2025-2026学年山东省济南市济阳区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年山东省济南市济阳区八年级（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，解为x=4y=−3的二元一次方程是( )
A. x−y=1B. 3x−y=9C. x+y=1D. 3x+y=−9
2.在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是( )
A. (1,2)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (1,−2)
3.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 5B. 8C. 13D. 1 2
4.直线y=kx+3与x轴的交点是(1,0)，则k的值是( )
A. 3B. 2C. −2D. −3
5.下列计算错误的是( )
A. 3+2 2=5 2B. 2 2÷2= 2C. 2× 3= 6D. 2 2− 2= 2
6.下列各图能表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
7.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为( )
A. 15cmB. 18cmC. 21cmD. 24cm
8.用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为(7,4)，若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组( )
A. x+y=73y=4
B. 2x+y=7x−y=4
C. 2x+y=7x+y=4
D. x+y=7x−y=4
9.如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )
A. 3B. 5C. 6D. 7
10.在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标是(a,a−4)，另一点A的坐标为(3,0)，则以下结论：
①点P在直线y=x−4上；
②若设△OPA的面积为当a=52时，S=94；
③OP的最小值为2 2；
④△OPA的周长最小值为3+ 17；
⑤若点P在第四象限，过P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，长方形OEPF的周长始终为8.
其中正确的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若二次根式 2m−3有意义，则m的值可以是 .(写出一个即可)
12.一个正数的平方根是a−3和a+7，则a的值是 .
13.已知关于x、y的方程组3x+2y=a+22x+3y=3−a，则x+y的值为 .
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x和y=−x的图象分别为直线l1，l2，过点(1,0)作x轴的垂线交l于点A1，过点A作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A10的坐标为 .
15.如图，在长方形ABCD中，点E，点F分别为边AB，CD上的点，将长方形ABCD纸片沿EF折叠，使点B与点D重合，若AB=8，AD=6，则折痕EF的长是 .
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：
(1) 12+ 3− 13；
(2)− 3+ (−3)2+3−27− (1− 2)0.
17.(本小题7分)
解方程组：
(1)y=2x−32x+y=5；
(2)x2−y+13=13x+2y=10.
18.(本小题7分)
如图，在8×8的正方形网格中，点A的坐标为(2,4)，点B的坐标为(4,2).
(1)请在图中将平面直角坐标系xOy画出来；
(2)若将点B向左平移6个单位后，再作关于x轴对称点，得到点C，则点C的坐标为______；
(3)画出三角形ABC，并求其面积.
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=13，AC=15，D为边BC上的一点，AD=12，BD=5.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求△ABC的面积.
20.(本小题8分)
国庆节放假期间，小亮一家到某度假村度假.返回时，他们先乘车到A服务区休息了一会儿，然后又乘车以60km/h的速度返回家中.返回途中，小亮与自己家的距离y(km)和时间x(h)之间的关系大致如图所示.
(1)小亮从度假村到A服务区的过程中，求y与x之间的函数关系式；
(2)小亮从度假村回到自己家共用了多长时间？
21.(本小题9分)
一辆完整的自行车由二百多种、一千多个零件组成，其中链条是自行车传动系统上的重要组成部分.已知链条总长度是链条节数的一次函数，如图所示，周亮对某型号自行车链条的长度进行了测量，测得1节链条的长度为2.5cm，4节这样的链条连在一起的总长度为7.6cm.
(1)设自行车链条总长度为y cm，链条节数x节，请根据图中的信息求出y与x的关系式；
(2)求20节同样的链条按图中方式连在一起的总长；
(3)李师傅要给一辆自行车换同款链条，新链条拉直总长为85.8cm，这段链条共有多少节？
22.(本小题10分)
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计90万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计85万元.
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该汽车销售公司正好用125万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车(两种型号汽车均购买)国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？
23.(本小题10分)
如图，已知直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，经过原点的直线与直线AB相交于点C(−4,2).
(1)求点B的坐标；
(2)求△OBC的面积；
(3)在直线AB上是否存在点M，使△OCM的面积与△AOB的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
24.(本小题12分)
阅读下列材料，然后回答问题：
材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如2 3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：2 3+1=2( 3−1)( 3+1)( 3−1)=2( 3+1)( 3)2−1=2( 3−1)2=( 3−1)，以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
材料二：学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想.它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=−3，求a2+b2.我们可以把a+b和ab分别看作是一个整体，令x=a+b=2，y=ab=−3，则a2+b2=(a+b)2−2ab=x2−2y=4+6=10.这样，我们不用求出a，b就可以得到最后的结果.
(1)计算：12+ 3；
(2)若m是正整数，a= m+1− m m+1+ m，b= m+1+ m m+1− m，则：
①ab=______，a+b=______(用含m的代数式表示)；
②若a+b+4ab=2026，求m的值：
(3)若 13+x2− 21−x2=2，则 13+x2+ 21−x2的值是______.
25.(本小题12分)
【模型构建】
(1)如图1，将含有45∘的三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，请写出图1中(除AC=BC外)相等的线段，并证明；
【初步感知】
(2)如图2，直角三角板ABC放置在平面直角坐标系xOy中，点C的坐标为(0,−2)，点B坐标为(−4,0)，请求出点A的坐标和直线AB的表达式；
【深入探究】
(3)如图3，点A坐标为(−3,0)，点B坐标为(0,4)，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数y=−x−1图象上的一个动点，当△APD是一个以AD为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A：∵4−(−3)≠1，
∴x=4y=−3不是方程的解，不符合题意；
B：∵12+3=15，
∴x=4y=−3不是该方程的解，不符合题意；
C：4−3=1，
∴x=4y=−3是方程的解，符合题意；
D：∵3×4−3≠−9，
∴x=4y=−3不是方程的解，不符合题意；
故选：C.
将x=4y=−3代入方程，判断两边是否相等，相等则为方程的解．
本题考查二元一次方程的解．熟练掌握该知识点是关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵手的位置是在第二象限，
∴手盖住的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴结合选项这个点是(−1,2).
故选：B.
根据点在第二象限点的坐标特点可直接解答．
本题主要考查了点在第二象限时点的坐标特征，比较简单．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−).
3.【答案】A
【解析】解：A. 5是最简二次根式，故本选项符合题意；
B. 8的被开方数含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C. 13的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.1 2的分母中含有根号，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A.
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
4.【答案】D
【解析】解：∵直线y=kx+3与x轴的交点是(1,0)，
∴0=k+3，
∴k=−3，
故选D.
本题可直接将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
本题考查待定系数法的运用，比较简单，要注意细心运算．
5.【答案】A
【解析】解：A、3与2 2不是同类项，不能合并，符合题意；
B、2 2÷2= 2，计算正确，不符合题意；
C、 2× 3= 6，计算正确，不符合题意；
D、2 2− 2= 2，计算正确，不符合题意，
故选：A.
根据二次根式运算法则进行计算，逐项判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟记二次根式混合运算的法则．
6.【答案】C
【解析】解：A、B、D都不是函数，因为一个x的值对应有多个y的值，C选项符合函数的概念，
故选：C.
根据函数的概念可直接进行排除选项．
本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：依题意，AC=24cm，BC=7cm，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=242+72=625=252，
∴AB=25cm，
∵AB=AD=25cm，DE=20cm，
在Rt△ADE中，AE2=AD2−DE2=252−202=152，
∴AE=15cm，
故选：A.
在Rt△ABC中由勾股定理求出AB=AD=25cm，再在Rt△ADE中运用勾股定理即可求出AE.
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意得：2x+y=7x+y=4，
故选：C.
每个长方形的长为x，宽为y，根据点B的坐标，列出关于x、y的二元一次方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理，根据题意得出BC的长是解题关键．
直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案．
【解答】
解：如图所示：连接OC，
由题意可得：OB=2，BC=1，
则OC= 22+12= 5，
故点M对应的数是： 5.
故选：B.
10.【答案】D
【解析】解：∵点P(a,a−4)
∴点P在y=x−4上，故①正确；
∵A(3,0)，
∴OA=3，
∴SOAP=12OA⋅|yP|=12×3×|a−4|，
当a=52时，S△OAP=12×3×|52−4|=94，故②正确；
OP= a2+(a−4)2= a2+a2−8a+16= 2a2−8a+16= 2(a−2)2+8，
∵(a−2)2≥0，
∴当a=2时，OP取得最小值，最小值为 8=2 2，故③正确；
设直线y=x−4与x轴的交点为B(4,0)，与y轴交点为C(0,−4)，
作点A关于直线y=x−4的对称点A′，连接OA′，与直线y=x−4的交点即为使得△OPA周长最小的点P，如图：
∵OB=OC=4，
∴∠OBC=∠OCB=45∘，
∵点A′与点A关于直线y=x−4对称，
∴BC是线段AA′的垂直平分线，
∴BA′=BA=1，
∴A′(4,−1)，
∴OA′= 42+(−1)2= 17，
∴△OPA的周长最小值为OA′+OA= 17+3，结论④正确；
若点P在第四象限，则a>0，a−4