专题02 平面向量的基本定理及坐标运算（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

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专题02 平面向量的基本定理及坐标运算





知识点1 平面向量基本定理
1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
3、对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．
（3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，．
（4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
4、平面向量基本定理的应用
（1）平面向量基本定理唯一性的应用：
设，是同一平面内的两个不共线向量，
若，则
（2）重要结论设是平面内一个基底，
若，
①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，；
知识点2 平面向量的坐标运算
1、向量和差运算：已知，则，．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
2、向量数乘运算：若，则；
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
3、向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是
知识点3 线段的定比分点及λ
设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：
                                 
(内分)                         (外分)()                 (外分) ()
1、定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，
则点坐标为，我们称为点分所成的比.
2、点的位置与的范围的关系：
①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；
②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点.
3、若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则；
特别地为的中点.
知识点4 平面向量数量积的坐标表示
1、向量数量积的坐标运算：若，，则
两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。
2、两个向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则
3、用坐标表示的三个重要公式
（1）向量的模公式：若a=(x1,y1)，则a=x12+y12
（2）两点间的距离公式：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2
（3）向量的交角公式：设两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，a与b的夹角为θ，
则cosθ=a∙bab=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22

考点1 对基本定理的概念理解

【例1】（2022·江苏·高一专题练习）（多选）设是已知的平面向量，向量，，在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量，和正实数，，使，则．
【答案】ABD
【解析】对于选项A，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，
故总存在向量，使，故A正确；
对于选项B，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
对于选项C，取，无论取何值，向量都平行于x轴，
而向量的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，
向量的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故C错误；
对于选项D，，
又，不共线，，即，即，
（当且仅当时等号成立），
，得，故D正确，故选：ABD．


【变式1-1】（2022春·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示
B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一
【答案】B
【解析】由共线向量的性质可知选项A正确；
根据平面向量基本定理可知：
平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B不正确；
根据平面向量基本定理可知中：选项C、D都正确，故选：B


【变式1-2】（2022·高一课时练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量.
B．在平面向量基本定理中，若，则.
C．若单位向量､的夹角为，则在方向上的投影向量是.
D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.
【答案】ABC
【解析】选项A：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，
因此，一定都是非零向量，故A正确；
选项B：，由在同一基底下向量分解的唯一性，有，故B正确；
选项C：在方向上的投影向量为：，故C正确；
选项D：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D错误
故选：ABC


【变式1-3】（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）（多选）如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量，使的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量与共线，则有且只有一个实数λ，使得
D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0
【答案】BC
【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，
若基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，B错误.
对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，
或当为非零向量，而为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.故选:BC.


考点2 基底的判断

【例2】（2023春·安徽滁州·高一安徽省定远县第三中学校考阶段练习）设，是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【解析】对A：∵，则与共线，
故和不能作为基底向量，A错误；
对B：∵，则与共线，
故和不能作为基底向量，B错误；
对C：∵，则与共线，
故和不能作为基底向量，C错误；
对D：∵，则与不共线，
故和不能作为基底向量，D正确；故选：D.


【变式2-1】（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【解析】由于是平面内所有向量的一组基底，故不共线，
对于A， 和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底；
对于B，和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底；
对于C，因为，即和共线，不能作为基底；
对于D，，故和没有倍数关系，
故二者不共线，可作为平面的一组基底；故选：C


【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】对于A，不共线，所以可以作为一组基底.
对于B，不共线，所以可以作为一组基底.
对于C，，所以共线，所以不可以作为一组基底.
对于D，，所以共线，所以不可以作为一组基底.故选：CD.


【变式2-3】（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）（多选）如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）

A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】AC
【解析】B中与共线，D中与共线，A、C中两向量不共线，故选：AC.


【变式2-4】（2023·全国·高一专题练习）设是两个不共线的非零向量，且．
（1）证明：可以作为一个基底；
（2）以为基底，求向量的分解式．
【答案】（1）证明见解析 ；（2）．
【解析】（1）假设共线，则，
则．
由不共线，得
所以λ不存在，故不共线，即可以作为一个基底．
（2）设，
则
所以，解得，故．


考点3 用基底表示向量

【例3】（2023春·全国·高一专题练习）如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取的中点，连接，

因为是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，
所以，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又为上靠近的一个四等分点，
所以
.故选：C.


【变式3-1】（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P．若，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，
∴，，
设，
∵E，F，P三点共线，∴，解得，
于是．故选：B.


【变式3-2】（2023春·河南洛阳·高一校考阶段练习）如图所示，已知和交于点E，若，则实数的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，
由图可知，
，
则，解得.故选：B.


【变式3-3】（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）在中，D为中点，连接，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】因为为边的中点，所以，，
因为，所以，
所以，
又，因此有，则.故选：C


【变式3-4】（2022春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）在矩形中，，，E为CD的中点，若，，则________．
【答案】
【解析】建立如下图的平面直角坐标系，

由已知得，，，，
由得，
设，则，
可得，解得，所以，，
又因为，
所以，解得，，则.


【变式3-5】（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝.

（1）用表示向量；
（2）若点F在AC上，且，求AF∶CF.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为＝－＝，点D是AC的中点，
所以＝＝()，
因为点E是BD的中点，
所以＝(＋)＝＋＝－＋()＝.
（2）设＝λ(0＜λ＜1)，
所以＝＋＝＋λ＝，.
又＝，所以λ＝，
所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.


考点4 向量线性运算的坐标表示

【例4】（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）已知向量，则__________.
【答案】
【解析】.


【变式4-1】（2023·全国·高一专题练习）已知向量，若满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
将代入有:.故选：A


【变式4-2】（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）已知向量，若，则（ ）
A．-1 B．2 C．-6 D．6
【答案】D
【解析】向量，则，
，故，解得.故选：D


【变式4-3】（2023·高一课时练习）已知点，，，设，，，且，，
（1）求；
（2）求满足的实数的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题得，
所以
（2）由（1）得，
所以，
所以，解得，
所以满足的实数的值为.


考点5 利用坐标求向量共线问题

【例5】（2023秋·辽宁·高一沈阳市第十中学校考期末）已知向量，，，若与共线，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】由题意向量，，，则，
由于与共线，则，故选：D


【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，且与平行，则______．
【答案】
【解析】因为，，所以，，
因为与平行，所以，解得.


【变式5-2】（2023春·河南洛阳·高一校考阶段练习）已知.
（1）当k为何值时，与共线?
（2）若且A，B，C三点共线，求m的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）

因为与共线，所以解得.
故当时，与共线.
（2）因为A，B，C三点共线，与不共线，
所以存在实数λ，使得即，
整理得
所以，解得.故的值为.


【变式5-3】（2022·高一课时练习）已知，，，下列点D的坐标中不能使点A、B、C、D构成四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，显然三点不共线，

如图在坐标系中可得选项ABC能构成四边形，
当时，，即此时A、C、D共线，
不能使点A、B、C、D构成四边形.故选：D


考点6 向量数量积的坐标表示
【例6】（2022秋·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）已知正方形的边长为2，点满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【解析】建立坐标系如图，正方形的边长为2，
则，
点满足，所以，
则，
故选：D．


【变式6-1】（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）已知向量，，，若，则实数x的值为______．
【答案】
【解析】因为向量，，则，又，且，
因此，解得，
所以实数x的值为.


【变式6-2】（2023春·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）已知向量，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，当且仅当时等号成立，
则的最小值为.故选：B．


【变式6-3】（2022春·北京·高一北京市八一中学校考阶段练习）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以

，其中，，
因为，所以，
即；故选：D


【变式6-4】（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）如图，在四边形中，，且.

（1）求实数的值；
（2）若是线段上的动点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由于，所以，所以，
，所以，
所以.
（2）以为原点建立如图所示平面直角坐标系，
，
设，，
，
由于，
所以的取值范围是.


考点7 利用坐标求向量的夹角

【例7】（2022春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考阶段练习）已知平面向量，，若，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，即，解得，
所以，，则
又所以与的夹角为，故选：B.


【变式7-1】（2023春·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）（多选）已知向量，若为锐角，则实数可能的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】因为，
所以.
因为为锐角，
所以，解得.
当时，，解得.
当为锐角时，实数的取值范围是.
所以实数可能的取值是，.故选：BD.


【变式7-2】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）已知向量，，其中．
（1）试计算及的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
【答案】（1），＝；（2）
【解析】（1），，
∴，．
（2）设的夹角为θ，
由，．


【变式7-3】（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考阶段练习）已知向量，，，且，．
（1）求向量、；
（2）若，，求向量，的夹角的大小.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）因为，，，且，，
所以，，
所以，，所以，；
（2）设向量，的夹角的大小为．
由题意可得，，，
所以，
因为，所以．


【变式7-4】（2022春·陕西延安·高一校考阶段练习）已知，．
（1）若与垂直，求k的值；
（2）若为与的夹角，求的值．
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）因为，，则，，
依题意，，解得，
所以.
（2）由（1）知，，，则，，
因此，而，所以.


考点8 利用坐标求向量的模长

【例8】（2022春·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）设，向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【解析】由可得，解得，则，.故选：D.


【变式8-1】（2022春·河北邢台·高一校联考阶段练习）平面向量与的夹角为，则等于（ ）
A． B． C．4 D．12
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为向量与的夹角为60°，所以，
所以，
所以，故选：B.


【变式8-1】（2022春·广东茂名·高一校考阶段练习）（多选）已知向量，，θ∈，则的值可以是（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】ABC
【解析】由，，可得，
则，
因为，所以，
所以，所以，
则A、B、C符合题意，故选：ABC．


【变式8-2】（2023春·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）（多选）已知，则下列选项中可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】，，，
，
若，此时，故，A可能正确；
若，此时，，B选项可能正确；

，故C一定不正确；
，
当时，，故，D可能正确.故选：ABD


【变式8-3】（2022春·湖北宜昌·高一宜昌市一中校联考阶段练习）如图，直角的斜边长为，，且点、分别在轴、轴的正半轴上滑动，点在线段的右上方，则下列说法成立的是（ ）

A．有最大值 B．无最大值
C．有最大值 D．是定值
【答案】ACD
【解析】设，在中，，，
则、、，
，
则点，则，
对于A选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，A对；
对于B选项，，
所以，，
所以，

，
因为，则，所以，当时，即当时，
取得最大值，B错；
对于C选项，，
所以，
，
因为，则，
故当时，，C对；
对于D选项，，故，D对.
故选：ACD.



1．（2022春·福建福州·高一校考期末）已知，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）．
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【解析】对于A选项，因为，则和共线，A选项不满足条件；
对于B选项，设，则，无解，
故和不共线，B选项能作为基底；
同理可知和不共线，和也不共线，CD选项均能作为基底．故选：A．
2．（2022春·北京·高一北京八中校考阶段练习）与向量和夹角均相等，且模为2的向量的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【解析】设所求向量为，因为，故，
又与向量和夹角均相等，
根据平行四边形法则可得与共线，
设，则，故，即，
故或，故选：C
3．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在中，D是BC边上一点.Р是线段AD的中点，且.则（ ）

A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】因为是线段AD的中点，且，
所以，得，
又B、D、C三点共线，所以，得.故选：A.
4．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）中，点D满足，点E满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
．故选：C．

5．（2022春·广西桂林·高一校考期末）在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知条件得为的中点，为的三等分点，连接,

,
∵三点共线，∴存在唯一实数使,
∴,整理得,即，
故可知①，
同理

∵三点共线，∴②,
将①②联立解得，即，故选：.
6．（2022春·北京丰台·高一北京市第十二中学校考阶段练习）平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，由平行四边形可得，
即，解得，故.故选：D.
7．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知向量，，，若与共线，则实数（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【解析】依题意，，，
因为，所以，解得．故选：B．
8．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）若向量，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知向量，
因为，所以，得，所以，，
又，所以，
所以在上的投影向量为：，故选：A.
9．（2022春·河南洛阳·高一栾川县第一高级中学校联考阶段练习）平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，向量，可得，
又由向量与的夹角为，，
则.故选：D.
10．（2022春·江苏常州·高一常州市第二中学校考阶段练习）已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为与垂直，故，解得，则,
，设与夹角为，则.故选：A.
11．（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）（多选）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．与不共线
【答案】ABD
【解析】对于A：，A正确；
对于B：因为，，所以，B正确；
对于C：因为，所以，C错误；
对于D：因为，又，所以与不共线，D正确．
故选：ABD
12．（2022春·广东韶关·高一校考阶段练习）（多选）已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为
C． D．的最大值为2
【答案】CD
【解析】对于A，因为所以，
则与的夹角为锐角，故A错误；
对于B，因为所以向量在方向上的投影为，故B错误；
对于C，因为所以.
因为，，所以，即，故C正确；
对于D，因为，，
所以，当且仅当,即时取等号，
故的最大值为2，故D正确.故选:CD.
13．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）（多选）已知向量，若，则下列结论在确的是（ ）
A． B． C． D．与的夹角为锐角
【答案】AC
【解析】，
由得，所以，所以A正确；
对于B，由，可得，
因为，所以，故B错误；
对于C，由得，所以，故C正确；
对于D，，

设与的夹角为，所以，
又，所以为钝角，故D错误.故选：AC.
14．（2022春·湖北·高一洪湖市第一中学校联考阶段练习）（多选）已知向量，（），则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．存在，使得
C．若向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为
D．与向量共线的单位向量是
【答案】AC
【解析】向量，（），
对A：因为，所以，
所以，故选项A正确；
对B：要使成立，则有与共线反向，即，所以，
因为，，所以，所以不成立，
所以方程组无解，所以不存在，使得，故选项B错误；
对C：，，
因为向量在方向上的投影向量为，
所以向量在方向上的投影为，即，所以，
又，所以，即向量与的夹角为，故选项C正确；
对D：因为，所以与向量共线的单位向量是或，
故选项D错误.故选：AC.
15．（2022春·福建厦门·高一厦门市第三中学校考阶段练习）已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为___________.
【答案】
【解析】点在线段的延长线上，且，，
,,,．所以点P的坐标为.
16．（2022春·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）在菱形中，，，为菱形所在平面内的一点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，，，设，
则，，，，
，，
；
，，，
的最小值为.
17．（2023春·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考阶段练习）已知向量.
（1）求和；
（2）当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？
【答案】（1）；；（2），反向.
【解析】（1）因为向量，则，，
所以，.
（2）依题意，，由（1）知，
由，解得，于是当时，与共线，
且，即有与方向相反，
所以当时，与共线，并且它们反向共线.
18．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知
（1）设的夹角为，求的值；
（2）若向量与互相垂直，求k的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
， ，
因为，所以.
（2）因为向量与互相垂直，所以，
所以，即，解得：.
19．（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）已知在中，是边的中点，且，设与交于点．记，．

（1）用，表示向量，；
（2）若，且，求的余弦值．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）


（2）∵三点共线，由得，
，即，
∴，
∴，∴的余弦值为.
20．（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）已知的坐标分别为.
（1）若三点共线，求角的值；
（2）若，且四边形为平行四边形，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵三点共线，∴，
又，，∴，，
又，∴.
（2）∵四边形为平行四边形，∴，
而，∴，，
∴，，
所以，
因为，所以，则，
所以，即的取值范围为.