河南省新乡市2025~2026学年高二上册9月联考数学试卷

展开

这是一份河南省新乡市2025~2026学年高二上册9月联考数学试卷，共5页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（）
A. B. 1C. 2D.
2. 已知、分别为直线、的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（）
A. B.
C. D.
3. 在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（）
A. B. C. D.
4. “直线与直线平行”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，，则折后二面角的余弦值为（）

A. B. C. D.
6. 已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l方程为（）
A. 或B. 或
C. D.
7. 《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（）
A. B. 4C. D.
8. 已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为，的周长为．若，则（）
A. 2B. 6C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
10. 给出下列命题，其中正确的命题是（）
A. 若，为单位向量，则
B. 若向量是向量的相反向量，则
C. 在正方体中，
D. 若空间向量满足，则
11. 已知正方体棱长为2，点，分别是的中点，点在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（）
A. 与所成角的正弦值是B. 点到平面的距离是
C. 平面与平面间的距离为D. 点到直线的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则______．

13. 在平面直角坐标系中，过点作直线，分别与轴正半轴，轴的正半轴交于点．当直线的斜率为______时，的面积最小（是坐标原点），最小面积是______．
14. 在正方体中，，动点满足．当时，______；当时，的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在平行六面体中，，，，，．
（1）求；
（2）求证：；
（3）求的长．
16. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为．
（1）求直线的方程；
（2）若直线上任意一点，都满足，求直线的方程．
17. 如图，在四面体中，与都是等边三角形，，．

（1）求证：；
（2）若E为AD的中点，求平面BCD与平面BCE夹角的余弦值．
18. 如图，在四棱锥中，底面，且．
（1）若点为上靠近点的三等分点，证明：平面；
（2）若点上一点（不包含端点），从下面条件①②③中选取两个作为已知，证明另一个成立．
①；②；③直线与平面所成角的正弦值为．
注：如果选择多个组合分别解答，按第一个解答计分．
19. 如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，侧面为菱形，点在底面上的射影为AC的中点D．利用空间向量法求解下列问题．

（1）求证：．
（2）求直线与底面ABC所成角大小．
（3）求点C到侧面的距离．
（4）在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．