2025-2026学年河南省新乡市高二上学期9月联考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年河南省新乡市高二上学期9月联考数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知空间向量a= 3,0,1，b=14,0, 34，则a在b上的投影向量的模为( )
A. 3B. 1C. 2D. 12
2.已知v1、v2分别为直线l1、l2的方向向量(l1、l2不重合)，n1、n2分别为平面α、β的法向量(α、β不重合)，则下列说法中正确的是( )
A. v→1//v→2⇔l1//l2B. v1⊥n1⇔l1⊥αC. v→1//n→1⇔l1//αD. n→1⊥n→2⇔α//β
3.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(2,2,2),B(4,−2,0)，若点P与点A关于Oyz平面对称，则BP=( )
A. 2 14B. 13C. 2 3D. 11
4.“直线ax+4y−3=0与直线x+(a−3)y−2=0平行”是“a=−1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，∠ABC=π3，则折后二面角E−OF−A的余弦值为( )
A. 55B. − 55
C. 3 55D. −3 55
6.已知直线l过点(0,2)，且与直线 3x−y+2=0及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为( )
A. 3x+y−2=0或 3x−3y+6=0 B. 3x−3y+6=0或3x− 3y+2 3=0
C. x−y+2=0 D. 3x+y−2=0
7.《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，已知在堑堵ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=4，AC=AA1=6，BE=EA1，CF=2FA1，则AE⋅BF=( )
A. −4B. 4C. −3D. 12
8.已知函数f(x)=x2−2x+ln|x−1|的图象经过点Ax1,4和点Bx2,4x10,n>0).若M,D,E,F四点共面，则3m+2n= ．
13.在平面直角坐标系中，过点P(2,2)作直线AB，分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点A,B.当直线AB的斜率为 时，▵AOB的面积最小(O是坐标原点)，最小面积是 ．
14.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，动点P满足CP=xCD+yCC1.当x=1时，B1P⋅AC= ；当x,y∈[0,1]时，DP−D1C+A1P的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=2，AD=2，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°．
(1)求AA′⋅DC；
(2)求证：AA′⊥DB；
(3)求A′C的长．
16.(本小题15分)
已知▵ABC的顶点A(2,4),AB边上的中线CM所在直线的方程为x+4y−4=0,∠ABC的平分线BH所在直线的方程为y=x．
(1)求直线BC的方程；
(2)若直线l上任意一点P，都满足S▵PBC=S▵ABC，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
如图，在四面体ABCD中，▵ABC与▵ACD都是等边三角形，AC=4，BD=2 6．

(1)求证：AC⊥BD；
(2)若E为AD的中点，求平面BCD与平面BCE夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥CD,AB//CD，且AB=2CD=2AD=2．
(1)若点E为PB上靠近点P的三等分点，证明：PD//平面ACE；
(2)若点F为PC上一点(不包含端点)，从下面条件①②③中选取两个作为已知，证明另一个成立．
①PFPC=13；②tan∠PCA= 22；③直线BD与平面ABF所成角的正弦值为25．
注：如果选择多个组合分别解答，按第一个解答计分．
19.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且AB=4，侧面AA1C1C为菱形，点A1在底面上的射影为AC的中点D.利用空间向量法求解下列问题．

(1)求证：BD⊥CC1．
(2)求直线AA1与底面ABC所成角大小．
(3)求点C到侧面AA1B1B的距离．
(4)在线段A1B1上是否存在点E，使得直线DE与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 67？若存在，请求出A1E的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.B
5.A
6.A
7.B
8.D
9.ABC
10.ABC
11.BD
12.24
13.−1；8
14.0；2,2 6
15.【详解】(1)解：AA′⋅DC=AA′⋅AB=3×2×cs60°=3．
(2)证明：因为AA′⋅DB=AA′⋅AB−AD=AA′⋅AB−AA′⋅AD，
=3×2×cs60°−3×2×cs60°=3−3=0，
所以AA′⊥DB．
(3)解：因为A′C=AC−AA′=AB+AD−AA′，
所以A′C⃗2=AB⃗+AD⃗−AA′⃗2=AB⃗2+AD⃗2+AA′⃗2+2AB⃗⋅AD⃗−2AB⃗⋅AA′⃗−2AD⃗⋅AA′⃗，
=4+4+9+0−2×2×3×12−2×2×3×12=4+4+9−12=5．
所以A′C= 5，所以A′C= 5．

16.【详解】(1)如图，由点B在直线y=x上，设B(m,m)，又A(2,4)，
则AB的中点Mm+22,m+42在直线x+4y−4=0上，
所以m+22+4×m+42−4=0，解得m=−2，所以B(−2,−2)．
设点A(2,4)关于直线y=x对称的点为A′x0,y0，
则有y0−4x0−2=−1y0+42=x0+22，解得x0=4y0=2，即A′(4,2)．
显然A′(4,2)在直线BC上，则直线BC的斜率k=2−(−2)4−(−2)=23，
则直线BC的方程为y+2=23(x+2)，整理得2x−3y−2=0．
(2)点A到直线BC的距离d=|2×2−3×4−2| 4+9=10 1313．
因为点P满足S▵PBC=S▵ABC，所以点P,A到直线BC的距离相等，
所以直线l与直线BC平行，且直线l到直线BC的距离等于点A到直线BC的距离．
设l:2x−3y+n=0(n≠−2)，则|n+2| 13=10 1313，解得n=−12或8，
所以直线l的方程为2x−3y−12=0或2x−3y+8=0．


17.【详解】(1)证明：取AC的中点O，连接OB,OD．

因为▵ABC与▵ACD都是等边三角形，O为AC的中点，所以AC⊥OB,AC⊥OD．
又OB∩OD=O,OB,OD⊂平面OBD，所以AC⊥平面OBD．
又BD⊂平面OBD，所以AC⊥BD．
(2)因为▵ABC与▵ACD都是等边三角形，AC=4，O为AC的中点，
所以OB=OD=2 3，又BD=2 6，所以OB2+OD2=BD2，即OB⊥OD．
又OB⊥AC,OD⊥AC，所以OA,OB,OD两两互相垂直，以O为原点，OA,OB,OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
由AC=4，得A(2,0,0),B0,2 3,0,C(−2,0,0),D0,0,2 3,E1,0, 3，
所以BC=−2,−2 3,0,BD=0,−2 3,2 3,BE=1,−2 3, 3．
设平面BCD的法向量为m=(x,y,z)，则BC⋅m=0,BD⋅m=0,即−2x−2 3y=0,−2 3y+2 3z=0,令y=1，得x=− 3,z=1，
即平面BCD的一个法向量为m=− 3,1,1．
设平面BCE的法向量为n=(a,b,c)，则BC⋅n=0,BE⋅n=0,即−2a−2 3b=0,a−2 3b+ 3c=0,令b=1，得a=− 3,c=3，
即平面BCE的一个法向量为n=− 3,1,3．
设平面BCD与平面BCE的夹角为θ，
则csθ=csm,n=m⋅nmn=− 3×− 3+1×1+1×3 5× 13=7 6565，
所以平面BCD与平面BCE夹角的余弦值为7 6565．

18.【详解】(1)证明：如图，记BD与AC交于点O，连接OE，
因为AB/\!/CD,AB=2CD=2，
又因为∠AOB=∠COD，
所以▵AOB∽△COD，
所以ODOB=CDAB=12，
所以点O为BD上靠近点D的三等分点．
因为点E为PB上靠近点P的三等分点，
所以在▵PBD中，OE/\!/PD，
又因为OE⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，
所以PD//平面ACE．
(2)方法一：选择①②作为条件，证明③：
因为2CD=2AD=2,AD⊥CD，
所以AC= 2，
因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AC，则tan∠PCA=PAAC= 22，所以PA=1，
则以A为原点，以AD,AB,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
所以A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,2,0),D(1,0,0)，C(1,1,0)，
从而BD=(1,−2,0),AB=(0,2,0),PC=(1,1,−1)，
因为PFPC=13，
所以PF=13PC=13,13,−13，
则F的坐标为13,13,23,AF=13,13,23，
设平面ABF的法向量为n=(x,y,z)，
则AB⋅n=0,AF⋅n=0,即2y=0,13x+13y+23z=0,
则y=0，令z=1，可得x=−2，
所以平面ABF的一个法向量为n=(−2,0,1)，
设直线BD与平面ABF所成角为θ，
则sinθ=csBD,n=BD⋅nBDn=|−2| 5× 5=25，故③成立．
方法二：选择①③作为条件，证明②：
因为2CD=2AD=2,AD⊥CD，
所以AC= 2，
设PA=a,a>0，
因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AC，
则以A为原点，以AD,AB,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
所以A(0,0,0),P(0,0,a),B(0,2,0),D(1,0,0)，C(1,1,0)，
因此BD=(1,−2,0),AB=(0,2,0),PC=(1,1,−a)，
因为PFPC=13，
所以PF=13PC=13,13,−a3，
则F的坐标为13,13,2a3,AF=13,13,2a3，
设平面ABF的法向量为n=(x,y,z)，
则AB⋅n=0,AF⋅n=0,即2y=0,13x+13y+2a3z=0,
则y=0，令z=1，可得x=−2a，
所以平面ABF的一个法向量为n=(−2a,0,1)，
设直线BD与平面ABF所成角为θ，
则sinθ=csBD,n=BD⋅nBDn=|−2a| 5× 4a2+1=25，
解得a=1(负值舍去)，
则PA=1，故tan∠PCA=PAAC= 22，②成立．
方法三：选择②③作为条件，证明①：
因为2CD=2AD=2,AD⊥CD，
所以AC= 2，
因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AC，则tan∠PCA=PAAC= 22，
所以PA=1，
则以A为原点，以AD,AB,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
所以A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,2,0),D(1,0,0)，C(1,1,0)，
因此BD=(1,−2,0),AB=(0,2,0),PC=(1,1,−1)，
设PF=λPC=(λ,λ,−λ),0