2023-2024学年山东省济南市济阳区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省济南市济阳区八年级（上）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（4分）如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（ ）
A．3米B．6米C．9米D．10米
3．（4分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．3.14B．﹣C．8D．
4．（4分）一次函数y＝﹣x+4的图象经过（ ）
A．第一二三象限B．第二三象限
C．第一二四象限D．第二三四象限
5．（4分）若是关于x、y的方程x﹣ay＝3的一个解，则a的值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
6．（4分）点A（x，y）满足二元一次方程组的解，则点A在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
7．（4分）已知二元一次方程组，则m+n＝（ ）
A．1B．7C．﹣1D．﹣7
8．（4分）估计2+的值（ ）
A．在2和3之间B．在3和4之间
C．在4和5之间D．在5和6之间
9．（4分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…若点A1的坐标为（2，4），则点A2023的坐标为（ ）
A．（3，﹣1）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣3，3）D．（2，4）
10．（4分）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝CD；④ED⊥BD；⑤AE2+AD2＝2AC2．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题。（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知一次函数y＝2x﹣1的图象经过点（3，m），则m的值是 ．
12．（4分）把方程2x﹣y＝4变形，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
13．（4分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴于一点，则这个点表示的实数是 ．
14．（4分）计算： ．
15．（4分）如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，6），直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，∠ABC＝45°．若线段BC上存在一点P，使△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，则BD的长为 ．
三、解答题。（本大题共10个小题，共86分）
17．（8分）解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
18．（8分）计算：
（1）；
（2）．
19．（8分）一棵高8米的大树被折断，折断处A距地面的距离AC＝3米（点B为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C的距离CD为4.5米，点D在CB的延长线上，求大树顶端着地处B到小轿车的距离BD．
20．（8分）已知一次函数y＝2x﹣4．
（1）完成列表，并作出该函数的图象；
（2）设图象与x、y轴分别交于点A、B，求线段AB的长．
21．（8分）已知点A（2a+b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
（2）若点A，B关于y轴对称，求（4a+4b）2023的值．
22．（8分）已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
23．（8分）父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格．
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答；
（1）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式；
（2）你能计算出距离地面8千米的高空温度是多少吗？
24．（10分）观断；，
，
（1）化简：①＝ ；②＝ ；
（2）比较大小： ；
（3）计算：…+．
25．（10分）如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（6，0），点P（x，y）是第一象限内的直线y＝kx+6上的一个动点．（1）求K的值；
（2）在点P的运动过程中，写出△OPA的面积S与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究，当点P运动到什么位置（求P的坐标）时，△OPA的面积是27．
26．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，D在线段BC上，E是线段AD上一点．现以CE为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF，连接BF．
（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBF；
（2）当A、E、F三点共线时，如图2，
①求证：∠DFB＝90°；
②若BF＝2，求AF的长．
2023-2024学年山东省济南市济阳区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.）
1．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【解答】解：∵点的横坐标3＞0，纵坐标﹣4＜0，
∴点P（3，﹣4）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．（4分）如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（ ）
A．3米B．6米C．9米D．10米
【分析】由勾股定理求出ABAC的长即可．
【解答】解：由题意可知，∠ACB＝90°，
∵AB＝15米，BC＝12米，
∴AC＝（米），
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出AC的长是解题的关键．
3．（4分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．3.14B．﹣C．8D．
【分析】无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
【解答】解：A．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．8是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
4．（4分）一次函数y＝﹣x+4的图象经过（ ）
A．第一二三象限B．第二三象限
C．第一二四象限D．第二三四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可知该函数图象经过哪几个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+4，k＝﹣1＜0，b＝4＞0，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
5．（4分）若是关于x、y的方程x﹣ay＝3的一个解，则a的值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
【分析】将代入方程x﹣ay＝3，即可求a的值．
【解答】解：∵是关于x、y的方程x﹣ay＝3的一个解，
∴2﹣a＝3，
∴a＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
6．（4分）点A（x，y）满足二元一次方程组的解，则点A在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】先解二元一次方程组可得：，从而可得点A（﹣3，﹣1），然后根据第三象限点的坐标特征（﹣，﹣）即可解答．
【解答】解：，
解得：，
∴点A（﹣3，﹣1）在第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（4分）已知二元一次方程组，则m+n＝（ ）
A．1B．7C．﹣1D．﹣7
【分析】方程组两方程相减求出m+n的值即可．
【解答】解：，
①﹣②得：m+n＝﹣1．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．（4分）估计2+的值（ ）
A．在2和3之间B．在3和4之间
C．在4和5之间D．在5和6之间
【分析】直接得出2＜＜3，进而得出2+的取值范围．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴4＜2+＜5，
∴2+的值在4和5之间，
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的范围是解题关键．
9．（4分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…若点A1的坐标为（2，4），则点A2023的坐标为（ ）
A．（3，﹣1）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣3，3）D．（2，4）
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点A2023的坐标即可．
【解答】解：∵A1的坐标为（2，4），
∴A2（﹣3，3），A3（﹣2，﹣2），A4（3，﹣1），A5（2，4），
……，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2023÷4＝505……3，
∴点A2023的坐标与A3的坐标相同，为（﹣2，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
10．（4分）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝CD；④ED⊥BD；⑤AE2+AD2＝2AC2．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，则可根据“SAS”证明△ACE≌△BCD，于是可对①进行判断；利用三角形外角性质得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，则可得对②进行判断；利用CE＝CD和三角形三边之间的关系可对③进行判断；根据△ACE≌△BCD得到∠BDC＝∠E＝45°，则可对④进行判断；由勾股定理可对⑤进行判断．
【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，
∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
所以①正确，符合题意；
∵∠DAC＝∠E+∠ACE，
即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，
∵∠BAC＝∠E＝45°，
∴∠DAB＝∠ACE，
所以②正确，符合题意；
∵AE+AC＞CE，CE＝CD，
∴AE+AC＞CD，
所以③错误，不符合题意；
∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC＝∠E＝45°，
∵∠CDE＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝45°+45°＝90°，
∴ED⊥BD，
所以④正确，符合题意；
∴△ADB是直角三角形，
∴AD2+BD2＝AB2，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∴AD2+AE2＝AB2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB2＝2AC2，
∴AE2+AD2＝2AC2，
故⑤正确，符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形得判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
二、填空题。（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知一次函数y＝2x﹣1的图象经过点（3，m），则m的值是 5 ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值，此题得解．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣1的图象经过点（3，m），
∴m＝2×3﹣1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
12．（4分）把方程2x﹣y＝4变形，用含x的代数式表示y，则y＝ 2x﹣4 ．
【分析】要用x的代数式表示y，先移项，再将系数化为1即可．
【解答】解：2x﹣y＝4，
y＝2x﹣4．
故答案为：2x﹣4．
【点评】此题考查了解二元一次方程的知识．解此类问题的关键是把方程中含有x的项移到等号的右边，再把y的系数化为1．
13．（4分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴于一点，则这个点表示的实数是 ．
【分析】根据勾股定理，可得OB的长，根据圆的性质，可得B点坐标．
【解答】解：由勾股定理，得
OB＝＝．
B在原点的右侧时，B点表示的数为，
B在原点的左侧是，B点表示的数为﹣，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出OB的长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
14．（4分）计算： ．
【分析】先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解．
【解答】解：
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
15．（4分）如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，6），直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，∠ABC＝45°．若线段BC上存在一点P，使△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为 （﹣8，2） ．
【分析】过点P作PF⊥OC于点F，证明△AFP≌△BOA，根据全等三角形的性质得到AP＝OB＝6，PF＝OA＝2，进而求出P点坐标．
【解答】解：如图，过点P作PF⊥OC于点F，
∵A点的坐标为（﹣2，0），B点的坐标为（0，6），
∴OA＝2，OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵∠PAB＝90°，
∴∠OAB+∠PAF＝90°，
∴∠ABO＝∠PAF，
在△AFP和△BOA中，
，
∴△AFP≌△BOA（AAS），
∴AP＝OB＝6，PF＝OA＝2，
∴点P的坐标为（﹣8，2），
故答案为：（﹣8，2）．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、点的坐标，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
16．（4分）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，则BD的长为 ．
【分析】由勾股定理的逆定理可求∠C＝90°，由折叠的性质可得CD＝DE，AC＝AE＝5，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵AC＝5，AB＝13，BC＝12，
∴AC2+CB2＝AB2，
∴∠C＝90°．
∵将△ABC沿AD折叠，
∴CD＝DE，AC＝AE＝5，
∴BE＝8，
设CD＝x，
∴∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝x，BD＝12﹣x．
∵在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
∴x2+82＝（12﹣x）2，
解得x＝，
∴CD＝，
∴BD＝12﹣x＝12﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题。（本大题共10个小题，共86分）
17．（8分）解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入法求解即可；
（2）方程组利用加减法求解即可．
【解答】解：（1），
①代入②，可得3x+4（2x﹣1）＝7，
解得x＝1，
把x＝1代入①，得y＝1，
∴原方程组的解是；
（2），
由②×4﹣①得5x＝30，
解得x＝6，
把x＝6代入②，可得12+y＝5，
解得y＝﹣7，
∴原方程组的解是．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握代入法和加减法解方程组的方法是关键．
18．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式；
（2）利用平方差公式计算即可．
【解答】（1）原式＝
＝2；
（2）原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
19．（8分）一棵高8米的大树被折断，折断处A距地面的距离AC＝3米（点B为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C的距离CD为4.5米，点D在CB的延长线上，求大树顶端着地处B到小轿车的距离BD．
【分析】由题意可知，AC＝3m，AB＝5m，再由勾股定理得BC＝4m，然后求出BD的长即可．
【解答】解：由题意可知，AC＝3m，AB＝8﹣3＝5（m），
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝4（m），
∴BD＝CD﹣BC＝4.5﹣4＝0.5（m），
答：大树顶端着地处B到小轿车的距离BD为0.5m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出BC的长是解题的关键．
20．（8分）已知一次函数y＝2x﹣4．
（1）完成列表，并作出该函数的图象；
（2）设图象与x、y轴分别交于点A、B，求线段AB的长．
【分析】（1）根据描点法，可得函数图象；
（2）根据自变量为零时，可得图象与y轴交点的纵坐标，根据函数值为零时，可得函数图象与x轴的交点的横坐标，然后根据勾股定理即可求得．
【解答】解：（1）列表：
描点：函数图形过两点（0，﹣4），（2，0），
画线：过两点画直线，如图所示．
（2）当x＝0时，y＝﹣4，图象与y轴的交点B坐标是（0，﹣4）
当y＝0时，2x﹣4＝0，解得x＝2，图象与x轴的交点A坐标是（2，0），
AB＝＝＝2．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及一次函数图象上点的坐标特征，利用了描点法画函数图象，注意一次函数的图象是一条直线，可用两点法画函数图象．
21．（8分）已知点A（2a+b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
（2）若点A，B关于y轴对称，求（4a+4b）2023的值．
【分析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可；
（2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）∵点A，B关于x轴对称，
∴，
解得：；
（2）∵点A，B关于y轴对称，
∴，
解得：，
∴（4a+4b）2023＝[4×（﹣）+4×]2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
【点评】本题考查了关于x、y轴对称的点的坐标特征：点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
22．（8分）已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称变换的性质作图；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点解答；
（3）根据矩形的面积公式和三角形的面积公式计算．
【解答】解：（1）所作图形如图所示；
（2）A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；
（3）S△ABC＝3×4﹣×2×3﹣×4×1﹣×2×2＝12﹣3﹣2﹣2＝5．
【点评】本题考查的是轴对称变换的性质，掌握轴对称变换中坐标的变化特点是解题的关键，注意坐标系中不规则图形的面积的求法．
23．（8分）父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格．
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答；
（1）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式；
（2）你能计算出距离地面8千米的高空温度是多少吗？
【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列得代数式即可；
（2）将h＝8代入代数式中计算即可．
【解答】解：（1）由表格数据可得，高度每增加1千米，温度就下降6℃，
则t＝20﹣6h；
（2）当 h＝8时，
t＝20﹣6×8＝﹣28，
即距离地面16千米的高空温度是﹣28°C．
【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的代数式是解题的关键．
24．（10分）观断；，
，
（1）化简：①＝ ﹣ ；②＝ ﹣ ；
（2）比较大小： ＜ ；
（3）计算：…+．
【分析】（1）把的分子分母都乘以（﹣），然后利用平方差公式计算；
②把的分子分母都乘以（﹣），然后利用平方差公式计算；
（2）先利用分母有理化得到﹣＝，﹣＝，然后比较和即可；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：（1）①，
②，
故答案为：；；
（2）∵﹣＝，﹣＝，
而＜，
∴﹣＜﹣，
故答案为：＜；
（3）原式＝
＝
＝﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
25．（10分）如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（6，0），点P（x，y）是第一象限内的直线y＝kx+6上的一个动点．（1）求K的值；
（2）在点P的运动过程中，写出△OPA的面积S与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究，当点P运动到什么位置（求P的坐标）时，△OPA的面积是27．
【分析】（1）根据待定系数法，可得k值；
（2）根据点在直线上，可得P点坐标，根据三角形的面积公式，可得函数解析式；再根据P（x，y）是第一象限内的直线上，可得自变量的取值范围；
（3）把△OPA的面积为27代入（2）中关系式，求出x的值，把x的值代入直线y＝x+6即可得出结论．
【解答】解：（1）点E的坐标为（﹣8，0），且在直线y＝kx+6上，
∴﹣8k+6＝0，
解得，；
（2）∵点P（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点，
∴y＝x+6，
∴；
（3）由题意得，，
解得，x＝4，
则 ，
∴点P的坐标为（4，9）时，△OPA 的面积是27．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，利用三角形的面积公式是求函数关系式和一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
26．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，D在线段BC上，E是线段AD上一点．现以CE为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF，连接BF．
（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBF；
（2）当A、E、F三点共线时，如图2，
①求证：∠DFB＝90°；
②若BF＝2，求AF的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出CA＝CB，CE＝CF，进而利用SAS证明△ACE≌△BCF，利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和角的关系解答即可；
（3）根据勾股定理得出AF即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC，△ECF都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠ACE＝∠BCF，
在△ACE与△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CAE＝∠CBF；
（2）①证明：由（1）得：∠CAD＝∠DBF，
∵∠ADB＝∠CAD+∠ACD＝∠DBF+∠DFB，
∴∠DFB＝∠ACD＝90°；﹣
②解：，∠ACB＝90°，
∴，
在Rt△AFB中，由勾股定理得：
．
【点评】此题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．距离地面高度（千米）
1
2
3
4
5
温度（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
x
0
2
y
﹣4
0
距离地面高度（千米）
1
2
3
4
5
温度（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10