2026届福建省平潭综合实验区七校联考数学九上期末调研模拟试题含解析

这是一份2026届福建省平潭综合实验区七校联考数学九上期末调研模拟试题含解析，共22页。试卷主要包含了下列事件中，属于必然事件的是，的绝对值是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．作⊙O的内接正六边形ABCDEF，甲、乙两人的作法分别是：
甲：第一步：在⊙O上任取一点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F. 第二步：依次连接这六个点.
乙：第一步：任作一直径AD．第二步：分别作OA，OD的中垂线与⊙O相交，交点从点A开始，依次为点B，C，E，F. 第三步：依次连接这六个点.
对于甲、乙两人的作法，可判断( )
A．甲正确，乙错误B．甲、乙均错误
C．甲错误，乙正确D．甲、乙均正确
2．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：
将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图．
将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图．
将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图．
连结AE、AF、BE、BF，如图．
经过以上操作，小芳得到了以下结论：
；四边形MEBF是菱形；为等边三角形；：：．以上结论正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．某地区在一次空气质量检测中，收集到5天的空气质量指数如下：81，70，56，61，81，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．70，81B．81，81C．70，70D．61，81
4．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC＝∠PCA，则线段AP长的最小值为（ ）
A．0.5B．﹣1C．2﹣D．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(4，2)，则的值是( )
A．B．C．D．2
6．如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
7．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天我市下雨
B．抛一枚硬币，正面朝下
C．购买一张福利彩票中奖了
D．掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零
8．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（ ）
A．﹣6B．2C．16D．16或2
9．点A(-2，1)关于原点对称的点A'的坐标是（ ）
A．(2，1)B．(-2，-1)C．(-1，2)D．(2，-1)
10．的绝对值是（ ）
A．B．2020C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．一元二次方程x2﹣5x=0的两根为_________．
12．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是_____．
13．对一批防PM2.5口罩进行抽检，经统计合格口罩的概率是0.9，若这批口罩共有2000只，则其中合格的大约有__只．
14．如图，已知公路L上A，B两点之间的距离为100米，小明要测量点C与河对岸的公路L的距离，在A处测得点C在北偏东60°方向，在B处测得点C在北偏东30°方向，则点C到公路L的距离CD为_____米．
15．抛物线y＝x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是______．
16．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是__．
17．已知，则＝____
18．已知⊙O的内接正六边形的边心距为1．则该圆的内接正三角形的面积为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A，B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）
20．（6分）如图，在四边形中，，与交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
21．（6分）如图，已知点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，直线经过点，与轴交于点，且，.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直接写出关于的不等式的解集.
22．（8分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边AB上一点，连接CD，在线段CD上取一点E，以AE为直角边作等腰直角△AEF，使∠EAF＝90°，连接BF交CD的延长线于点P．
（1）探索：CE与BF有何数量关系和位置关系？并说明理由；
（2）如图2，若AB＝2，AE＝1，把△AEF绕点A顺时针旋转至△AE'F′，当∠E′AC＝60°时，求BF′的长．
23．（8分）解方程组：．
24．（8分）如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=6时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
25．（10分）如图，一次函数y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3.
(1)求一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)写出不等式kx+b＞﹣的解集.
26．（10分）用配方法解下列方程.
(1) ;
(2) .
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据等边三角形的判定与性质，正六边形的定义解答即可.
【详解】（1）如图1，由作法知，△AOB, △BOC, △COD,△DOE,△EOF,△AOF都是等边三角形，
∴∠ABO=∠CBO=60°,
∴∠ABC=120°,
同理可证：∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°,
∵AB=BC=CD=DE=EF=AF,
∴六边形ABCDEF是正六边形，
故甲正确；
（2）如图2，连接OB，OF，
由作法知，OF=AF，AB=OB，
∵OA=OF=OB，
∴△AOF，△AOB是等边三角形，
∴∠OAF=∠OAB=60°,AB=AF,
∴∠BAF=120°,
同理可证，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°,AB=BC=CD=DE=EF=AF,
∴六边形ABCDEF是正六边形，
故乙正确.
故选D.
本题考查了圆的知识，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，以及正六边形的定义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
2、D
【分析】根据折叠的性质可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD∥EF，从而判定①正确；
根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到②正确；根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根据等边对等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM=30°，从而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF=60°，从而判定△AEF是等边三角形，③正确；
设圆的半径为r，求出EN= ，则可得EF=2EN=，即可得S四边形AEBF：S扇形BEMF的答案，所以④正确．
【详解】解：∵纸片上下折叠A、B两点重合，
∴∠BMD=90°，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴∠BNF=90°，
∴∠BMD=∠BNF=90°，
∴CD∥EF，故①正确；
根据垂径定理，BM垂直平分EF，
又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴BN=MN， ∴BM、EF互相垂直平分，
∴四边形MEBF是菱形，故②正确；
∵ME=MB=2MN，
∴∠MEN=30°，
∴∠EMN=90°-30°=60°，
又∵AM=ME（都是半径），
∴∠AEM=∠EAM，
∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°，
∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，
同理可求∠AFE=60°， ∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，故③正确；
设圆的半径为r，则EN=， ∴EF=2EN=，
∴S四边形AEBF：S扇形BEMF=
故④正确，
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．
本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键．
3、A
【分析】根据中位数的定义和众数的定义即可得出结论.
【详解】解：将这5天的空气质量指数从小到大排列后为：56，61，70，81， 81，
故这组数据的中位数为：70
根据众数的定义，出现次数最多的数据为81，故众数为81.
故选：A.
此题考查的是求一组数据的中位数和众数，掌握中位数的定义和众数的定义是解决此题的关键.
4、C
【分析】先计算出∠PBC+∠PCB＝45°，则∠BPC＝135°，利用圆周角定理可判断点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，作所对的圆周角∠BQC，利用圆周角定理计算出∠BOC＝90°，从而得到△OBC为等腰直角三角形，四边形ABOC为正方形，所以OA＝BC＝2，OB=，根据三角形三边关系得到AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），于是得到AP的最小值.
【详解】
解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，
∵∠PBC＝∠PCA，
∴∠PBC+∠PCB＝45°，
∴∠BPC＝135°，
∴点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，
作所对的圆周角∠BQC，则∠BCQ＝180°﹣∠BPC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BQC＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴四边形ABOC为正方形，
∴OA＝BC＝2，
∴OB＝BC＝，
∵AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），
∴AP的最小值为2﹣．
故选：C．
本题考查了圆周角定理及等腰直角三角形的性质.
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
5、A
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数和图象中的数据即可解答本题．
【详解】如图：
过点（4，2）作直线CD⊥x轴交OA于点C，交x轴于点D，
∵在平面直角坐标系中，直线OA过点（4，2），
∴OD=4，CD=2，
∴tanα=＝＝，
故选A．
本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
6、A
【分析】首先在优弧上取点E，连接BE，CE，由点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，即可求得∠E的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．
【详解】解：在优弧上取点E，连接BE，CE，如图所示：
∵∠BDC=130°，
∴∠E=180°-∠BDC=50°，
∴∠BOC=2∠E=100°．
故选A．
此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
7、D
【分析】根据定义进行判断．
【详解】解：必然事件就是一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，由必然事件和随机事件的定义可知，选项A，B，C为随机事件，选项D是必然事件，
故选D．
本题考查必然事件和随机事件的定义．
8、D
【分析】当a=b时，可得出=2；当a≠b时，a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，利用根与系数的关系可得出a+b=6，ab=2，再将其代入=中即可求出结论．
【详解】当a=b时，=1+1=2；
当a≠b时，∵a、b满足a2-6a+2=0，b2-6b+2=0，
∴a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，
∴a+b=6，ab=2，
∴= =1．
故选：D．
此题考查根与系数的关系，分a=b及a≠b两种情况，求出的值是解题的关键．
9、D
【解析】根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号相反，即可求解．
【详解】解：点A（-2，1）关于原点对称的点A'的坐标是（2，-1）．
故选：D．
本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
10、B
【分析】根据绝对值的定义直接解答．
【详解】解：根据绝对值的概念可知：|−2121|＝2121，
故选：B．
本题考查了绝对值．解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；1的绝对值是1．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、0或5
【解析】分析：本题考查的是一元二次方程的解法——因式分解法.
解析：
故答案为0或5.
12、
【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．
【详解】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝2，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝1，
∴DQ＝，
∴DQ的最小值是，
故答案为．
本题主要考查线段最小值问题，关键是利用旋转、等边三角形的性质及勾股定理求解．
13、1．
【分析】用这批口罩的只数×合格口罩的概率,列式计算即可得到合格的只数．
【详解】2000×0.9＝2000×0.9＝1（只）．
故答案为:1．
本题主要考查了用样本估计总体,生产中遇到的估算产量问题,通常采用样本估计总体的方法．
14、50．
【分析】作CD⊥直线l，由∠ACB＝∠CAB＝30°，AB＝50m知AB＝BC＝50m，∠CBD＝60°，根据CD＝BCsin∠CBD计算可得．
【详解】如图，过点C作CD⊥直线l于点D，
∵∠BCD＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝∠CAB＝30°，
∵AB＝100m，
∴AB＝BC＝100m，∠CBD＝60°，
在Rt△BCD中，∵sin∠CBD＝，
∴CD＝BCsin∠CBD＝100×＝50（m），
故答案是：50．
本题主要考查解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
15、（3，0）
【分析】把交点坐标代入抛物线解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标．
【详解】把点（1，0）代入抛物线y=x2-4x+中，得m=6，
所以，原方程为y=x2-4x+3，
令y=0，解方程x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．
故答案为（3，0）.
本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x轴交点坐标的求法．本题也可以用根与系数关系直接求解．
16、25%
【分析】设每次降价的百分比为x，根据前量80，后量45，列出方程，解方程即可得到答案.
【详解】设每次降价的百分比为x，
，
解得：x1=0.25=25%，x2=1.75（不合题意舍去）
故答案为：25%.
此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题，代入公式：前量（1x）2=后量，即可解答此类问题.
17、1
【分析】由，得a＝3b，进而即可求解．
【详解】∵，
∴a＝3b，
∴；
故答案为：1．
本题主要考查比例式的性质，掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键．
18、4
【分析】作出⊙O及内接正六边形ABCDEF，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，易得△COB是等边三角形，利用三角函数求出OC，ON，CN，从而得到CE，再求内接正三角形ACE的面积即可．
【详解】解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COB=60°，
∵OC=OB，
∴△COB是等边三角形，
∴∠OCM=60°，
∴OM=OC•sin∠OCM，
∴OC=．
∵∠OCN=30°，
∴ON=OC=，CN=1，
∴CE=1CN=4，
∴该圆的内接正三角形ACE的面积=，
故答案为：4．
本题考查圆的内接多边形与三角函数，利用边心距求出圆的半径是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、17.3米.
【解析】分析：过点C作于D，根据，得到 ，在中，解三角形即可得到河的宽度.
详解：过点C作于D，
∵
∴
∴米，
在中，
∵
∴
∴
∴米，
∴米．
答：这条河的宽是米．
点睛：考查解直角三角形的应用，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
20、 (1)见详解；（2）四边形ABCF的面积S=6.
【分析】（1）根据平行四边形的判定推出即可．
（2）通过添加辅助线作高，再根据面积公式求出正确答案．
【详解】证明：（1）∵点E是BD的中点，
在中，
∴四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）过C作于H，过D作于Q，
∵四边形ABCD和四边形ABDF都是平行四边形，，
∴四边形ABCF的面积S=
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识点，解题的关键在于综合运用定理进行推理.
21、（1）y=-．y=x-1．（1）x＜2．
【解析】分析：（1）根据待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的表达式.
详解：（1）∵， 点A（5，2），点B（2，3），
∴
又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，
∴点C的坐标为（2，-1），点D的坐标为（-1，3）．
∵点在反比例函数y=的图象上，
∴
∴反比例函数的表达式为
将A（5，2）、B（2，-1）代入y=kx+b，
，解得：
∴一次函数的表达式为．
（1）将代入，整理得：
∵
∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．
观察图形，可知：当x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴不等式＞kx+b的解集为x＜2．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
22、（1）CE＝BF，CE⊥BF，理由见解析；（2）
【分析】（1）由“SAS”可证△AEC≌△AFB，可得CE＝BF，∠ABF＝∠ACE，进而可得CE⊥BF；
（2）过点E'作E'H⊥AC，连接E'C，由直角三角形的性质和勾股定理可求E'C的长，由“SAS”可证△F'AB≌△E'AC，可得BF'＝CE'＝．
【详解】（1）CE＝BF，CE⊥BF，理由如下：
∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠EAC＝∠FAB，
又∵AE＝AF，AB＝AC，
∴△AEC≌△AFB（SAS）
∴CE＝BF，∠ABF＝∠ACE，
∵∠ADC＝∠BDP，
∴∠BPD＝∠CAD＝90°，
∴CE⊥BF；
（2）过点E'作E'H⊥AC，连接E'C，
∵把△AEF绕点A顺时针旋转至△AE'F′，
∴AF＝AE＝AE'＝AF'＝1，∠BAF'＝∠E'AC＝60°，
∵∠E'AC＝60°，∠AHE'＝90°，
∴∠AE'H＝30°，
∴AH＝AE'＝，E'H＝AH＝，
∴HC＝AC﹣AH＝，
∴E'C＝＝，
∵AF'＝AE'，∠F'AB＝∠E'AC＝60°，AB＝AC，
∴△F'AB≌△E'AC（SAS）
∴BF'＝CE'＝．
本题主要考查勾股定理和三角形全等的判定和性质定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键.
23、
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：，
①﹣②×4得：11y＝﹣11，即y＝﹣1，
把y＝﹣1代入②得：x＝2，
则方程组的解为．
此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知加减消元法的运用．
24、（1）线段OD的长为1．
（2）存在，DE保持不变．DE=．
【解析】试题分析：（1）如图（1），根据垂径定理可得BD=BC，然后只需运用勾股定理即可求出线段OD的长；
（2）连接AB，如图（2），用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE=AB，DE保持不变；
解：（1）如图（1），
∵OD⊥BC，
∴BD=BC=×6=3，
∵∠BDO=90°，OB=5，BD=3，
∴OD==1，
即线段OD的长为1．
（2）存在，DE保持不变．
理由：连接AB，如图（2），
∵∠AOB=90°，OA=OB=5，
∴AB==5，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE=AB=，
∴DE保持不变．
考点：垂径定理；三角形中位线定理．
25、 (1) y＝﹣x﹣1；(2)△AOB的面积为；(3) x＜﹣4或0＜x＜3.
【解析】（1）先根据A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，求出A,B，再把A,B的值代入解析式即可解答
（2）先求出C的坐标，利用三角形的面积公式即可解答
（3）一次函数大于反比例函数即一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时，对应的x的取值范围；
【详解】(1)∵一次函数y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，
且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，
∴，
解得：x＝﹣4，
y＝﹣＝﹣4，
故B(﹣4，3)，A(3，﹣4)，
把A，B点代入y＝kx+b得：
，
解得：，
故直线解析式为：y＝﹣x﹣1；
(2)y＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣1，
故C点坐标为：(﹣1，0)，
则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝；
(3)不等式kx+b＞﹣的解集为：x＜﹣4或0＜x＜3.
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把已知点代入解析式
26、 (1); (2).
【分析】（1）先移项，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，解方程即可；
（2）先把原方程方程进行去括号，移项合并运算，然后再利用配方法进行解方程即可.
【详解】解：，
，
即，
或，
原方程的根为：.
，
，
，
，即，
或，
原方程的根为：.
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程.