山东省聊城市阳谷县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份山东省聊城市阳谷县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ）
A．甲与丙B．甲与乙
C．乙与丙D．三个矩形都不相似
2．（4分）如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
3．（4分）如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高1.8m，此刻他在地面上的影长为1.5m，经测量小丽在地面上的影长是1.25m，则小丽的身高为（ ）
A．1.4mB．1.5mC．1.6mD．1.7m
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的3倍
C．不变D．不能确定
6．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（ ）
A．sinA＝B．tanA＝C．csA＝D．tanB＝
7．（4分）春节期间，小澎陪妈妈去爬山，如图，两人从山脚下A处沿坡前行，到达C处时，发现C处标语牌上写着“恭喜你已上升50米”，若此山坡的坡度i＝1：2.4，爱思考的小澎很快告诉妈妈：“我们至少走坡路（ ）米了”．
A．50B．120C．130D．170
8．（4分）如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物BC的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（ ）
A．仰角为∠BAD
B．当无人机远离BC水平飞行时，仰角增大
C．俯角为∠CAD
D．当无人机远离BC水平飞行时，俯角减小
9．（4分）下列说法：
①三点确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；
④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（4分）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cs∠AOB＝（ ）
A．B．C．D．
11．（4分）设Rt△ABC的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（ ）
A．5B．10C．D．5或
12．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（ ）
A．B．2C．D．
二.填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）在锐角三角形ABC中，已知∠A，∠B满足（sinA﹣）2+|﹣tanB|＝0，则∠C＝ ．
14．（4分）将一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边CD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边CD上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 ．
15．（4分）小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若∠A＝90°，∠B＝65°，AB＝10cm，则原直角三角形玻璃的面积为 cm2．（参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
16．（4分）在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，则弦AB所对弧的度数 ．
17．（4分）如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ °．
18．（4分）如图所示，点A、B、C都在⊙O上，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC＝ ．
三.解答题（8小题，满分78分）
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且相似比为2：1，点A，C的对应点分别为A1，C1；
（2）直接写出点A1和点C1的坐标：A1（ ， ），C1（ ， ）．
20．（8分）计算：
（1）tan30°•tan60°+sin245°+cs245°；
（2）2cs30°•sin60°﹣tan45°•sin30°．
21．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）若，且AE＝4，求AB的长．
22．（10分）定义：在△ABC中，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即thiA＝＝．请解答下列问题：
已知：在△ABC中，∠C＝30°．
（1）若∠A＝45°，求thiA的值；
（2）若thiA＝，则∠A＝ °；
（3）若∠A是锐角，探究thiA与sinA的数量关系．
23．（10分）学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm．
（1）求入射角α的度数．
（2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，）
24．（12分）已知，△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E
（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；
（Ⅱ）如图②，当DE＝BE时，求∠C的大小．
25．（12分）根据素材解决问题：
26．（12分）△ABC表示一块直角三角形空地，已知∠ACB＝90°，边AC＝4米，BC＝3米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图1、图2所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大．
2024-2025学年山东省聊城市阳谷县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题4分，共48分）
1．【解答】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2＝3：4，2：3，
∴甲和丙相似，
故选：A．
2．【解答】解：如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为1：4，
故选：B．
3．【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，
∴△DEC∽△ABC，
故A不符合题意；
B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，
∴△CDE∽△CBA，
故B不符合题意；
C、由图形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，
∵，，
∴，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似，
故D符合题意，
故选：D．
4．【解答】解：设小芳的身高为h米，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴，
解得h＝1.5，
故选：B．
5．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，将各边长度都扩大为原来的3倍，其比值不变，
∴∠A的正弦值不变．
故选：C．
6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∴sinA＝，故选项A错误；
tanA＝，故选项B错误；
csA＝，故选项C正确；
tanB＝，故选项D错误．
故选：C．
7．【解答】解：∵山坡的坡度i＝1：2.4，
∴BC：AB＝1：2.4，
∵BC＝50米，
∴AB＝120米，
由勾股定理得：AC＝＝＝130（米），
所以我们至少走坡路130米了，
故选：C．
8．【解答】解：A、仰角为∠BAD，说法正确，不符合题意；
B、当无人机远离BC水平飞行时，仰角减小，故本选项说法错误，符合题意；
C、俯角为∠CAD，说法正确，不符合题意；
D、当无人机远离BC水平飞行时，俯角减小，说法正确，不符合题意；
故选：B．
9．【解答】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误；
同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧对应相等，所以③错误；
三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以④正确；
故选：A．
10．【解答】解：根据题意得：OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴cs∠AOB＝cs60°＝．
故选：B．
11．【解答】解：∵Rt△ABC的两条直角边长分别为6，8，
∴斜边长＝，
∴Rt△ABC斜边上的中线长为5，
即此直角三角形外接圆半径为5，
故选：A．
12．【解答】解：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AB＝4，
∴OD＝2，CE＝DE＝CD，
∵∠ACD＝22.5°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴DE＝OD＝，
∴CD＝2DE＝2，
故选：C．
二.填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．【解答】解：由题意得，sinA＝，tanB＝，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75°．
14．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠DNM+∠DMN＝90°，
由折叠的性质可得：∠BMN＝∠A＝90°，
∵∠NMD+∠BMN+∠BMC＝180°，
∴∠NMD+∠BMC＝90°，
∴∠DNM＝∠BMC，
∴△NDM∽△MCB．
故答案为：△MCB．
15．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝65°，AB＝10cm，
∴AC＝AB•tan65°≈10×2.14＝21.4（cm），
∴原直角三角形玻璃的面积＝AB•AC＝×10×21.4＝107（cm2），
故答案为：107．
16．【解答】解：如图：
∵OA＝OB＝AB＝1，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴弦AB所对弧的度数为60°或300°．
故答案为：60°或300°．
17．【解答】∵AB是圆的直径，
∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°，
∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆，
∴，
故答案为：90．
18．【解答】解：连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝20°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAO+∠CAO＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故答案为：100°．
三.解答题（8小题，满分78分）
19．【解答】解：（1）如图，△A1BC1即为所求．
（2）由图可得，A1（1，1），C1（﹣3，﹣1）．
故答案为：1；1；﹣3；﹣1．
20．【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝．
21．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD；
（2）解：∵，
∴，
∴，
由（1）知△ADE∽△ACD，
∴＝，
∵AE＝4，
∴＝，
∴，
∵AD＝AB，
∴．
22．【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H．
（1）在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．
在Rt△BHA中，sinA＝＝，即AB＝BH．
∴thiA＝＝；
（2）∵thi A＝，
∴＝，
∵∠C＝30°，
∴tan30°＝＝，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A＝60°，
如图，根据对称性，△A′BC是钝角三角形时，∠B′AC＝120°
故答案为：60或120；
（3）在△ABC中，thiA＝．
在Rt△BHA中，sinA＝．
在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．
∴thiA＝2sinA．
23．【解答】解：（1）如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G，
由题意得：四边形DGBF是矩形，
∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm，
在Rt△DGB中，tan∠BDG＝＝＝，
∴∠BDG＝53°，
∴∠PDH＝∠BDG＝53°，
∴入射角α的度数为53°；
（2）∵BG＝16cm，BC＝7cm，
∴CG＝BG﹣BC＝9（cm），
在Rt△CDG中，DG＝12cm，
∴DC＝＝＝15（cm），
∴sinβ＝sin∠GDC＝＝＝，
由（1）得：∠PDH＝53°，
∴sin∠PDH＝sinα≈，
∴折射率n＝＝＝，
∴光线从空气射入水中的折射率n约为．
24．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABED 圆内接四边形，
∴∠A+∠DEB＝180°，
∵∠CED+∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠A，
∵∠A＝68°，
∴∠CED＝68°．
（Ⅱ）连接AE．
∵DE＝BE，
∴＝
∴∠DAE＝∠EAB＝∠CAB＝34°，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠DAE＝90°﹣34°＝56°
25．【解答】解：任务1，设圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图，
设桥拱的半径为r m，则OD＝（r﹣4）m，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝8m，
∵OD2+AD2＝OA2，
∴（r﹣4）2+82＝r2，
∴r＝10，
∴圆形拱桥的半径为10m；
任务2，根据图3状态，货船通过圆形桥拱，至少要增加10吨的货物才能通过．理由：
当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥FG，
∵OC⊥AB，
∴OM⊥EH．
∴EM＝EH＝6m，
∴OM＝＝8，
∵OD＝OC﹣CD＝6m，
∴DM＝2m＜2.1m，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
∵货船的载重量每增加1吨，则船身下降0.01m．
∴船在水面部分可以下降的高度（2.1﹣2）÷0.01＝10（吨），
∴至少要增加10吨的货物才能通过．
26．【解答】解：设正方形的边长为x米．
方案一：∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴；
方案二：如图2，作CH⊥AB于H，交DG于点P，
则四边形DPHE是矩形，
∵∠ACB＝90°，AC＝4米，BC＝3米，
由勾股定理得：米，
∵，
∴米；
∵PH＝DE＝x米，
∴米；
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
解得：；
∵，
∴方案一的正方形水池面积更大．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m．

素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EH＝12m，EF＝2.1m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降0.01m．．

问题解决
任务1
确定桥拱半径
（1）求圆形桥拱的半径；
任务2
拟定设计方案
（2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？