2022-2023学年广东省深圳市深圳中学高一上学期期中数学试题（解析版）

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一、单选题
1．设全集U＝R，集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出，由交集的定义即可得出答案.
【详解】因为，所以或，
所以.
故选：B.
2．已知函数．则的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】根据题意，令可得的值，将的值代入，即可得答案．
【详解】解：根据题意，函数，若，解可得，
将代入，可得，
故选：．
3．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解
【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；
若幂函数在上是减函数，
则，解得或
故必要性不成立
因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件
故选：A
4．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得结果.
【详解】由，，得：，
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.
故选：C.
5．已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由求得，再将转化为，再利用反函数的性质即可得到正确选项B
【详解】由（且，且），
可得，则，则
则，又，则与互为反函数，
则与单调性一致，且两图像关于直线轴对称
故选：B
6．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1)B．a∈[,1)C．a∈(0,]D．a∈[,2)
【答案】C
【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．
【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，
∴在R上是减函数，
∴，解得，
∴a的取值范围是．
故选：C．
7．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
8．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：）
A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h
【答案】C
【分析】利用已知条件，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为，转化求解即可.
【详解】解：由题意得：
设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为
故，
故该新药对病人有疗效的时长大约为
故选：C
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则D．函数的最小值是2
【答案】BC
【分析】对于A选项，取特殊值即可判断正误；
对于B、C选项，根据不等式的运算性质即可判断正误；
对于D选项，将函数化简为，，然后根据对勾函数的单调性即可判断正误
【详解】对于A选项，取，，，则，故错误；
对于B选项，，，，，故B正确；
对于C选项，，，，，故C正确；
对于D选项，函数，令，
由函数在上单调递增，，故D错误.
故选：BC
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．函数（且）的图象恒过定点
C．为奇函数
D．函数的单调递增区间为，
【答案】BCD
【分析】根据全称量词命题的否定可判断A，利用对数函数的性质可判断B，根据奇函数的定义可判断C，根据二次函数的性质可判断D.
【详解】因为命题“，”的否定是“，”，故A错误；
因为，令，可得，即函数图象恒过定点，故B正确；
因为，可知定义域为关于原点对称，
又，故函数为奇函数，故C正确；
因为，所以函数的单调递增区间为，，故D正确.
故选：BCD.
11．关于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当时，是增函数B．当时，的值域为
C．当时，是奇函数D．若的定义域为，则
【答案】ACD
【分析】根据复合函数的单调性可判断A，根据指数函数的性质及不等式的性质可得函数的值域可判断B，根据奇函数的定义可判断C，根据指数函数的性质及基本不等式可判断D.
【详解】当时，，由函数单调递增，函数在上单调递增，
所以在上单调递增，故A正确；
因为，，
所以，故B错误；
当时，定义域为R，而，
所以是奇函数，故C正确；
若的定义域为，则恒成立，即，
因为，当且仅当，即时取等号，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．已知函数，若非空集合，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．为常数B．的取值与有关
C．D．
【答案】AC
【分析】不妨设的解集为，可得，由，解得或，又，为方程的两个根，可得，进而求出的取值范围．
【详解】不妨设的解集为，则有，
∴，
由，得且，
由(1)得，故A正确，B错误；
∴，
∵，
，解得或，
又，为方程的两个根，
∴，
∴，解得，
∴，故C正确，D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．若，且，则实数的值为______.
【答案】18
【分析】由指对数互化可得，，代入题设等式，结合换底公式及对数运算性质即可求k的值.
【详解】由题设，，，
所以，则.
故答案为：18.
14．已知函数为上奇函数，当时，，则时，__________.
【答案】
【分析】根据奇函数定义即得.
【详解】当时，，则，
因为函数为奇函数，
所以，即.
所以当时，.
故答案为：.
15．方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得．
【详解】∵方程 的一根大于1，另一根小于1，
令，
则，
解得.
故答案为：.
16．不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】先根据对数函数确定取值范围，在判断和的单调性以及特殊点点大小，最后根据双方单调性以及临界值得到解集.
【详解】根据对数函数性质可知
令
根据幂函数单调性可知在单调递减，所以在单调递减且，当时，时
令，当时，时
因此当时，
故答案为:
四、解答题
17．已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，求解即可；
（2）由得，分，两种情况讨论可求得的取值范围．
【详解】（1）由集合，所以，
又，，
所以，解得；
所以实数的取值范围是．
（2）若，则，
当时，，解得；
当时，有，要使，则，解得，
综上，实数的取值范围是．
18．已知函数.
(1)画出的图象；
(2)求的解集.
【答案】(1)图象见解析；
(2)或.
【分析】（1）利用零点分段法，得到分段函数，再画出函数的图象；
（2）根据分段函数，分段解不等式即得.
【详解】（1）当时，；
当时，；
当时，；
故，函数图象如图所示：
；
（2）由题得，当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
综上，的解集为或.
19．设且，函数的图象过点.
(1)求的值及的定义域；
(2)求在上的单调区间和最大值.
【答案】(1)，
(2)单调增区间为，单调减区间为；最大值为2
【分析】（1）根据对数函数得性质和计算规则计算即可；
（2）复合函数单调性根据内外函数同增异减，先判断内函数单调性，再判断外函数单调性即可.
【详解】（1）∵函数的图象过点，
∴，∴，即，
又且，∴，
要使有意义，
则，
∴的定义域为；
（2），
令
∵，∴的最大值为4，此时，且在单调递增，单调递减
∴在上的单调增区间为，单调减区间为，最大值为2.
20．已知函数为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断在上的单调性（不必证明）；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)单调递增
(3)
【分析】（1）根据求出，再由奇函数的定义验证即得；
（2）根据指数函数的单调性即得；
（3）根据函数的奇偶性及单调性可得，解不等式即得.
【详解】（1）因为定义在上的奇函数，可得，都有，
令，可得，解得，
所以，此时满足，
所以函数是奇函数，
所以；
（2）在上单调递增；
理由如下：因为，
函数单调递增，函数在上单调递增，
所以在上单调递增；
（3）因为为奇函数，可得，
又在上单调递增，所以，
解得，
所以原不等式的解集为.
21．（1）若，求关于的不等式的解集；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）分，，讨论，利用二次不等式的解法即得；
（2）法一，利用参变分离可得对任意恒成立，然后利用对勾函数的性质及反比例函数的性质可得的最值即得；法二，利用二次函数的性质分类讨论即得.
【详解】（1）令，
当时，，所以的解集为；
当时，，所以的解集为；
当时，，所以的解集为；
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
（2）法一：
当时，，成立；
当时，由题可得对任意恒成立，
令，则有，，
，
令，，根据对勾函数的性质可得，
所以，
所以当时，，
故实数的取值范围为；
法二：令，
①当时，，
对任意，恒成立；
②当时，函数图象开口向上，
若对任意，恒成立，只需，
解得，
故当时，对任意，恒成立；
③当时，对任意，，，
恒成立；
综上可知，实数的取值范围为.
22．已知函数满足如下条件：①对任意，；②；③对任意，，总有.
(1)写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）；
(2)证明：满足题干条件的函数在上单调递增；
(3)①证明：对任意的，，其中；
②证明：对任意的，都有.
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)证明见解析
(3)①证明见解析；②证明见解析
【分析】(1)根据条件设计一个函数即可；
(2)根据条件，运用函数单调性的定义推导即可；
(3)运用递推的方法先证明①，在根据①的结论，考虑的x的区间即可证明.
【详解】（1），，等.均可；
（2）任取，.
因为，故且.
故.
故在上单调递增.
（3）①由题意可知：对任意正数，都有，且，
在③中令，可得，即；
故对任意正整数与正数，都有；
②由①可知：对任意正整数与正数，都有，
故对任意正整数与正数，都有，
令，则；
对任意，可得，并且 ，
又因为，所以由（2）中已经证明的单调性可知：
，，
所以.
【点睛】对于第二问，如何巧妙运用 要学习，抽象函数中经常会用到这个方法；对于第三问，可以把 看作 ，再运用 可以证明①，再利用①的结论推出 ， .