河南省南阳市九师联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市九师联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．0B．C．D．
2．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4B．2C．D．
3．已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．4
7．某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地（边长为8米）如图所示，，，分别是，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆，圆与直线相切于点.比赛中，机器人从点出发，经过线段上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是（ ）
A．米B．米C．米D．米
8．已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（ ）
A．平行于轴的两条直线
B．单位圆
C．焦点在轴上的双曲线
D．焦点在轴上的椭圆
10．已知直线与，则下列说法正确的是（ ）
A．若上恰有1个点到直线的距离为2，则
B．若上恰有2个点到直线的距离为2，则的取值范围是
C．若上恰有3个点到直线的距离为2，则
D．若上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围是
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为8
B．存在点，使得
C．点，的纵坐标之积为定值
D．
三、填空题
12．已知直线：，直线：，若，则 .
13．已知抛物线C：的焦点为F，点，点M是抛物线C上一个动点，当取最小值时，点M的坐标为 ．
14．已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是
四、解答题
15．直线与直线相交于点P，直线l经过点P.
(1)若直线，求直线l的方程；
(2)若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
16．已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，线段PF的中点为．
(1)求C的方程；
(2)若，O为原点，点M，N在C上，且直线OM，ON的斜率之积为2024，求证：直线MN过定点．
17．已知双曲线的离心率是，焦距是6．
(1)求的方程；
(2)若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值．
18．已知圆，圆的圆心在直线上，且过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率；
(3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
19．已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若MA，NB的斜率分别为，，且
①证明：直线MN过定点；
②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值．
参考答案
1．C
【详解】直线垂直于轴，故所求倾斜角是.
故选：C.
2．B
【详解】由题意知该抛物线的焦点为，
准线方程为，
故焦点到准线的距离为2．
故选：B．
3．B
【详解】双曲线中，，
又焦距为4，故，解得，故，解得，
所以的渐近线方程为.
故选：B
4．A
【详解】根据已知条件，
：，化为：，
：，化为：，
因为两圆相交，所以两圆方程相减得：，
所以直线的方程为：.
故选：A
5．A
【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示：
，，
当直线从的位置旋转至与的位置靠近时，
此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则；
当直线从靠近的位置旋转至的位置时，
此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故选：A.
6．A
【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，
所以.
所以，所以（当且仅当时等号成立）.
所以.
即的最小值为1.
故选：A
7．A
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设直线的方程为，将代入得，故直线方程为，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
故，
连接，与交于点，与圆交于点，
则，
所以即为机器人走过的最短路程，
其中，
故.
故选：A
8．B
【详解】设椭圆C的焦距为2c，，则，，
所以，，
因为，所以，即，即，
因为点B在椭圆C上，所以，
则，得到C的离心率为．

故选：B．
9．BC
【详解】对于A，当，即时，，表示平行于轴的两直线，故A错误；
对于B，当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，故B正确；
对于C，当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；
对于D，当，且时，则，所以，
因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D错误.
故选：BC.
10．ACD
【详解】圆的圆心为，半径为，
A选项，要想圆上恰有1个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离为，
即，解得，A正确；
B选项，要想圆上恰有2个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离大于，小于，
即，解得，B错误；
C选项，圆上恰有3个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离等于1，
即，解得，C正确；
D选项，圆上恰有4个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离小于1，
即，解得，D正确.
故选：ACD．
11．ACD
【详解】由题意，双曲线，可得，，则，
所以焦点，，设，则，且，即，
由，故A正确；
假设存在点，设，则，且，即，
所以，
所以不存在点，使得，故B错误；
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，

由,得，
又直线与相切，所以，整理得，
所以，即0，解得，
即点的纵坐标为.
不妨设直线与的交点为，与的交点为，
由，解得，即点的纵坐标为，
由，解得，即点的纵坐标为，
则点，的纵坐标之积为，故C正确；
因为，
所以点是线段的中点，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．2
【详解】由直线：与直线：平行，得，解得，
所以.
故答案为：2
13．/
【详解】分别过M，A作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为，，则，当且仅当A，M，三点共线时，等号成立，所以的最小值为，此时点M的坐标为．
故答案为：
14．
【详解】由题意可设，
则圆的方程为，
若圆上存在点，使得，设，
则，化简可得，
故点在以为圆心，为半径的圆上，
因为点也在圆上，所以圆与圆有交点，
所以，即，解得，
又，
所以，即线段长度的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)
(2)或.
【详解】（1）联立得即.
因为，不妨设直线l的方程为，
将点代入，得，
所以直线l的方程为.
（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即；
当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，
将点代入，得，
所以直线l的方程为，即.
综上所述，直线l的方程是或.
16．(1)，或
(2)证明见解析
【详解】（1）解：由题意得，设，
因为线段PF的中点为，
所以，，所以，，
代入C的方程得，
解得，或，
所以C的方程为，或．
（2）
证明：因为，所以C的方程为，
设，，直线MN的方程为，
与联立，得，
则，，
因为直线OM，ON的斜率之积为2024，
所以，
所以．
直线MN的方程为，故直线MN过定点．
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为双曲线：（，）的离心率是，焦距为6，
所以，，其中，解得，，
所以.
所以的方程为.
（2）如图，
设，，
联立方程消去得，
因为直线：与相交于，两点，
所以，即且，
由韦达定理得，
又，，
所以，
所以，
将韦达定理代入上式，得，
即，解得，满足且.
18．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）设圆的圆心为，由得
，解得，
故圆心为，半径为，
故圆的标准方程为；
（2）设，则，
显然过点的切线斜率存在，
过点的切线方程设为，
圆心到切线的距离为1，即，
即，
又，故，即，解得，
故，即，即，
圆心到的距离为2，即，
故或，解得或，
若，联立，解得，与矛盾，舍去，
若，联立，解得或0（舍去），
故，所以，
故的斜率为；
（3）不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下：
设的方程为，
由题意得，圆心到的距离，解得，
圆心到的距离，解得，
故，
由垂径定理得，
解得或，均不满足要求，
故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且.
19．(1)
(2)①证明见解析 ；②
【详解】（1）根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形，
由，，得，，
所以椭圆C的方程为．
（2）①证明：依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，，
由消去x整理得，
则，，，
而，，则，，
因此
，
解得，
所以直线MN：恒过定点．
②解：由（ⅰ）知，，，得，
直线AM的方程为，直线BN的方程为，
则，
即，解得，
即可得点有，，
同理可得点有，
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．