为矩形，
且，可知四边形ABED是以边长为2的正方形，
则，，，，，，
可得，，，
设平面BDM的法向量为，所以，
令，则，．所以平面BDM的一个法向量为，
易知为平面PDM的一个法向量，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值为.
（3）由（2）可知：，
则，
即，可知为锐角，
则，
所以A点到直线的距离为.