2025-2026学年山东省聊城市阳谷县九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年山东省聊城市阳谷县九年级（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四组图形中，不是相似图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，在△ABC中，∠A=80∘，AB=8，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4：9，则OA：OD为( )
A. 4：9
B. 2：3
C. 2：1
D. 3：1
4.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D.视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=2米，AC=3.2米，AE=0.8米，那么CD为( )
A. 3米B. 4米C. 5米D. 6米
5.在Rt△ABC中，∠C=90∘，sinA=45，则csA=( )
A. 53B. 35C. 45D. 34
6.如图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度AC是12m，则高BC是( )
A. 2m
B. 3m
C. 4m
D. 5m
7.如图，AB是⊙O的直径，AD=70∘，点C是BD的中点，则∠DOC=( )
A. 65∘
B. 55∘
C. 110∘
D. 60∘
8.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠O=64∘，则∠A=( )
A. 16∘
B. 32∘
C. 48∘
D. 64∘
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E.若AD=5，AE=10，则BC的长是( )
A. 10
B. 12
C. 13
D. 15
10.在Rt△ABC中，∠C=90∘，csB=35，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )
A. 相离B. 相切C. 相交D. 相切或相交
11.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为( )
A. 3
B. 3 32
C. 2 3
D. 3 3
12.如图，A，B是平面内两定点，C，D是平面内两动点，且满足AB//CD，AB=CD.下列说法中，
①A，B，C，D四点一定在同一个圆上；
②若AC=BD，则A，B，C，D四点一定在同一个圆上；
③若AC⊥BD，则四边形ABCD的各边一定都与某一个圆相切；
④存在四边形ABCD既有外接圆，又有内切圆.
所有正确说法的序号是( )
A. ①②B. ②④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.在平面直角坐标系中，△COD与△AOB位似比为12，位似中心为原点O，若点C的坐标为(−3,−2)，则其对应点A的坐标是 .
14.如图，△ABC中，∠C=90∘，正方形DEFG内接于△ABC，若AE=6，BF=4，则正方形DEFG的边长是 .
15.第14届国际数学教育大会(ICME−14)会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF：AH=1：3，则sin∠ABE的值为 .
16.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=15∘，则∠P的度数为 .
17.Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=5，BC=12，则外接圆的半径为 ，内切圆的半径为 .
18.图1为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具--“碓(duì)”，图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l，CF⊥l.若BC=4分米，OF=8 5分米，sin∠BOE=2 55，则CF= 分米.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=3，BC=5，求sinB，csB，tanB的值.
20.(本小题8分)
如图，AB//CD，AC与BD交于点E，且AB=8，AE=4，AC=16.
(1)求CD的长；
(2)求证：△ABE∽△ACB.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠A=30∘,∠B=45∘,BC=3 2.
(1)求AC的值；
(2)求△ABC的面积(结果保留根号).
22.(本小题10分)
请根据以下素材，完成探究任务：
23.(本小题10分)
天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题.某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离.具体研究方法与过程如表：
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH.(结果精确到1万千米)
(参考数据：tan89∘25′37.43′′≈100.00，10089∘22′38.09′′≈92.00，sin89∘25′37.43′′≈040.99995，sin89∘22′38.09″≈0.99994，cs89∘25′37.43″≈0.00999，cs89∘22′38.09″≈0.01087)
24.(本小题10分)
综合与实践：测量如图(1)所示的圆口水杯的杯口直径.工具：一张宽度为2cm的矩形硬纸板(厚度忽略不计)和刻度尺.小明的测量方法：如图(2)，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A0，B0分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C0，D0，利用刻度尺测得B0D0的长.
小亮的测量方法：如图(3)，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为8cm.
(1)小明认为，他所测量的B0D0的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：______；
(2)请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径.
25.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，延长AB至点F，使得∠BCF=∠BCD.
(1)求证：CF与⊙O相切；
(2)若∠F=30∘，AB=4，求阴影部分的周长.(结果保留π)
26.(本小题12分)
如图，△ABC中.∠ACB=90∘，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD.
(1)求证：∠ABC=2∠ACD；
(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半径.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D.
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
2.【答案】C
【解析】解：A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意；
B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意；
C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意；
D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意．
故选：C.
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
3.【答案】B
【解析】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴OAOD=ABDE，
∵△ABC与△DEF的面积比4：9，
∴△ABC与△DEF的相似比2：3，即ABDE=23，
∴OAOD=23，
故选：B.
根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB//DE，得到△AOB∽△DOE，得到OAOD=ABDE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：由题意得：AB//CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=AECE，
∴2CD=0.83.2−0.8，
解得CD=6，
经检验，CD=6是原方程的解，
故选：D.
由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD.
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由条件可知sinA=BCAB=45，
设BC=4x，AB=5x，
AC= AB2−BC2= (5x)2−(4x)2=3x，
∴csA=ACAB=3x5x=35，
故选：B.
根据题意设BC=4x，AB=5x，根据勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得：
BCAC=13，
∵AC=12m，
∴BC=4m，
故选：C.
根据题意得BCAC=13，代入AC=12m即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，解题的关键正确进行计算．
7.【答案】B
【解析】解：∵AD=70∘，
∴∠AOD=70∘，
∴∠BOD=180∘−∠AOD=110∘，
∵点C是BD的中点，
∴CD=BC，
∴∠DOC=∠BOC=12∠DOB=55∘，
故选：B.
根据已知可得：∠AOD=70∘，从而可得∠BOD=110∘，再根据已知易得：CD=BC，从而可得∠DOC=∠BOC=12∠DOB=55∘，即可解答．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠O=64∘，
∴∠A=12∠O=32∘.
故选：B.
由圆周角定理推出∠A=12∠O=32∘.
本题考查圆周角定理，关键是掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半．
9.【答案】B
【解析】解：如图，设圆心为O，连接OE，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OD=r，
∴AO=AD+OD=5+r，AB=AD+BD=5+2r，
在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AO2=AE2+OE2，
∴(5+r)2=102+r2，
∴r=7.5，
∴AO=5+r=12.5，AB=5+2r=20，
∵sin∠A=OEAO=BCAB，
∴，
∴BC=12.
故选：B.
设圆心为O，连接OE，设⊙O的半径为r，得AO=5+r，AB=5+2r，然后利用勾股定理求出r，根据sin∠A=OEAO=BCAB，代入值即可求出BC.
本题主要考查了切线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，根据勾股定理求出半径是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∵∠C=90∘，csB=35，
∴BCAB=35，
设BC=3k，则AB=5k，
∴AC= AB2−BC2=4k，
∵AC=4cm，
∴k=1，
∴BC=3cm，AB=5cm，
∴sinB=ACAB=45，
∴CD=BC⋅sinB=1250.5，
∴驾驶员不能观察到物体
【解析】解：(1)根据题意知AB⊥BF，CD⊥BF，BE=2m，DE=0.5m，
∴BD=BE−DE=2−0.5=1.5(m)，
∴△FCD∽△FAB，
∴FDFB=CDAB，且FB=FD+BD=FD+1.5，
∴FDFD+1.5=11.5，
解得FD=3，
经检验，FD=3是原分式方程的解，
∴FD=3m，
∴EF=FD−DE=3−0.5=2.5m；
(2)不能，理由如下：
如图，过点M作MN⊥FB交AF于点N，
∴FM=EF−ME=2.5−0.8=1.7(m)，FD=3m，MD=ME+DE=0.8+0.5=1.3(m)，
∴△FMN∽△FDC，
∴MNCD=FMFD，
∴MN=FM⋅CDFD=1.7×13≈0.57(m)，
∵0.57>0.5，
∴驾驶员不能观察到物体．
(1)根据题意得到△FCD∽△FAB，FDFB=CDAB，且FB=FD+BD=FD+1.5，由此列式得到FDFD+1.5=11.5，即可求解；
(2)过点M作MN⊥FB交AF于点N，可证△FMN∽△FDC，得到比例式MNCD=FMFD，求出MN即可解答．
本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的应用是解题的关键．
23.【答案】月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
【解析】解：设PH=x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB=90∘，∠ABP=89∘25′37.43″，
∴BH=PHtan∠ABP=xtan89∘25′37.43″≈x100，
∵在Rt△PHA中，∠PHA=90∘，∠BAP=89∘22′38.09″，
∴AH=PHtan∠BAP=xtan89∘22′38.09″≈x92，
∵AH+BH=AB≈0.8(万千米)，
∴x100+x92=0.8，
解得x≈38，
即PH≈38(万千米)，
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
根据题意，设PH=x万千米，在Rt△PHB中表示出BH，在Rt△PHA中表示出AH，利用AH+BH=AB，得到方程，解方程得到结果．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
24.【答案】90∘的圆周角所对的弦是直径；
10 cm
【解析】(1)∵纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C0，D0，∠B^0，
∴B0D0为杯口的直径(90∘的圆周角所对的弦是直径)，
∴他用到的几何知识是90∘的圆周角所对的弦是直径．
故答案为：90∘的圆周角所对的弦是直径；
(2)如图，设点O为圆心，连接OA交BC于点M，连接OC.
∵EF为⊙O的切线，
∴OA⊥EF.
又∵BC//EF，
∴OA⊥BC，
∴CM=12BC=4cm，
设⊙O是半径为x cm，则OM=(x−2)cm，OC=xcm，
在Rt△OMC中，OM2+MC2=OC2，
∴(x−2)2+42=x2，
解得x=5，
所以杯口的直径为10cm.
(1)根据90∘的圆周角所对的弦是直径进行解答即可；
(2)设点O为圆心，连接OA交BC于点M，连接OC.根据EF为⊙O的切线得到OA⊥EF.由BC//EF得到OA⊥BC，垂径定理得到CM=4cm，设⊙O的半径为x cm，则OC=xcm，OM=(x−2)cm，在Rt△OMC中，OM2+MC2=OC2，得到(x−2)2+42=x2，解得x=5，即可得到答案．
此题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、切线的性质定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解答本题的关键．
25.【答案】如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠A+∠ABC=90∘，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90∘，
∴∠BCD+∠ABC=90∘，
∴∠A=∠BCD，
∴∠BCD=∠BCF，
∴∠ACO=∠BCF，
∵∠ACO+∠OCB=90∘，
∴∠BCF+∠OCB=∠OCF=90∘，
∴OC⊥CF，
又∵OC是半径，
∴CF与⊙O相切；
2+23π
【解析】(1)证明：如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠A+∠ABC=90∘，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90∘，
∴∠BCD+∠ABC=90∘，
∴∠A=∠BCD，
∴∠BCD=∠BCF，
∴∠ACO=∠BCF，
∵∠ACO+∠OCB=90∘，
∴∠BCF+∠OCB=∠OCF=90∘，
∴OC⊥CF，
又∵OC是半径，
∴CF与⊙O相切；
(2)解：∵∠F=30∘，∠OCF=90∘，
∴∠COF=60∘，
∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=12AB=2，
∵lBC=60π×2180=23π，
∴阴影部分的周长为2+23π.
(1)连接OC，利用等腰三角形性质得到∠A=∠ACO，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出∠ACO=∠3，进而得到∠OCF=90∘，从而证明CF与⊙O相切；
(2)先根据∠F=30∘，∠OCF=90∘，求出∠COF=60∘，再根据半径相等得到BC=OB最后根据弧长公式求出BC的长，加上BC和OC的长，得到阴影部分的周长．
本题主要考查切线的判定与性质，圆周角定理，直线与圆的位置关系，解答本题的关键是熟练掌握切线的性质．
26.【答案】(1)证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA=∠ODB=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ABC+∠COD=180∘，
∵∠AOD+∠COD=180∘，
∴∠ABC=∠AOD，
∵∠AOD=2∠ACD，
∴∠ABC=2∠ACD；
(2)解：设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，OA=8−r，
在Rt△ACB中，
∵∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，
∴AB= 62+82=10，
∵∠OAD=∠BAC，∠ADO=∠ACB，
∴△AOD∽△ABC，
∴ODBC=AOAB，即r6=8−r10，
解得r=3，
即⊙O的半径为3.
【解析】(1)连接OD，如图，先根据切线的性质得到∠ODA=∠ODB=90∘，再根据四边形的内角和与等角的补角相等得到∠ABC=∠AOD，接着根据圆周角定理得到∠AOD=2∠ACD，从而得到结论；
(2)设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，OA=8−r，先利用勾股定理计算出AB=10，再证明△AOD∽△ABC，则利用相似比得到r6=8−r10，然后解方程即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．【汽车盲区与行车安全实践】
素材一
汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域.在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故.如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区(可以近似看作矩形)，以及两侧后视镜的可见区域.
素材二
如图2，若司机视线高度AB=1.5m，车前盖最高处与地面距离CD=1m，驾驶员与车头水平距离BE=2m，车前盖最高处与车头水平距离DE=0.5m，点M在EF上，ME=0.8m.
问题解决
任务一
(1)如图2，求车头盲区EF的长度；
任务二
(2)如图2，在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由.
问题
月球与地球之间的距离约为多少？
工具
天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明
为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P(将月球抽象为一个点)，并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图(如图)，过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP.
数据
AB≈0.8万千米，∠ABP=89∘25′37.43″，∠BAP=89∘22′38.09″.