天津市红桥区2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试卷

这是一份天津市红桥区2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
本卷共 9 题，每小题 5 分，共 45 分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合 A  x | 1  x  2, B  x | 0  x  3, 则 A ∪ B  （ ）
A. 1, 3
B. 1, 0
C. 0, 2
D. 2, 3
2.  x 12   y  22  0 是 x 1 y  2  0 的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
若l, m 为直线，α,β为两个平面，则下列结论中正确的是（）
若l / /α, m α，则l / /mB. 若l α, l  β，则α β
C 若l / /α, l  β，则α βD. 若l α,α β，则l  β
过点2, 3 的直线l 与圆C ： x2  y2  4x  3  0 交于 A ， B 两点，当弦 AB 取最大值时，直线l 的方
程为（）
3x  4 y  6  0
3x  4 y  6  0
4x  3y  8  0
4x  3y  8  0
某产品的研发费用 x 万元与销售利润 y 万元的统计数据如表所示，
研发费用 x (万元)
4
2
3
5
利润 y (万元)
49
26
39
m
根据上表可得回归方程. yˆ  bˆx  aˆ 中的 bˆ  9.4 .据此模型预计研发费用为 6 万元时，利润为 65.5， 则
aˆ, m  （）
A. aˆ  9.4, m  52B. aˆ  9.1, m  53
C. aˆ  9.1, m  54D. aˆ  9.2, m  54
已知三棱柱 ABC  A1B1C1 的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若
AB  AC  AA1  2，∠BAC  120∘ 则此球的表面积为（）
A. 10πB. 12πC. 16πD. 20π
已知抛物线 y2  2 px( p  0) 的焦点 F 与双曲线
22
y
x
 1的右焦点重合，抛物线的准线与
x 轴的交
79
点为 E ，点 A 在抛物线上，且∣AE∣ 2∣AF∣，则△AEF 的面积为（）
A. 32B. 16C. 34D. 17
2
若双曲线C : x
a2
2
y
2
 b2  1(a  0, b  0) 的离心率为 2.抛物线 y
 4x 的焦点为 F ，抛物线的准线交双曲
线于 A、B 两点.若△ABF 为等边三角形，则双曲线C 的焦距为（）
5
A. 2B. 4C. 2
D. 45
3
已知函数 f  x  sin ωx  π  (ω 0) 若| f  x   f  x ∣ 2 时，∣x  x∣的最小值为 π ，则下列命
4 
12123

题正确的是（）
函数 f  x 的最小正周期为 π
2
当 x  π , π  函数 f  x 的值域为
2 ,1
 6 3 
 2

函数 f  x 在区间π,π 上的零点个数共有 6 个
函数 f  x 的图象向左平移 π 个单位长度，得到的函数为奇函数
4
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.
1 i
已知 i 是虚数单位，则∣∣
i
​
 2x3 


1 5

x

的展开式中
x3 的系数为
从 6 名男生和 4 名女生中选出 3 人参加知识竞赛，若这 3 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有种.
已知圆C 的圆心为C 2,1 ，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线l : 4x  2 y λ 0 与
C 交于 A, B 两点， ACB  120∘ ，则实数λ ．
1 1 3
甲、乙、丙3 人练习投篮，投进的概率分别是
， ，，若3 人各投1次，则3 人都没投进的概率为
3 2 5
；若 X 表示丙投篮3 次的进球数，则随机变量 X 的数学期望为.
x2y2
F , FF
双曲线

a2b2
 1a  0, b  0 的左､右焦点分别为 12 ，以右焦点 2 为焦点的抛物线
1
y2  2 px  p  0 与双曲线交于第一象限的点 P ，若 PF  PF  3 F F ，则双曲线的离心率e 
21 2
.
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
在锐角V ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，且 3c  2a sin C
（1）求 A ;
（2）若 a 7, b  2 ,求c ;
（3）若csB  2 ; 求sin 2B  A 的值.
3
如图，在底面为直角梯形的四棱锥 E  ABCD 中，
EA  3, AD  2, AB  2 3, BC  6 .
求证： BD ⊥平面 EAC ；
求二面角 E  BD  A 的大小；
AD / / BC ， ABC  90 ， EA  平面 ABCD ，
求 B 到平面 EDC
的距离.
已知椭圆 E : x2  y2  1a  b  0 的右顶点 A2, 0 ，且点 1, 3  在椭圆 E 上， F ， F 分别是椭
222 12
ab
圆的左右焦点，过点 A 作斜率为 k k  0 的直线交椭圆 E 于另一点 B ，直线 BF1 交椭圆 E 于点C .
求椭圆 E 的标准方程；
若 AB  CF2 ，求 k 的值.
x2y21
已知椭圆 a2  b2  1(a  b  0) 上任意一点到它的两个焦点的距离之和为 4，且椭圆的离心率为 2 .
求椭圆的标准方程；
A,B 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，设 D 4, 0 ,连接 DB 交椭圆于另一点 E，证明直线 AE 恒过 x 轴
上的定点 P.
已知函数
f  x  lnx  a 1.
x
当 a  0 时， 求曲线 y  f  x在点1, f 1 处的切线方程;
求 f  x 的单调区间;
设函数
g  x  x  a
ln x
，求证: 当1  a  0 时， g  x  在1,  上存在极小值.
高三数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
本卷共 9 题，每小题 5 分，共 45 分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知集合 A  x | 1  x  2, B  x | 0  x  3, 则 A ∪ B  （ ）
1, 3
1, 0
0, 2
2, 3
【答案】A
【解析】
【详解】因为 A  x | 1  x  2, B  x | 0  x  3 ,所以 A ∪ B  x | 1  x  3.
故选 A.
 x 12   y  22  0 是 x 1 y  2  0 的（）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】 x 12   y  22  0  x  1 且 y  2 ，  x 1 y  2  0  x  1 或 y  2 ，即可求解.
【详解】由 x 12   y  22  0 可得 x  1 且 y  2 ，由 x 1 y  2  0 可得 x  1 或 y  2 ，
由 x  1 且 y  2 是 x  1 或 y  2 充分不必要条件，
可知 x 12   y  22  0 是 x 1 y  2  0 的充分不必要条件，
故选：A
若l, m 为直线，α,β为两个平面，则下列结论中正确的是（）
若l / /α, m α，则l / /mB. 若l α, l  β，则α β
C. 若l / /α, l  β，则α βD. 若l α,α β，则l  β
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合线面，面面位置关系的判定与性质，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于 A，若l / /α， m α，则l 与m 平行或异面，故 A 错误； 对于 B，若l α, l  β，则α/ /β，故 B 错误；
对于 C，若l / /α, l  β，则α β，故 C 正确；
对于 D，若l α,α β，则l 与β平行或相交，故 D 错误. 故选：C.
过点2, 3 的直线l 与圆C ： x2  y2  4x  3  0 交于 A ， B 两点，当弦 AB 取最大值时，直线l 的方
程为（）
3x  4 y  6  0
3x  4 y  6  0
4x  3y  8  0
4x  3y  8  0
【答案】A
【解析】
【分析】要使过点2, 3 的直线l 被圆C 所截得的弦 AB 取最大值时，则直线过圆心，然后根据直线的两点式方程写出答案即可
【详解】圆C ： x2  y2  4x  3  0 化为(x  2)2  y2  1
所以圆心坐标(2, 0)
要使过点2, 3 的直线l 被圆C 所截得的弦 AB 取最大值时，则直线过圆心
由直线方程的两点式得： y  0  x  2
3  02  2
，即3x  4 y  6  0
故选：A
某产品的研发费用 x 万元与销售利润 y 万元的统计数据如表所示，
研发费用 x (万元)
4
2
3
5
利润 y (万元)
49
26
39
m
根据上表可得回归方程. yˆ  bˆx  aˆ 中的
aˆ, m  （）
bˆ  9.4 .据此模型预计研发费用为 6 万元时，利润为 65.5， 则
A. aˆ  9.4, m  52B. aˆ  9.1, m  53
C. aˆ  9.1, m  54D. aˆ  9.2, m  54
【答案】C
【解析】
【分析】将6, 65.5 代入 yˆ  bˆx  aˆ 可求 a‸ ，再根据回归方程经过样本中心点，可求m .
【详解】由题意： 9.4  6  a‸  65.5  a‸  9.1 .
所以$y  9.4x  9.1.
又由已知数据， x  4  2  3  5  7 ， y  49  26  39  m  114  m .
4244
又$y  9.4x  9.1经过 x , y  ，所以9.4  7  9.1  114  m  m  54 .
24
所以 a‸  9.1 ， m  54 .
故选：C
已知三棱柱
ABC  A1B1C1 的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若
AB  AC  AA1
 2，∠BAC  120∘
则此球的表面积为（）
A. 10πB. 12πC. 16πD. 20π
【答案】D
【解析】
【分析】通过已知条件求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为O ,球心为O ,在Rt△OBO 中,求出球的半径,然后求出球的表面积.
【详解】
解: 在V ABC 中 AB  AC  2 , BAC  120
可得 BC 2  AB2  AC 2  2 AB  AC cs120  12 ，
3
所以 BC  2,
由正弦定理,可得V ABC 外接圆半径 r  1 2 3 2 ,
2sin120
设此圆圆心为O ,球心为O ，球的半径为 R ，
由球的性质可知： OO  平面 ABC ， OO  1 AA  1
21
OB 在平面 ABC 内，所以OO  OB ，
5
在Rt△OBO 中, R2  1  4  5 ，所以球半径 R ,
故此球的表面积为4πR2  20π
故选：D
已知抛物线 y2  2 px( p  0) 的焦点 F 与双曲线
22
y
x
 1的右焦点重合，抛物线的准线与
x 轴的交
点为 E ，点 A 在抛物线上，且∣AE∣
79
2∣AF∣，则△AEF 的面积为（）
A. 32B. 16C. 34D. 17
【答案】A
【解析】
【分析】先根据双曲线的性质求出抛物线的参数 p ，进而得到抛物线方程，再利用抛物线的定义和已知条件求出点 A 的坐标，最后计算△AEF 的面积.
xy(4, 0)
22
【详解】双曲线 1的右焦点为，即为抛物线
y2  2 px( p  0) 的焦点，
79
所以 p  4 ，解得 p  8 ，抛物线方程为 y2  16x ，其准线方程为 x   p  4 ，
22
因此准线与 x 轴的交点 E 的坐标为( 4, 0) ；焦点 F 的坐标为(4, 0) ，
设点 A(x , y ) ，因为 A 在抛物线上，所以 y2  16x ，
0000
(x  4)2  y2
0
0
2
则| AF | x  p  x  4 ，又| AE |，且| AE || AF |，
020
(x  4)2  y2
0
0
代入得：2(x0  4) ，化简得 y  (x  4) ，
00
22
结合 y2  16x ，代入展开并整理： x2  8x 16  0  (x  4)2  0  x  4 ，
000000
将 x  4 代入 y2  16x ，得 y  8 ，因此 A 点坐标为(4,8) 或(4, 8) ，
0000
则| EF | 4  (4)  8 ， A 点到 x 轴（ EF 所在直线）的距离为| 8 | 8 ，
则 S 1  8 8  32 .
V AEF2
故选：A.
2
若双曲线C : x
a2
2
y
2
 b2  1(a  0, b  0) 的离心率为 2.抛物线 y
 4x 的焦点为 F ，抛物线的准线交双曲
线于 A、B 两点.若△ABF 为等边三角形，则双曲线C 的焦距为（）
5
A. 2B. 4C. 2
【答案】D
D. 45
3
【解析】
A 1, 2 
x2y2
【分析】由题可得 
 代入双曲线 1，即可得解.
3a23a2

【详解】抛物线的准线交双曲线于 A、B 两点.设 A1, y0 ，B 1,  y0 , y0  0 ，
x2y2
cx2y2
QC : a2  b2  1(a  0, b  0), a  2， a2  3a2  1, F 到准线距离为2 ,
3
332
QVABF 为等边三角形,  2 
 AB 
2
2  2 y0， y0 
x2y2
1 4 1
代入双曲线 a2  3a2  1,可得 a2
，
3 3a2
解得 a2  5 ，c2  4a2  20 ,c  2 5 , 2c  4 5 ，
9933
故选:D．
已知函数 f  x  sin ωx  π  (ω 0) 若| f  x   f  x
∣ 2 时，∣x
 x∣的最小值为 π ，则下列命
4 
12123

题正确的是（）
函数 f  x 的最小正周期为 π
2
当 x  π , π  函数 f  x 的值域为
2 ,1
 6 3 
 2

函数 f  x 在区间π,π 上的零点个数共有 6 个
函数 f  x 的图象向左平移 π 个单位长度，得到的函数为奇函数
4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可求得ω，求得函数解析式，进而逐项计算判断即可.
【详解】若| f  x   f  x
∣ 2 时，∣x  x∣的最小值为 π ，可得 T  π ，解得T  2π ，
12
2π2π
123233
f x π 
所以 ω 
，解得ω 3 ，所以  
3
sin  3x   ，故 A 不正确；
4

当 x  π , π  时，可得 π  3x  π  3π ，所以 2