山东省张店区七校联考2026届数学九年级第一学期期末考试模拟试题含解析

这是一份山东省张店区七校联考2026届数学九年级第一学期期末考试模拟试题含解析，共22页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列图形中，中心对称图形有等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．一个学习兴趣小组有2名女生，3名男生，现要从这5名学生中任选出一人担当组长，则女生当组长的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，已知和，则下列关系式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，在⊙O中，=，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．150°B．75°C．60°D．15°
5．下列图形中，中心对称图形有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝﹣2C．（x﹣2）2＝2D．（x﹣2）2＝6
7．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB’C’D’，图中阴影部分的面积为（ ）．
A．B．C．D．
8．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为( )
A．0，4B．－3，5C．－2，4D．－3，1
9．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为若平行于墙的一边长不小于则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）
A．4B．7C．3D．12
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边在其坐标轴上，以轴上的某一点为位似中心作矩形，使它与矩形位似，且点，的坐标分别为，，则点的坐标为__________．
12．将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线的函数解析式是____．
13．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根,则m的取值范围是 ．
14．观察下列运算：81=8，82=64，83=512，84=4096，85=32768，86=262144，…，则：81+82+83+84+…+82014的和的个位数字是 .
15．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）中x与y的部分对应值如下表
那么当x＝4时，y的值为___________.
16．圆锥的侧面展开图是一个_____形，设圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2，则这个圆锥的全面积为_____．
17．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影部分＝m，则S1+S2＝_____．
18．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，其中点A的坐标为（1，2），正方形EFGH的边FG在x轴上，且H的坐标为（9，4），则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）将△ABC各顶点的横纵坐标都缩小为原来的得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1；
（2）求A1C1的长．
20．（6分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为2.
（1）求反比例函数的表达；
（2）若射线上有点，，过点作与轴垂直，垂足为点，交反比例函数图象于点，连接，，请求出的面积.
21．（6分）如图，在中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）试猜想直线DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=AH，EF=4，求DF的值．
22．（8分）已知实数满足，求的值.
23．（8分）如图，在的直角三角形中，，是直角边所在直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，．
（1）如图①，当点恰好在线段上时，请判断线段和的数量关系，并结合图①证明你的结论；
（2）当点不在直线上时，如图②、图③，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②、图③选择一个给予证明；若不成立，请直接写出新的结论．
24．（8分）某商店购进一批成本为每件40元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
（2）若商店要使销售该商品每天获得的利润等于1000元，每天的销售量应为多少件？
（3）若商店按单价不低于成本价，且不高于65元销售，则销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
25．（10分）如图，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP＝90°，点A在第四象限，点P坐标为（8，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O和A、P两点．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）点B是y轴正半轴上一点，连接AB，过点B作AB的垂线交抛物线于C、D两点，且BC＝AB，求点B坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，求△CBN面积的最大值．
26．（10分）根据要求画出下列立体图形的视图．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵一个学习兴趣小组有2名女生，3名男生，
∴女生当组长的概率是：．
故选：C．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2、B
【分析】根据三角函数的定义即可作出判断．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠C的对边为c，∠A的对边为a，
∴sinA＝，
∴a＝c•sinA，．
故选：B．
考查了锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．
3、D
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【详解】从左边看一个正方形被分成两部分，正方形中间有一条横向的虚线，如图：
故选：D．
本题考查了几何体的三视图，从左边看得到的是左视图．
4、B
【详解】∵在⊙O中，=，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；又∠A=30°，
∴∠B==75°（三角形内角和定理）．
故选B．
考点：圆心角、弧、弦的关系．
5、B
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行解答．
【详解】第一、二、三个图形是中心对称图形，第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形.
综上所述，是中心对称图形的有3个.
故答案选B.
本题考查了中心对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形的定义.
6、C
【分析】按照配方法的步骤：移项，配方（方程两边都加上4），即可得出选项．
【详解】解：x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
故选：C．
本题主要考查配方法，掌握完全平方公式是解题的关键．
7、C
【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE＝∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′＝60°，然后求出∠DAE＝30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．
【详解】如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，
在Rt△AB′E和Rt△ADE中，
，
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE＝∠B′AE，
∵旋转角为30°，
∴∠DAB′＝60°，
∴∠DAE＝×60°＝30°，
∴DE＝1×＝，
∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（×1×）＝1﹣．
故选C．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE＝∠B′AE，从而求出∠DAE＝30°是解题的关键，也是本题的难点．
8、B
【分析】先将，代入一元二次方程得出与的关系，再将用含的式子表示并代入一元二次方程求解即得．
【详解】∵关于的一元二次方程的两根为，
∴或
∴整理方程即得：
∴
将代入化简即得：
解得：，
故选：B．
本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程．
9、C
【分析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2，根据二次函数的图象及性质求最值即可．
【详解】解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2
由题意可得y=x（20－2x）=-2（x－5）2＋50，且8≤20－2x≤15
解得：2.5≤x≤6
∵-2＜0，二次函数图象的对称轴为直线x=5
∴当x=5时，y取最大值，最大值为50 ；
当x=2.5时，y取最小值，最小值为37.5 ；
故选C．
此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的图象及性质是解题关键．
10、B
【解析】试题分析：∵DE：EA=3：4，∴DE：DA=3：3，∵EF∥AB，∴，∵EF=3，∴，解得：AB=3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=3．故选B．
考点：3．相似三角形的判定与性质；3．平行四边形的性质．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】首先求出位似图形的位似中心坐标，然后即可得出点D的坐标.
【详解】连接BF交轴于P，如图所示：
∵矩形和矩形，点，的坐标分别为，，
∴点C的坐标为
∵BC∥GF
∴
∴GP=1，PC=2，OP=3
∴点P即为其位似中心
∴OD=6
∴点D坐标为
故答案为：.
此题主要考查位似图形的性质，熟练掌握，即可解题.
12、
【分析】根据题意先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为（0，0），
向右平移1个单位，再向下平移2个单位后的图象的顶点坐标为（1，-2），
所以得到图象的解析式为.
故答案为：.
本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
13、m≤且m≠1．
【详解】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．有实数根则△=即1-4（-1）(m-1)≥0解得m≥，又一元二次方程所以m-1≠0综上m≥且m≠1.
14、1．
【解析】试题分析：易得底数为8的幂的个位数字依次为8，2，1，6，以2个为周期，个位数字相加为0，呈周期性循环．那么让1012除以2看余数是几，得到相和的个位数字即可：
∵1012÷2=503…1，
∴循环了503次，还有两个个位数字为8，2．
∴81+81+83+82+…+81012的和的个位数字是503×0+8+2=11的个位数字.
∴81+81+83+82+…+81012的和的个位数字是1．
考点：探索规律题（数字的变化类——循环问题）.
15、－1
【分析】将表中数值选其中三组代入解析式得方程组，解方程组得到函数解析式，再把x=4代入求值即可.
【详解】解：将表中数值选其中三组代入解析式得：
解得：
所以解析式为：
当x=4时，
故答案为：-1
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．
16、扇 10π
【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积即可得答案．
【详解】圆锥的侧面展开图是一个扇形，
圆锥的侧面积＝=π×2×3＝6π，
底面积为=4π，
∴全面积为6π+4π＝10π．
故答案为：扇，10π
本题考查圆锥的侧面展开图及侧面积的计算，熟记圆锥侧面积公式是解题关键．
17、8﹣2m
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4，根据S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影，可求S1+S2的值．
【详解】解：如图，
∵A、B两点在双曲线y＝上，
∴S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4，
∴S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影，
∴S1+S2＝8﹣2m
故答案为:8﹣2m．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
18、（﹣3，0）或（，）
【分析】连接HD并延长交x轴于点P，根据正方形的性质求出点D的坐标为（3，2），证明△PCD∽△PGH，根据相似三角形的性质求出OP，另一种情况，连接CE、DF交于点P，根据待定系数法分别求出直线DF解析式和直线CE解析式，求出两直线交点，得到答案．
【详解】解：连接HD并延长交x轴于点P，则点P为位似中心，
∵四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（1，2），
∴点D的坐标为（3，2），
∵DC//HG，
∴△PCD∽△PGH，
∴，即，
解得，OP＝3，
∴正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（﹣3，0），
连接CE、DF交于点P，
由题意得C（3，0），E（5，4），D（3，2），F（5，0），
求出直线DF解析式为：y＝﹣x+5，直线CE解析式为：y＝2x﹣6，
解得
直线DF，CE的交点P为（，），
所以正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（，），
故答案为：（﹣3，0）或（，）．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
三、解答题(共66分)
19、（1）作图见解析；（2）
【解析】(1)直接利用位似图形的性质求解即可;(2)根据题意利用勾股定理解答即可.
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，△A2B2C2，都是符合题意的图形；
（2）A1C1的长为：．
本题考查了位似变换及勾股定理的知识点，解题的关键是由题意正确得出对应点的位置.
20、（1）y=(x>0)；（2）△OAB的面积为2.
【分析】（1）将A点的横坐标代入正比例函数，可求出A点坐标，再将A点坐标代入反比例函数求出k，即可得解析式；
（2）过A点作AN⊥OM，垂足为点N，则AN∥PM，根据平行线分线段成比例得，进而求出M点坐标，将M点的横坐标分别代入反比例函数和正比例函数，求出B、P的坐标，再利用三角形面积公式求出△POM、△BOM的面积，作差得到△BOP的面积，最后根据S△OAB∶S△BAP=OA∶AP=1∶2即可求解．
【详解】解：（1）A点在正比例函数y=x的图象上，当x=2时，y=3，
∴点A的坐标为(2,3)
将(2,3)代入反比例函数解析式y= (x>0)，得，解得k=1．
∴反比例函数的表达式为y=(x>0)
（2）如图，过A点作AN⊥OM，垂足为点N，则AN∥PM，
∴.
∵PA=2OA，
∴MN=2ON=4，
∴OM=ON+MN=2+4=1
∴M点的坐标为(1,0)
将x=1代入y=，得y==1，
∴点B的坐标为(1,1)
将x=1代入y=x，得y==9，
∴点P的坐标为(1,9)．
∴S△POM=×1×9=27，S△BOM=×1×1=3
∴S△BOP=27-3=24
又∵S△OAB∶S△BAP=OA∶AP=1∶2
∴S△OAB=×24=2
答：△OAB的面积为2．
本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，以及平行线分线段成比例，熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用点的坐标求三角形面积是解题的关键．
21、（1）直线与⊙O相切，理由见解析；（2）DF=6
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，，可得，即可证明OD//AC，根据平行线的性质可得∠ODH=90°，即可的答案；
（2）连接，由圆周角定理可得∠B=∠E，即可证明∠C=∠E，可得CD=DE，由AB是直径可得∠ADB=90°，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得HE=CH，BD=CD，可得OD是△ABC的中位线，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案.
【详解】（1）直线与⊙O相切，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴∠ODH=∠DHC=90°，
∴DH是⊙O的切线.
（2）如图，连接，
∵∠B和∠E是所对的圆周角，
∴，
∵
∴
∴DC＝DE
∵，
∴HE=CH
设AE=AH=x，则，，
∵是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∵AB=AC
∴BD＝CD
∴OD是的中位线，
，，
∴，
∴，
∵EF=4
∴DF=6
本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
22、，2.
【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后解一元二次方程求出a的值，把能使分式有意义的值代入化简的结果计算即可.
【详解】解：原式
，
∵，
∴a(a+1)=0，
∴，，
∵，，
∴当时，原式.
本题考查了分式的计算和化简，以及一元二次方程的解法，熟练掌握分式的运算法则及一元二次方程的解法是解答本题的关键.
23、（1），证明见解析；（2）图②、图③结论成立，证明见解析．
【分析】（1）利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，证得△ADC≌△AEF，结合直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半解决问题；
【详解】（1）．
证明如下：
∵，，
∴为等边三角形，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）图②、图③结论成立．
图②证明如下：
如图②，过点作，垂足为．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
又，，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴．
∵为等边三角形，，
∴．
图③证明如下：
如图③，过点作，垂足为．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
又，，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴．
∵为等边三角形，，
∴．
本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24、（1）y=-2x+200；（2）100件或20件；（3）销售单价定为65元时，该超市每天的利润最大，最大利润1750元
【分析】（1）将点（40，120）、（60，80）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得（x-40）（-2x+200）=1000，解不等式即可得到结论;
（3）由题意得w=（x-40）（-2x+200）=-2（x-70）2+1800，即可求解.
【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点（40，120）、（60，80）代入一次函数表达式得：
解得，
所以关系式为y=-2x+200；
（2）由题意得：（x-40）（-2x+200）=1000
解得x1=50，x2=90；
所以当x=50时，销量为：100件；
当x=90时，销量为20件；
（3）由题意可得利润W＝（x-40）（-2x+200）=-2（x-70）2+1800，
∵-2＜0，故当x＜70时，w随x的增大而增大，而x≤65，
∴当x=65时，w有最大值，此时，w=1750，
故销售单价定为65元时，该超市每天的利润最大，最大利润1750元．
考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．
25、（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）先根据是等腰直角三角形，和点P的坐标求出点A的坐标，再利用待定系数法即可求得；
（2）设点，如图（见解析），过点C作CH垂直y轴于点H，过点A作AQ垂直y轴于点Q，易证明，可得，则点C坐标为，将其代入题（1）中的抛物线函数关系式即可得；
（3）如图，延长NM交CH于点E，则，先通过点B、C求出直线BC的函数关系式，因点N在抛物线上，则设，则可得点M的坐标，再根据三角形的面积公式列出等式，利用二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）是等腰直角三角形，，点P坐标为
则点A的坐标为
将点O、A、B三点坐标代入抛物线的函数关系式得：
，解得：
故抛物线的函数关系式为：；
（2）设点，过点C作CH垂直y轴于点H，过点A作AQ垂直y轴于点Q，
又
故点C的坐标为
将点C的坐标代入题（1）的抛物线函数关系式得：
，解得：
故点B的坐标为；
（3）如图，延长NM交CH于点E，则
设直线BC的解析式为：，将点，点代入得：
解得：
则直线BC的解析式为：
因点N在抛物线上，设，则点M的坐标为
的面积
即
整理得：
又因点M是线段BC上一点，则
由二次函数的性质得：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
故当时，取得最大值.
本题是一道较好的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、三角形全等的判定定理与性质、二次函数图象的性质，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题关键.
26、答案见解析．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，即可得到结果．
【详解】解：如图所示：
本题考查几何体的三视图，作图能力是学生必须具备的基本能力，因为此类问题在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大．
x
－1
0
1
3
y
－1
3
5
3