河南省新乡市2025-2026学年高二上学期10月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省新乡市2025-2026学年高二上学期10月联考数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知空间向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知平面的法向量为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆的圆心在轴的正半轴上，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线与圆交于两点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知的三个顶点分别为，则的面积是（ ）
A．5B．10C．D．20
7．在长方体中，是的中点，是的中点，与相交于点.若，则与所成的角的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．如图与所在平面垂直，且，，则平面ABD与平面CBD的夹角的余弦值为 （ ）

A．B．
C．D．
二、多选题
9．若是空间的一个基底，则下列各组向量不共面的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知直线，圆，则下列说法正确的有（ ）
A．若直线与圆相切，则
B．若，则直线与圆相交
C．圆可能关于直线对称
D．若，则直线被圆截得的弦长为
11．平面是两个不重合的平面，其法向量分别为.点分别在平面内，且，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则相交
三、填空题
12．在四面体中，点在棱上，且，点是线段的中点，点在线段上，.用表示，则 .
13．直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的一般式方程为 .
14．在正方体中，分别为的中点，点在上，且，则与所成角的余弦值为 .
四、解答题
15．如图，在长方体中，为的中点，点在棱上，且.求：

(1)点到平面的距离；
(2)平面与平面夹角的余弦值.
16．已知直线经过点.
(1)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程；
(2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的负半轴于点为坐标原点，的面积为，求的最小值及此时直线的方程.
17．已知点，，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程.
(2)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由.
18．如图，已知在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面.

(1)求直线与平面所成角的余弦值；
(2)求二面角的正切值.
19．如图，正四棱锥的侧棱的长是底面边长的倍，P为侧棱上的点．
(1)求证：；
(2)若平面，求二面角的大小；
(3)在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
1．C
根据空间向量垂直对应的坐标关系列出方程可得结果.
【详解】因为，
所以，解得，
故选：C.
2．D
由直线倾斜角计算直线的斜率，点斜式求直线方程.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率.
又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，化成一般式为.
故选：D.
3．B
由线面角向量法计算即可.
【详解】设直线与平面所成角为，
因为，
所以.
故选：B.
4．C
根据圆的半径及已知条件列不等式计算求解.
【详解】因为圆的标准方程为，
所以圆心为点，半径，
由题意，得，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
5．B
利用圆的弦长公式计算可得.
【详解】圆的标准方程为，
圆心为，半径.
因为，
所以圆心到直线的距离.
因为直线，
所以，解得.
故选：B.
6．B
由的坐标易证，分别求出，再代入的面积公式即可.
【详解】因为，
所以直线的斜率，直线的斜率，
因为，所以，所以是直角三角形.
因为，
所以的面积.
故选：B.
7．C
由，可得，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求异面直线所成的角.
【详解】在矩形中，因为是的中点，与相交于点，
所以，所以，所以.
以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系.

因为，所以.
因为是的中点，是的中点，所以.
因为，所以，所以.
设与所成的角为，则.
因为，所以.
因为，所以.
故选:C.
8．D
根据线面角的定义，作出平面ABD与平面CBD所成角的平面角，解三角形求出相关线段的长，即可求得答案.
【详解】由题意知平面平面，
作交CB的延长线于O，作于E，连接，
与所在平面垂直，且平面平面，
平面，，故平面，
平面，故，；
平面，故平面，
平面，故，
而平面，平面，则即为平面ABD与平面CBD的夹角，
设，而，
故，，，
在中，，
所以，
故选：D
9．ACD
根据空间向量共面的判定定理，结合基底的概念，对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果.
【详解】因为是空间的一个基底，所以不共面.
对于A，因为向量分别与向量共线，所以不共面，故A正确；
对于B，因为，所以共面，故B错误；
对于C，若共面，则存在唯一的实数对，
使得，
则，方程组无解，故矛盾，
所以不共面，故C正确；
对于D，若共面，则存在唯一的实数对，
使得，
则，方程组无解，故矛盾，
所以不共面，故D正确.
故选：ACD.
10．BD
先找出直线恒过的点，将圆化成标准方程找出它的圆心，半径，选项A利用圆与直线相切的位置关系建立方程即可判断，选项B利用圆与直线相交的位置关系分析得出结论，选项C利用圆关于直线对则圆心在对称的直线上判断即可，选项D将先求出圆心到直线的距离，然后利用公式计算即可.
【详解】由直线的方程，得直线过定点，
由圆的一般方程，
得圆的标准方程为，
所以圆心为，半径.
对于A，若直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，
即，
解得或，故A错误；
对于B，依题意，圆心到直线的距离为：
，
当时，，
所以直线与圆相交，故B正确；
对于C，若圆关于直线对称，
则圆心在直线上，
即，等式不成立，
故圆不可能关于直线对称，故C错误；
对于D，若，则直线，
圆心到直线的距离为：，
则弦长为，故D正确；
故选：BD.
11．ABD
根据平面与平面的位置关系，结合直线的方向向量，平面的法向量的定义以及数量积的运算律逐一分析判断即可求解.
【详解】对于A，因为，所以，
因为，所以，
若，则，与题意不符，
所以，所以，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，
因为，所以，所以.故B正确；
对于C，因为，所以或，
因为，所以，
若，则，所以不垂直，所以不垂直；
若，则，所以不垂直，所以不垂直，
综上可知，C错误；
对于D，因为，所以，
因为，所以，即，所以是锐角，
所以相交，故D正确.
故选：ABD
12．
利用空间向量的基本定理即可求出答案.
【详解】由题意得，
所以
.
故答案为：.
13．
分别求出的坐标，利用二倍角关系可得，从而得到直线的斜率，求出其方程
【详解】在直线中，令，得，所以；令，得，所以.
在中，.
如图，设的平分线交轴于点，则.因为，
解得，所以，
即直线的斜率为2，所以直线的方程为，化为一般式，得.

故答案为：
14．
设正方体的棱长为，以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系.求出向量和的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.
【详解】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系.

则
因为分别为的中点，，
所以，
所以.
因为，
所以与所成角的余弦值为.
故答案为：.
15．(1)；
(2).
（1）求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式代入求解；
（2）求平面与平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.
【详解】（1）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，
∵为的中点，，
∴，，，

设平面的法向量为，则，
所以，取，则，所以，
设点到平面的距离为，则，所以.
（2）由（1）知平面的法向量为，
又平面的一个法向量为，
所以，
又因为平面与平面的夹角是锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值是.
16．(1)或
(2)；
（1）根据题意，分直线的截距为0和截距不为0时，分别设出直线方程，将代入直线的方程，即可求解；
（2）根据题意，设直线的方程为，其中，分别求得和，得到的面积为，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：当在坐标轴上的截距为0时，符合题意，直线过坐标原点，设直线的方程为.
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为，即；
当在坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为.
综上可得，直线的方程为或.
（2）解：如图所示，可得直线的截距不为0，斜率存在且斜率，
设直线的方程为，
令，解得，则，所以；
令，解得，则，所以，
则的面积为
，当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为12，此时直线的方程为，即.
17．(1)
(2)是，定点为
（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可；
（2）设，写出以为直径的圆的方程，再与圆方程做差即可得到直线方程，分析即可得到定点坐标.
【详解】（1）由题意得，所以.
设，因为点，，
所以，化简得.
所以曲线的方程为.
（2）由（1）知，曲线是圆心为，半径的圆，
因为和是圆的两条切线，，为切点，
所以点，在以为直径的圆上，所以圆与圆相交，
因为点在直线上，所以设，
因为，所以，
所以，
所以圆的方程为，
化简得.
因为圆的方程为，
上面两圆方程做差得直线的方程为，
即.
解得，所以直线过定点.
18．(1)
(2)
（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值，再转化为余弦值即可；
（2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可.
【详解】（1）因为，所以.
因为平面平面平面，所以.
所以两两垂直.
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设平面的法向量为，则
因为，所以
取，则，所以.
设直线与平面所成角为，则.
因为，所以.
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.

（2）由（1）知平面的法向量为.
设二面角的大小为，由题意知为锐角.
因为平面的一个法向量为，
所以.
所以，
所以，
所以二面角的正切值为.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，且
【详解】（1）连接，设交于，由题意知平面，
则可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系如图．
设底面边长为，则高，
于是S，D，C，
则＝，＝，
∵，故，从而；
（2）由题设知，平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
设二面角为，则，
由图可知，二面角为锐二面角，
∴二面角为；
（3）存在，且，理由如下：
由（2）知是平面的一个法向量，
且，，
设，
则，
而，即，解得，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
C
B
B
C
D
ACD
BD
题号
11









答案
ABD