天津市红桥区2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题（含答案）

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祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共9题，每小题5分，共45分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为,,所以
故选A.
2. 是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】且，或，即可求解.
【详解】由可得且，
由可得或，
由且是或充分不必要条件，
可知是的充分不必要条件，
故选：A
3. 若为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合线面，面面位置关系的判定与性质，逐项分析判断，即可求解.
详解】对于A，若，，则与平行或异面，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则与平行或相交，故D错误.
故选：C.
4. 过点的直线与圆：交于，两点，当弦取最大值时，直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】要使过点的直线被圆所截得的弦取最大值时，则直线过圆心，然后根据直线的两点式方程写出答案即可
【详解】圆：化为
所以圆心坐标
要使过点的直线被圆所截得的弦取最大值时，则直线过圆心
由直线方程的两点式得： ，即
故选：A
5. 某产品的研发费用x万元与销售利润y万元的统计数据如表所示，
根据上表可得回归方程.中的 .据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5， 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将代入可求，再根据回归方程经过样本中心点，可求.
【详解】由题意：.
所以.
又由已知数据，，.
又经过，所以.
所以，.
故选：C
6. 已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若则此球的表面积为（ ）
A. 10πB. 12πC. 16πD. 20π
【答案】D
【解析】
【分析】通过已知条件求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为,球心为,在中,求出球的半径,然后求出球的表面积.
【详解】
解: 在中,
可得，
所以,
由正弦定理,可得外接圆半径,
设此圆圆心为,球心为，球的半径为，
由球的性质可知：平面，
在平面内，
所以，
在中,，
所以球半径,
故此球的表面积为
故选：D
7. 已知抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上，且 则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据双曲线性质求出抛物线的参数，进而得到抛物线方程，再利用抛物线的定义和已知条件求出点的坐标，最后计算的面积.
【详解】双曲线的右焦点为，即为抛物线 的焦点，
所以，解得，抛物线方程为，其准线方程为，
因此准线与轴的交点的坐标为；焦点的坐标为，
设点，因为在抛物线上，所以，
则 ，又，且，
代入得：，化简得，
结合，代入展开并整理：，
将代入，得，因此点坐标为或，
则，点到轴（所在直线）的距离为，
则.
故选：A.
8. 若双曲线的离心率为2.抛物线的焦点为，抛物线的准线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的焦距为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得代入双曲线，即可得解.
【详解】抛物线的准线交双曲线于两点.设，
,到准线距离为,
为等边三角形,
代入双曲线,可得，
解得，
故选:D．
9. 已知函数若时，的最小值为，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 当函数的值域为
C. 函数在区间上的零点个数共有6个
D. 函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可求得，求得函数解析式，进而逐项计算判断即可.
【详解】若时，的最小值为，可得，解得，
所以，解得，所以，故A不正确；
当时，可得，所以，
所以函数的值域为，故B错误；
令，可得，所以，
解得，可得时，，
所以函数在区间上的零点个数共有6个，故C正确；
函数的图象向左平移个单位长度，
得函数的图像，
所以为偶函数，故D错误.
故选：C.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
10. 已知 是虚数单位，则 __________
【答案】
【解析】
【分析】由复数的除法运算及复数模的公式即可求解.
【详解】，
故答案为：
11. 的展开式中 的系数为 ____________________
【答案】
【解析】
【分析】由通项公式即可求解.
【详解】的通项公式为，
令可得含的项，
此时系数为，
故答案为：
12. 从6名男生和4名女生中选出3人参加知识竞赛，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_____________种.
【答案】
【解析】
【分析】分2名男生1名女生和1名男生2名女生两类情况计算即可.
【详解】2名男生1名女生：，
1名男生2名女生：，
故共有种，
故答案为：
13. 已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数__________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据直线与圆相交，圆心到直线距离与半径的关系，即可求解.
【详解】圆的一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，该圆一定过原点，半径为，
又圆心为，故圆的方程为
圆心到直线的距离为即，解得或．
故答案为：-1或-11
14. 甲、乙、丙人练习投篮，投进的概率分别是 若人各投次，则人都没投进的概率为__________________；若表示丙投篮次的进球数，则随机变量的数学期望为___________________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】先综合利用独立事件的概率公式与对立事件的概率公式求人都没投进的概率，再判断随机变量服从二项分布，直接利用二项分布的期望公式求解即可.
【详解】记事件“甲投篮次投进 ”为，事件“乙投篮次投进”为，事件“丙投篮次投进”为，事件“人都没有投进”为.
则，，
所以人都没有投进的概率为.
随机变量的可能值有，且 ，
所以，
故答案为：；
15. 双曲线的左､右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率__________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线，
则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，
∴，即离心率为.
故答案为：2
三、解答题：本大题共5个小题，共75 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 在锐角中，角的对边分别为，且
（1）求;
（2）若,求;
（3）若求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可得求解，
（2）根据余弦定理即可求解，
（3）根据二倍角公式以及和差角公式即可求解.
【小问1详解】
由于，所以，由得，
所以，且三角形为锐角三角形，所以．
【小问2详解】
由余弦定理有，
解得或（舍），故．
【小问3详解】
由，三角形为锐角三角形,可得，
．
所以．
17. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中， ，，平面，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，即可求证；
（2）设，连接，由（1）可得是二面角的平面角．即可求解；
（3）建系，求得平面法向量，由距离公式即可求解.
【小问1详解】
因为平面，在平面内．
∴,
∵，，
∴．
∴，即．
∵，都在平面内，
∴平面．
【小问2详解】
设，连接，
∵平面．都在平面内，
∴．
∴是二面角的平面角．
在Rt中，，
∴，
∴，
∴二面角的大小为．
【小问3详解】
如图建系：
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
即，
又，
所以到平面 的距离.
18. 已知椭圆的右顶点，且点在椭圆上，，分别是椭圆的左右焦点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题可得，即得；
（2）设，利用韦达定理法可得，进而可得直线，的方程，可得点代入椭圆方程，即得.
【小问1详解】
由题可得，解得，
所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
由题可设，
由，可得，
∴，即，
所以，即，
当轴时，则，，，
此时，，不合题意，
当与不垂直时，，
∴，
由上可得，所以，
解得，又，
所以，
综上，的值为.
19. 已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）A,B是椭圆上关于x轴对称的两点，设,连接DB交椭圆于另一点E，证明直线AE 恒过x轴上的定点P.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由已知可求得，进而可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设点，求得直线的方程，令，结合根与系数的关系计算可求得定点.
【小问1详解】
因为椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，
所以，解得，又因为椭圆的离心率为，所以，解得，
故，则椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得，①
设点，则，直线的方程为，
令得，
将代入整理得，②
由①得，
代入②整理得，
所以直线与轴相交于定点．
20. 已知函数
（1）当时， 求曲线处的切线方程;
（2）求的单调区间;
（3）设函数 ，求证: 当时，在上存在极小值.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，确定切线斜率即可求解；
（2）求导，通过讨论和，确定导数符号，即可求解；
（3）由，结合（2）确定在上的单调性，即可求证.
小问1详解】
当时，
，则，又，
所以曲线处的切线方程为，
即.
【小问2详解】
解：由得：
①时，，∴在递增；
②时，若时，，若，则，故在递增，在递减；
综上：当时，的单调递增区间是，误减区间；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
【小问3详解】
由得：，
因为，由（2）得：在递增，又因为，
取，显然，，
∴存满足，
令，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增，
∴时，在存在极小值.
研发费用x (万元)
4
2
3
5
利润y (万元)
49
26
39
m